1、二次函数的图象和性质一、选择题1、 （2012 年浙江金华一模）抛物线 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得2yx到新的抛物线解析式是（ ）中国教育出版网*%#A B 213yx23C D w#w&w.zzst*1yx答案：D2、 （2012 年浙江金华四模）抛物线 的顶点坐标是 （ ）)2(A （ 1， 1） B （ 1，1） C （1，1） D （1， 1）答案：C3、 （2012 年浙江金华五模）将抛物线 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标12xy轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）A 个单位 B1 个单位 C 个单位 D 个单位2 22答案：
2、A4、 （2012 年浙江金华五模）抛物线 的对称轴是（ ）来*源#:中国教育出版网2()3yx .直线 x= 2 B.直线 x=2 C.直线 x= 3 D.直线 x=3ww&w.zz*step.co#m答案：B5、 （2012 江苏无锡前洲中学模拟）如图，四边形 ABCD 中， BAD= ACB=90，AB=AD， AC=4BC，设 CD 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）A 245yx B 25y C 25xD 245来源:中&教*网(第 1 题)AB CD/ 372答案：B6.（2012 荆门东宝区模拟）在同一直角坐标系中，函数 ymx+
3、m 和函数ymx 2+2x+2（m 是常数， 且 m0）的图象可能是（ ） (第 2 题)答案：D7. （2012 年江苏海安县质量与反馈）将 y=2x2 的函数图象向左平移 2 个单位长度后，得到的函数解析式是Ay=2x 2+2 By=2x 22 Cy =（x 2） 2 Dy=2（x+2） 2 答案：D.8. （2012 年江苏沭阳银河学校质检题）下列函数中，是二次函数的是（）A、 B、 C、 D、 x123221答案： B.9. （2012 年江苏沭阳银河学校质检题）抛物线 上部分点的横坐标 x，纵cbxay2坐标 y 的对应值如下表，从下表可知：来源:zzstep.c%&#omx -2
4、-1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 下列说法抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0） ，函数的最大值为 6，抛物线的对称轴是直线 x= ，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，正确的有（）21A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 答案：C.来源%:中#&教*网10.马鞍山六中 2012 中考一模） 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，反比例函数y 与正比例函数 y（ b c） xax在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）来源#:中国教育&出版网A B C D答案：A11.（2012 荆州中考模拟） 将二次函数 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个2xy单
5、位后，所得图象的函数表达式是（ ）来源:zzs*te%#www.z&zstep.c#%om 2)1(xy )(2 1xy答案：A12.(2012 年南岗初中升学调研） 抛物线=一 2-与轴的交点坐标是( )。A(一 2，0) B(0，-2) C(0，-l) D(-1，0)答案：A13.（2012 年中考数学新编及改编题试卷）已知二次函数 2(0)yaxbc的图象如图所示，则下列结论：来源#:中国教育&出版网%方程 20axbc的两根之和大于 0； ；www.zz&st#ep.co*m0y随 的增大而增大； ， 其中正确的个数（ ）cba（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个答案
6、：B来源%:中国教育 出版网#14.（2012 年中考数学新编及改编题试卷）如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交O 于 D、E 两点， 且ACD=45，DFAB 于点 F,EGAB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设AF= x，DE= y，下列中图象中，能表示 y与 x的函数关系式的图象大致是（ ）www.zz#ste%www.z*&来源:zzstep.%com&答案：A15、（2012 年山东泰安模拟）已知 )0(2acbxy的图像如图所示，则)0,(2 nacbxa的方程的两实根 21,，则满足（ ）xyO第 1 题1第 2 题第 8 题/ 374A. 312x
7、 B. 213xC. D. ,0且答案：D16、淮南市洞山中学第四次质量检测，3,4 分 二次函数 cbxay2的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）Aa0 Bc 0 C acb420 D c0 第 3 题图yxO 11答案：D17、淮南市洞山中学第四次质量检测，5,4 分 抛物线 542xy经过平移得到2xy，平移方法是（ ）A向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位B向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位C向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位D向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位答案：D18、 （海南省 2012 年中考数学科模拟）抛物线 y= x2 向左平
8、移 8 个单位，再向下1平移 9 个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）A. y= (x+8)2-9 B. y= (x-8)2+9 C. y= (x-8)2-9 D. y= (x+8)2+911 1答案：A19. （海南省 2012 年中考数学科模拟）下列关于二次函数的说法错误的是（ ）A.抛物线 y=-2x23x1 的对称轴是直线 x= ；来%源:中国教育*&出版网34B.点 A(3,0)不在抛物线 y=x2 -2x-3 的图象上；来#%源:中教网C.二次函数 y=(x2） 22 的顶点坐标是（-2，-2） ；中国教育%出版网#*D.函数 y=2x24x-3 的图象的最低点在（-1，-5）来#
9、&源:中教网%答案：B20 （2012 广西贵港）根据下列表格中的对应值，判断方程yx-1 12o（ ， 、 、 为常数）的根的个数是02cbxaabcA B C D或 2答案：C21 （2012 广西贵港）已知二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（ ， ） ，则 ab 有1A最大值 1 B最大值 2 C最小值 0 D最小值 4答案：D22 （2012 广西贵港）对于每个非零自然数 ，抛物线 21()()nyxx与 x 轴n交于 An、 Bn两点，以 n表示这两点间的距离，则 的值1201ABAB是 中#国教%育出&版网A B C D20120102答案：D23 （2012 年广东模拟
10、）二次函数 yax 2-ax1 (a0)的图象与 x 轴有两个交点，其中一个交点为( ,0),那么另一个交点坐标为（ ） （原创）答案 D3A( , 0) B ( , 0) C ( , 0) D( ,0)来&#源:中*教网来源:中教#%网2123624、 （2012 年浙江省金华市一模）已知抛物线 的图象如图所示，则下列cbxay2结论： 0；abc ； ； 1.其中正确的结论是 （ ）2a1bA. B. C. D. 答案：D第 1 题来源: 中%国#教育出版网&25、 （2012 年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考） （2012 年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）二次函数 y=
11、(x3)( x2)的图象的对称轴是-( )/ 376A x=3 B x=2 C x= D x= 12答案：D26、 （2012 年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）若一抛物线 y=ax2与四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2 围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是-( )A. a1 (B. a2 C. a1 D. a2 14121214答案：D27、 （2012 年上海金山区中考模拟）二次函数 图象的顶点坐标是（ 2()yx）（A） （B） （C） （D） www.zzste%#(1,2)(1,2)(1,)(1,)答案：A来源:中*&教网28、(徐州市 2012 年模拟)抛物
12、线 cbxay2图像如图所示，则一次函数24bacxy与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为（ ）w#ww&.zzste*第 15 题图答案：D29. （盐城地区 20112012 学年度适应性训练）已知二次函数的图象（-0.7 x2）如右图所示.关于该函数在所给自变量 x 的取值范围内，下列说法正确的是( )A有最小值 1，有最大值 2 B有最小值-1，有最大值 1来源:zzste#%*C有最小值-1，有最大值 2 D有最小值-1，无最大值答案 C30. （盐城地区 20112012 学年度适应性训练）已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A a0
13、 B当 x1 时， y 随 x 的增大而增大C c0 D3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根答案 D31、(2012 年金山区二模)二次函数 图象的顶点坐标是（ ）2()yxx x x x x -0.7-12 2101 y x x y Ox=1 -1（A） （B） （C） （D） www.zzste%#(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)答案：A32、(2012 年南京建邺区一模 )矩 形 ABCD 中 ， AD=8 cm， AB=6 cm 动 点 E 从 点 C 开 始 沿 边 CB向 点 B 以 2cm/s 的 速 度 运 动 至 点 B 停 止 ， 动 点 F 从 点 C 同
14、时 出 发 沿 边 CD 向 点 D 以 1cm/s 的 速 度运 动 至 点 D 停 止 如 图 可 得 到 矩 形 CFHE， 设 运 动 时 间 为 x（ 单 位 ： s） ， 此 时 矩 形 ABCD 去 掉 矩形 CFHE 后 剩 余 部 分 的 面 积 为 y(单 位 ： cm2)， 则 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 用 图 象 表 示 大 致 是 下 图 中的 （ ）*答案：A33、(2012 年香坊区一模)将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，可得到抛物线( ) (A) (B) 来源:#中教网*&2(1yx2()1yx(C) (D)答案：A
15、2、填空题来源:中国%*教育出版网1（河南省信阳市二中） 抛物线 y =2x2+8x+m 与 x 轴只有一个公共点，则 m 值为 答案：8来源:zzst*#ep&.com2、 （2012 年中考数学新编及改编题试卷）已知 满足 ， ，则关cba,bbca24于 x 的二次函数 的图像与 轴的交点坐标为 .cbxay2(0)x答案：（-1，0） 、 （-2，0）来%源:#中国教育出版网3、(2012 年北京市延庆县一诊考试 )用配方法把 化为 的42y khxay2)(形式为 中国教育出版& 网*#答案： 3)1(2xy4、淮南市洞山中学第四次质量检测，13,5 分 开口向下的抛物线m()2的对
16、称轴经过点（1，3） ，则 m= 答案：-15、 （2012 深圳市龙城中学质量检测）已知二次函数 的图象如图所)0(2acbxyy-1 x图 4x=18 6 4 2 2 4 6 843211234O/ 378yxO 1 13（第 1 题图）示，有下列 4 个结论： ； ； ； 。0abcca02b042ac其中正确的结论有_个。答案：26、河南开封 2012 年中招第一次模拟抛物线 的顶点坐标是 3x421y。答案：（4，-5）7 （2012 年江苏南通三模）已知抛物线 yax 2bx c 的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是_答案：-10 ；a c1；a1其中正确结论的序号是
17、 （填上你认为正确结论的所有序号）答案：17. （2012 年，广东二模）如图 23，抛物线 yx 22xm (m0)与 x 轴相交于点A(x1,0)、B (x2,0)，点 A 在点 B 的左侧当 xx 22 时，y0(填“” ， “”或“”号) 图 23来源:中国&教育出#版网18、(2012 苏州市吴中区教学质量调研 )如图，二次函数 yax 2bxc 的图象开口向上，图象经过点（1，2）和(1， 0)，且与 y 轴相交于负半轴，给出四个结论：abc0 ；a c1；a1 其中正确结论的序号是 （填上你认为正确结论的所有序号）答案：19、 （海南省 2012 年中考数学科模拟）Y=-2(x-
18、1) 2 5 的图象开口向 ，顶点坐标为 ，当 x1 时，y 值随着 x 值的增大而 。答案：下， （1，5） ，减小20 （2012 广西贵港）抛物线 如图所示，则它关于 轴对称的抛物线的解cba2 y第 1 页（共 6 页）/ 3710析式是 答案： 243yx21、 （2012 年浙江省杭州市一模）已知实数 x，y 满足 ，则 x+y 的最大032yx值为 。来源*:中国教育出版&网答案： 4 来源:zzs&*tep.22、 （2012 年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）二次函数 y=3 x26 x9 的图象的开口方向_，它与 y 轴的交点坐标是_。答案：向下， （0，9）ww%
19、w.zzste*&23、 （2011 年上海市浦东新区中考预测）将二次函数 的图像沿 y 轴向上平12xy移 3 个单位，那么平移后的二次函数解析式为 答案： 12xy24、 （盐城地区 20112012 学年度适应性训练）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点(0，-3)，请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在 (1，0)和(3，0)之间你所确定的 b 的值是 （写出一个值即可） 答案如-1，0(不惟一，在-2b2 内取值均可）3、解答题1、 （2012 年，广东二模）如图 210，已知二次函数 yx 2bxc 的图象经过A( 2，1) ， B(0,7)两点来源:中国
20、教&育出*版网-3 31Oy x图 210(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当 x 为何值时，y0?(3)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l，与抛物线交于 C、D 两点( 点 C 在对称轴的左侧) ，过点 C、 D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F、E.当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标解：(1)把 A(2，1)，B(0,7)两点的坐标代入yx 2bx c，得Error!，解得 Error!.所以，该抛物线的解析式为 yx 22x 7，又因为 yx 22x 7(x 1) 28，所以对称轴为直线 x1.(2)当函数值 y0 时，x 22x70 的解为 x12 ，2结合图象
21、，容易知道 12 0.2 2(3)当矩形 CDEF 为正方形时，设 C 点的坐标为(m ，n)，则 nm 22m7，即 CF m22m7.因为 C、D 两点的纵坐标相等，所以 C、D 两点关于对称轴 x1 对称，中国% 教* 育出版网&设点 D 的横坐标为 p，则 1 mp1，所以 p2m，所以 CD(2m) m 22m .来*源:中&国教育出版网#因为 CDCF，所以 22mm 22m 7，整理，得 m24m50，解得 m1 或 5.因为点 C 在对称轴的左侧，所以 m 只能取1.当 m1 时，nm 22m7(1) 22(1) 74.于是，点 C 的坐标为(1,4)2、 （2012 年浙江金
22、华四模）已知二次函数 y=x2+2x+m 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点来源:zzstep.%com&（1）求 C1 的顶点坐标；（2）将 C1 向下平移若干个单位后，得抛物线 C2，如果 C2 与 x 轴的一个交点为A（ 3， 0） ，求 C2 的函数关系式，并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标；答案：来源:中% 国教育& 出版 网#解：（1）y=x 2+2x+m=（x +1） 2+m1，对称轴为 x=1，与 x 轴有且只有一个公共点，来源:学优中考网/ 3712顶点的纵坐标为 0，3、 （2012 山东省德州四模）已知，在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数5yx的图像交
23、于点 2yxc(1)Am，（1）求 、 的值；m（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 答案： （1） （2 分）5（2 分）2c（2）对称轴:直线 （2 分）1x顶点坐标(1,-1)（3 分）4、 （2012 山东省德州四模）如图，梯形 ABCD 中，ABCD， ABC=90，AB=8，CD=6， BC = 4，AB 边上有一动点 P(不与 A、 B 重合)，连结 DP，作 PQDP，使得PQ 交射线 BC 于点 E，设 AP=x当 x 为何值时，APD 是等腰三角形？若设 BE=y，求 y 关于 x 的函数关系式；若 BC 的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点 P，使得 PQ 经过点
24、 C？若存在，求出相应的 AP 的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当 BC 的长在什么范围内时，可以存在这样的点 P，使得 PQ 经过点 C来*源:中国教育出版&网答案：解：（1）过 D 点作 DHAB 于 H ，则四边形 DHBC 为矩形，DH= BC=4，HB=CD=6 AH=2，AD =2 1 分5AP=x， PH =x2，情况：当 AP=AD 时，即 x=2 2 分 来*源:&#中教网情况：当 AD=PD 时，则 AH=PH 2=x2，解得 x= 43 分情况：当 AP=PD 时，则 RtDPH 中，x 2=42+(x2) 2，解得 x=54 分20，所以此函数的图像与 x 轴有两
25、个不同的交点故图像经过 A，B 两点的二次函数为 y=x2mx2-5 分来#源%:中国教育&出版网（2）将 A（1，0）代入 y=x2mx2m得 1+m2m=0-6 分整理，得 m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时，对称轴为直线 X=0-7 分w#w&w.zzste*来源:zzst#&当 m=2 时，对称轴为直线 X=1-8 分20 （2012 年广东模拟）(本小题满 12 分)如图，已知抛物线 y x2 x4 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B来源:1中国#教%育出版网（1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2）设 P（ x， y） （ x0）是直
26、线 y x 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点） ，以 PQ 为对角线作正方形 PEQF，若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；中%*国教育出&版网（3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并探究 S 的最大值来源:中国教育&*出版网#来%&源:中#教网来源:中国%教育出版#*网www.z#zst&e*p%.com答案(本小题满分 12 分)（1）令 ，得 ，即 ，0y0421x082x解得 ， ，所以 令 ，得 ，所以 1x),(A4y)4,0(B设直线 AB 的解析式为 ，则 ，解得 ，来源
27、:bkxy04bk1bkzz#ste&p%.com来源:#z%zste*所以直线 AB 的解析式为 3 分4xy（2）当点 在直线 AB 上时， ，解),(xP得 ，x当点 在直线 AB 上时， ，)2,(Q42x解得 4x所以，若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，则4 分2（3）当点 在直线 AB 上时， （此时点 F 也在)2,(xE直线 AB 上），解得 4x38xOABPEQFxy（第 24 题）CD/ 3728当 时，直线 AB 分别与 PE、 PF 有交点，设交点分别为 C、 D，来源#:%382x此时， ，42)(xPC又 ，w%ww.zzstep*.comD所以 ，22
28、)(1xSPC从而， 4x8727)16(4x因为 ，所以当 时， 3216x78maxS当 时，直线 AB 分别与 QE、 QF 有交点，设交点分别为 M、 N，8x此时， ，42)4(xQN又 ，来%*源:中教网&M所以 ，22)4(1xSQN即 来#源:中*教&网%)4(21x其中当 时， 5 分www%.zzs&3898maS来源:*中%教#网 5 （柳州市 2012 年中考数学模拟试题）www#.zzstep&.com*21.（12 分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 mxy与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴 上.
29、（1）求 m的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为 h，点 P 的横坐标为 x，求 h与 之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；来源%:&中国*教育#出版网（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.来源:中国教育出版*网%OABxy（第 24 题 备用）PEQFMNEBACPO xyD中国教&育出#*版网答案：(1)
30、 点 A(3,4)在直线 y=x+m 上， 4=3+m. m=1. 来源:zzstep%.c#o*&m设所求二次函数的关系式为 y=a(x-1)2. 点 A(3,4)在二次函数 y=a(x-1)2的图象上， 4=a(3-1) 2, a=1. 所求二次函数的关系式为 y=(x-1)2. 即 y=x2-2x+1.(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE . PE=h=y P-yE =(x+1)-(x2-2x+1) =-x2+3x. 即 h=-x2+3x (0x3).(3) 存在.解法 1：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 PE=DC. 点 D 在直线 y=x+1 上, 点 D
31、 的坐标为(1,2), -x 2+3x=2 .即 x2-3x+2=0 .解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 解法 2：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 BPCE. 设直线 CE 的函数关系式为 y=x+b. 直线 CE 经过点 C(1,0), 0=1+b, b=-1 . 直线 CE 的函数关系式为 y=x-1 . 12xy 得 x2-3x+2=0. 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 来&%源:中教网22、 （2012
32、 年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）如图，OAB 是边长为 2 的等边三角形，过点 A 的直线 中国教育出版&*#网。轴 交 于 点与 Exmy3（1）点 E 的坐标；（2）求过 A、O、E 三点的抛物线解析式；第 1 题答案：（1）作 AFx 轴与 F来源:中教网&%OF=1，AF= 3点 A（1， ）1 分来&%源:中教网代入直线解析式，得 ，m=313m4A / 3730 来源:中国教#*育出版网34xy当 y=0 时， 来源:zzstep.co&%#m0得 x=4， 点 E（4，0）4 分中&*%国教育出版网（2）设过 A、O、E 三点抛物线的解析式为 cbxay2抛物线过原点
33、c=0来*源:中%教网& 抛物线的解析式为 8 分xy34223、 （2012 年上海市黄浦二模）已知一次函数 1y的图像和二次函数 2yxbc的图像都经过 A、B 两点，且点 A 在 y 轴上，B点的纵坐标为 5. （1）求这个二次函数的解析式；来% 源:中国教#育出版网（2）将此二次函数图像的顶点记作点 P，求ABP 的面积；（3）已知点 C、D 在射线 AB 上，且 D 点的横坐标比 C 点的横坐标大 2，点 E、F 在这个二次函数图像上，且 CE、DF 与 y 轴平行，当 时，求 C 点坐标.答案：（1）A 点坐标为（0,1）(1 分) 来源:xYzKw.Com将 =5y代入 1x，得 =4B 点坐标为（4,5）(1 分)将 A、B 两点坐标代入 2ybxc解得 =-31bc二次函数解析式为 231yx(2 分)（2）P 点坐标为（ ， 54）(1 分)抛物线对称轴与直线 AB 的交点记作点 G，则点 G（ 32， 5）1 2 3 4 5-1-1-2123456xyO图 8
