1、2012 年全国各地中考数学试卷分类汇编：阅读理解型问题21（2012 四川达州，21，8 分）（8 分） 问题背景若矩形的周长为 1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为 ，面x积为 ，则 与 的函数关系式为： 0 ） ，利用函数的图象或通过配方均sxxs(21可求得该函数的最大值. 提出新问题若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题若设该矩形的一边长为 ，周长为 ，则 与 的函数关系式为：xyx)1(2xy（ 0） ，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了.x解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 （ 0）的最大（小
2、）值.)1(2xy（ 1）实 践操 作： 填写 下表， 并用 描点 法 画 出函 数 )1(2xy（ 0）的图象：x（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当= 时，函数 （ 0）x)1(2xy有最 值（填“大”或“小” ） ，是 .（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数 0）的最xs(21大值，请你尝试通过配方求函数 （ 0）的最大（小）值，以证明你的)1(2xy猜想. 提示：当 0 时， x解析：对于（1）按照画函数图象的列表、描点、连线三步骤进行即可；对于（2），由结合图表可知有最小值为 4；对于（3），可按照提示，用配方法来求出。答案：(1)（1 分）.（3 分）（2）1、
3、小、4（5 分） （3）证明： 22)(1xy)(22（7 分）41(x 当 时， 的最小值是 401xy 即 =1 时， 的最小值是 4（8 分）点评：本题以阅读理解型的形式，考查学生画函数图象的基本步骤及结合图表求函数最值的观察力，考察了学生的模仿能力、配方思想和类比的能力。28（2012 江苏省淮安市，28，12 分）阅读理解如题 28-1 图，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B 1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B nAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我
4、们就称BAC 是ABC 的好角小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如题 28-2 图，沿等腰三角形 ABC 顶角BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点C 重合；情形二：如题 28-3 图，沿 ABC 的BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B 1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合 探究发现 (1)ABC 中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是不是ABC 的好角? (填：“是”或“不是”) (2)小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请探究B 与C (不妨设B C )之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过 n
5、次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C (不妨设B C )之问的等量关系为 应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为 15，60，l05，发现 60 和 l05 的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是 4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角【解析】（1）利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决；（2）根据第（1）问的结论继续探索；（3）利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解之具体过程见以下解答【答案】解： (1) 由折叠的性质知，B=AA 1B1.因为AA 1B1=A 1B1C+C ，而B=2C，所以A 1B1C=C ，就是说
6、第二次折叠后A 1B1C 与C 重合，因此BAC 是ABC 的好角.（2）因为经过三次折叠BAC 是ABC 的好角，所以第三次折叠的A 2B2C=C 如图 12-4 所示 .B3B2B1A2A1CBA图 12-4因为ABB 1= AA1B1，AA 1B1=A 1B1C+C ，又A 1B1C=A 1A2B2，A 1A2B2=A 2B2C+C ，所以ABB 1=A 1B1C+C=A 2B2C+C+C=3C 由上面的探索发现，若BAC 是ABC 的好角，折叠一次重合，有B=C；折叠二次重合，有B=2 C；折叠三次重合，有 B=3C ； ；由此可猜想若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则 B=
7、nC（3）因为最小角是 4 是ABC 的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m，4mn（其中 m、 n 都是正整数）由题意，得 4m+4mn+4=180，所以 m(n+1)=44因为 m、 n 都是正整数，所以 m 与 n+1 是 44 的整数因子，因此有：m=1，n+1=44；m=2 ，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11 ，n+1=4；m=22，n+1=2 所以m=1，n=43；m=2 ，n=21；m=4 ，n=10 ；m=11 ，n=3 ；m=22 ，n=1所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160 ；4m=44，4mn=132 ；4m
8、=88，4mn=88所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4， 172；8， 168；16，160；44 ，132；88，88【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握，本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度 23 （2012 湖北咸宁，23，10 分）如 图 1， 矩 形 MNPQ 中 ， 点 E， F， G， H 分 别 在NP， PQ， QM， MN 上 ， 若 ，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射432四边形图 2，图 3，
9、图 4 中，四边形 ABCD 为矩形，且 ， 4AB8C理解与作图：（1）在图 2、图 3 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD 的反射四边形 EFGH计算与猜想：（2）求图 2，图 3 中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：图 2AB CDEFAB CDGHEF1234MAB CDEFMN PQGHEF1234图 1 图 3（第 23 题）图 4（3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于 M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想【解析】 （1）根据
10、网格结构，作出相等的角得到反射四边形；（2）图 2 中，利用勾股定理求出 EFFGGHHE 的长度，然后可得周长；图 3 中利用勾股定理求出 EFGH，FG HE 的长度，然后求出周长，得知四边形 EFGH 的周长是定值；（3）证法一：延长 GH 交 CB 的延长线于点 N，再利用“ 角边角”证明 RtFCERt FCM，根据全等三角形对应边相等可得 EFMF，ECMC，同理求出NHEH ，NBEB，从而得到 MN2BC ，再证明 GMGN，过点 G 作 GKBC 于 K，根据等腰三角形三线合一的性质求出 MK MN8，再利用勾股定理求出 GM 的长度，12然后可求出四边形 EFGH 的周长；
11、证法二：利用“角边角”证明 RtFCE RtFCM，根据全等三角形对应边相等可得EFMF，ECMC ，再根据角的关系推出MHEB，根据同位角相等，两直线平行可得 HEGF ，同理可证 GH EF，所以四边形 EFGH 是平行四边形，过点 G 作 GKBC于 K，根据边的关系推出 MKBC，再利用勾股定理列式求出 GM 的长度，然后可求出四边形 EFGH 的周长【答案】 （1）作图如下： 2 分（2）解：在图 2 中， ，52042HEGFE四边形 EFGH 的周长为 3 分58在图 3 中， ， 12H463四边形 EFGH 的周长为 4 分583猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值
12、 5 分（3）如图 4，证法一：延长 GH 交 CB 的延长线于点 N ， ，215 而 ，FCRtFCERtFCM ， 6 分ME同理： ， HNEB 7 分162BAB CDGH E F1234 M图 4N K 5 ， ，1905M390N 8 分NG过点 G 作 GKBC 于 K，则 9 分82M 542四边形 EFGH 的周长为 10 分证法二： ， ， 1而 ， RtFCERtFCMFC ， 6 分ME ， ，1905 490HEB而 ， 4HEGF 同理：GHEF四边形 EFGH 是平行四边形 而 ，HEFG4RtFDGRtHBE BEDG过点 G 作 GKBC 于 K，则 8EC
13、BMCM 5822M四边形 EFGH 的周长为 【点评】本题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解“反射四边形 EFGH”特征是解题的关键25(2012 贵州黔西南州，25 ，14 分) 问题：已知方程 x2x1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍解：设所求方程的根为 y，则 y=2x，所以 x= y2把 x= 代入已知方程，得( )2 1=0y2 y2 y2化简，得：y 22y4=0故所求方程为 y22y4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程
14、化成一般形式 )：(1)已知方程 x2x2=0 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数(2)已知关于 x 的一元二次方程 ax2bxc=0(a0) 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数【解析】按照题目给出的范例，对于(1)的“根相反”，用 “y=x”作替换；对于(2) 的“根是倒数”，用“y= ”作替换，并且注意有“不等于零的实数根”的限制，要进行讨1x论【答案】(1)设所求方程的根为 y，则 y=x，所以 x=y(2 分)把 x=y 代入已知方程 x2x2=0，得(y) 2(y)2=0(4 分)化简，得：y 2y2=0(6 分)(2)设所
15、求方程的根为 y，则 y= ，所以 x= (8 分)1x 1y把 x= 代如方程 ax2bxc=0 得1ya( )2b c=0，(10 分)1y 1y去分母，得，abycy 2=0(12 分)若 c=0，有 ax2bx=0，于是方程 ax2bxc=0 有一个根为 0，不符合题意c0，故所求方程为 cy2bya=0(c0)(14 分)【点评】本题属于阅读理解题，读懂题意，理解题目讲述的方法的基础；在实际解题时，还要灵活运用题目提供的方法进行解题，实际上是数学中“转化”思想的运用八、(本大题 16 分)26(2012 贵州黔西南州，26 ，16 分) 如图 11，在平面直角坐标系 xoy 中，已知
16、抛物线经过点 A(0， 4)，B(1 ，0)，C(5，0) 抛物线的对称轴 l 与 x 轴相交于点 M(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴(2)设点 P 为抛物线(x5)上的一点，若以 A、O 、M、P 为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数请你直接写出点 P 的坐标(3)连接 AC，探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请你求出 N 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)已知抛物线上三点，用“待定系数法”确定解析式； (2)四边形 AOMP 中，AO=4， OM=3，过 A 作 x 轴的平行线交抛物线于 P 点，这个 P 点符合要求“
17、四条边的长度为四个连续的正整数”；(3)使NAC 的面积最大，AC 确定，需要 N 点离 AC 的距离最大，一种方法可以作平行于 AC 的直线，计算这条直线与抛物线只有一个交点时，这个交点即为 N；另一种方法，过 AC 上任意一点作 y 轴的平行线交抛物线于 N 点，这样NAC 被分成两个三角形，建立函数解析式求最大值【答案】(1)根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x1)(x5) ，(1 分)把点 A(0，4) 代入上式，得 a= (2 分)45y= (x1)(x5)= x2 x4= (x3) 2 (3 分)45 45 245 45 165抛物线的对称轴是 x=3(4 分)(2
18、)点 P 的坐标为(6，4)(8 分)(3)在直线 AC 下方的抛物线上存在点 N，使NAC 的面积最大，由题意可设点 N 的坐标为(t， t2 t4)(0t5)(9 分)45 245如图，过点 N 作 NGy 轴交 AC 于点 G，连接 AN、CN由点 A(0，4)和点 C(5，0)可求出直线 AC 的解析式为：y= x4(10 分)45把 x=t 代入 y= x4 得 y= t4，45 45则 G(t， t4) (11 分)45此时 NG= t4( t2 t4)= t2 t(12 分)45 45 245 45 205S NAC = NGOC= ( t2 t)512 12 45 205=2t
19、 210t=2(t )2 (13 分)52 252又0t5，当 t= 时， CAN 的面积最大，最大值为 (14 分)52 252t= 时， t2 t4= 3(15 分)52 45 245点 N 的坐标为( ，3)(16 分)52【点评】本题是一道二次函数、一次函数、三角形的综合题，其中第(3)问也是一道具有难度的“存在性”探究问题本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质的应用专项十 阅读理解题19. (2012 山东省临沂市，19 ，3 分）读一读：式子“1+2+3+4+100”表示从 1 开始的100 个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“ ”
20、是求和符号，通过以上材料的阅读，计算 = .10n 201n)(【解析】式子“1+2+3+4+100”的结果是 ，即 = ；210）（ 01n21）（ 又 ， ，21-31- = + + =1- ，)(n3 2-1n- = = + + =1- = .201n)( 031321 2-32013-2013【答案】 0【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题此题重点除首位两项外，其余各项相互抵消的规律23. （2012浙江省嘉兴市，23，12分）将ABC绕点A按逆时针方向旋转度,并使各边长变为原来的n倍,得AB C ,即如图,BAB ,
21、 ,我们将这种变换ABCn记为,n.(1)如图,对ABC 作变换60, 得AB C ,则 : =_;直线BC与3ABCS直线BC 所夹的锐角为_度;(2)如图 ,ABC中,BAC=30 ,ACB=90 ,对ABC作变换 ,n得AB C ,使点B、C、 在同一直线上,且四边形ABBC为矩形,求和n的值;(3)如图 ,ABC中,AB=AC,BAC=36 ,BC=1, 对ABC作变换,n得ABC ,使点 B、C 、B在同一直线上,且四边形 ABBC为平行四边形 ,求 和 n 的值. 232323BCBCBCABABABC C C【解析】(1) 由题意知, 为旋转角 , n为位似比.由变换60, 和相
22、似三角形的面积比等于3相似比的平方,得 : = 3, 直线BC 与直线BC 所夹的锐角为 60;ABCS(2)由已知条件得 CACBACBAC60. 由直角三角形中, 30锐角所对的直角边等于斜边的一半得 n 2.(3) 由已知条件得 CAC ACB72.再由两角对应相等,证得ABCBBA,由相似三角形的性质求得 n .BC152【答案】(1) 3;60.(2) 四边形 ABBC是矩形,BAC90.CACBACBAC903060.在 RtABB中，ABB90, BAB60,n 2.AB(3) 四边形 ABBC是平行四边形,ACBB,又BAC36CACACB72CABABBBAC36,而BB,
23、ABCBBA ,AB 2CB BBCB(BC+CB),而 CBACABBC, BC1, AB 21(1+AB)AB ,AB0,152n .CB【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在. 本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.27.（2011 江苏省无锡市，27 ，8）对于平面直角坐标系中的任意两点 ,我们把 叫做12P(,)()xy、 1212-+yx两点间的直角距离，记作 .12P、 2d(1)已知 O 为坐标原点，动点 满足 =1，请写出 之间满足的关(,)xy(O)， xy与系式，并
24、在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点 P 所组成的图形；（2）设 是一定点， 是直线 上的动点，我们把0P(,)xyQ(,)=+axb的最小值叫做 到直线 的直角距离，试求点(Qd， 0PyM（2,1）到直线 的直角距离。=+2yx【解析】本题是信息给予题，题目中已经把相关概念进行阐述，按照给出的定义题就可以。 （1）已知 O(0,0)和 利用定义可知(,)Pxy= ；（2 ）由 = ，(O)dP， 0-+=xy0Qd， 0-+()axb则 利用绝对值的几何意义可以MQ2-+-21xx， （ ）求出点 M（2,1）到直线 的直角距离为 3.y【答案】解：（1）有题意，得 ，=xy所有符合条件
25、的点 P 组成的图形如图所示。（2） (Q)=2-+1-+2-1dxx， （ ）x 可取一切实数， 表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和-1 所对应x的点的距离之和，其最小值为 3.M（2,1）到直线 的直角距离为 3.=+2y【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力。这是中考的发展的大趋势。27 （2012 江苏盐城，27，12 分）知识迁移当 a0 且 x0 时，因为（ ） 20，所以 x-2 + 0，从而 x+ 2 （当axaxaxx=2 时取等号） 记函数 y= x+ ( a0,x0),由上述结论可知：当 x=2 时，该函数有最小值为 2 .a直接应用已知函
26、数 y1=x（x0）与函数 y2= （x0）,则当 x= 时，y 1+y2取得最小值为 .1变形应用已知函数 y1=x+1（x-1）与函数 y2=(x+1)2+4（x-1）,求 的最小值，并指出取得该最21小值时相应的 x 的值.实际应用 已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共 360 元；二是燃油费，每千米 1.6 元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为 0.001，设汽车一次运输路程为 x 千米，求当 x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？【解析】本题考查了函数等知识掌握和理解阅读材料是解题的关键.（1）通过阅读发现 x+ 2 （当 x=
27、2 时取等号） 然后运用结论解决问题；axa（2）构造 x+ 2 ，运用结论解决.（3）解决实际问题.【答案】直接应用 1,2变形应用 = 4，所以 的最小值是 4，此时 x+1=21y2(x)44(x1)21y,(x+1)2=4，4x1x=1.实际应用设该汽车平均每千米的运输成本为 y，则 y=360+1.6x+0.01x2，当 x=8 时，y 有最小值，最低运输成本是 424（元）. 【点评】数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值.24 （2012 四川省资阳市，24，9 分）如图，在ABC
28、 中，ABAC，A30，以 AB 为直径的 O 交 B 于点 D，交 AC 于点 E，连结 DE，过点 B 作 BP 平行于 DE，交O 于点P，连结 EP、CP、OP（1）(3 分) BDDC 吗？说明理由；（2）(3 分) 求BOP 的度数；（3）(3 分) 求证：CP 是O 的切线；www. zzstep.c%om&如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设 OP 交 AC 于点 G，证AOG CPG”；小强说：“过点 C 作 CHAB 于点 H，证四边形 CHOP 是矩形
29、”【解析】 （1）连接 AD，由AB 是直径得ADB=90 及等腰三角形的三线合一性质得出BDDC（2）由BAD=CAD 得弧 BD=弧 DE， 得 BD=DE，得出DEC=DCE=75，所以EDC=30，BPDE，PBD= EDC=30 0，OBP= OPB=75-30=45， BOP=90（3）要证 CP 是O 的切线即证 OPCP，在 RtAOG 中， OAG=30，12OGA又 12PCAB， PGCA， OPC又AGO= CGPw&%ww AOGCPG 得GPC= AOG=90得证结论成立.【答案】 （1）BD=DC1 分连结 AD， AB 是直径,ADB=902 分AB=AC，BD
30、=DC3 分（第 24 题图）AB CD EPOGO PED CBA（2）AD 是等腰三角形 ABC 底边上的中线 BAD=CAD 弧 BD 与弧 DE 是等弧，BD=DE4 分BD=DE=DC，DEC=DCE ABC 中，AB =AC，A=30DCE=ABC= 12(18030)=75， DEC=75EDC=180 7575=30BPDE，PBC= EDC=305 分ABP=ABC-PBC=7530=45OB=OP，OBP=OPB =45，BOP=90 6 分（3）证法一：设 OP 交 AC 于点 G，则 AOG=BOP =90HAB CD EPO在 RtAOG 中， OAG=30， 12O
31、GA7 分又 12OPA， P， PC又AGO =CGPw&%ww AOGCPG8 分GPC=AOG=90CP 是 的切线9 分证法二：过点 C 作 CHAB 于点 H，则BOP=BHC=90，PO CH在 RtAHC 中，HAC=30， 12A7 分又 12POAB，PO=CH， 四边形 CHOP 是平行四边形四边形 CHOP 是矩形8 分OPC=90， CP 是 的切线9 分来源#:%中*教网【点评】本题属于几何知识综合运用题，主要考查了等腰三角形的三线合一性质及常用辅助线、三角形相似判定、圆的性质及圆切线的判定等知识解答此类题应具备综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运
32、用，能较好地区分出不同数学水平的学生，保证区分结果的稳定性，从而确保试题具有良好的区分度，进而有利于高一级学校选拔新生难度较大22. （2012 浙江省绍兴，22，12 分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索.如图，一架 2.5 米工的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时 B 到墙底端 C 的距离为0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么点 B 将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题的解答补充完整：解：设点 B 将向外移动 x 米，即 BB1=x，则 B1C=x+0.7,A1C=ACAA 1= ，24.07.522而 A1B
33、1=2.5，在 RtA 1B1C 中，由 B1C2+A1C2=A1B12，得方程 ，解方程 x1= ，x 2= ，点 B 将向外移动 米.（2）解完“思考题”后，小陪提出了如下两个问题：在“思考题”中将“下滑 0.4 米”改为“下滑 0.9 米” ，那么该题的答案会是 0.9 米吗？为什么？在“思考题”中，梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？问 题 问 题 思 考 题请你解答小聪提出的这两个问题.【解析】 （1）根据题意求解一元二次方程即可；（2）根据题意建立勾股定理模型，通过计算验证它是否符合题意；（3）在假设结论成立的条件下，建立一元二
34、次方程模型，看看方程是否有实数解即可 【答案】解：（1） ，225.)7.0(x0.8，2.2（舍去） ，0.8.（2）不会是 0.9 米.若 AA1=BB1+0.9，则 A1C=2.40.91.6，A 1C0.7+0.9=1.6， .8.465.2256.A 1C2+B1C2A 1B12，该题的答案不会是 0.9 米.有可能.设梯子顶端从 A 处下滑 1.7 米时，点 B 向外也移动 1.7 米，脚梯子顶端从 A 处沿墙AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等.【点评】这是一道实际应用题，解答本题的关键是借助勾股定理将实际问题转化为一元二次方程问题来求解.25.(2012 湖北随州
35、，25，13 分) 在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程 230x巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）.接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二题：（2）解关于 x 的方程 （m 为常数，且 m0）.2()30mx老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于 x 的函数 （m 为常数）.2()y求证：不论 m 为何值，此函数的图象恒过 x 轴、y 轴上的两个定点（设 x 轴上的定点为 A，y 轴上的定点为 C） ；若 m0 时，设此函数的图象与 x 轴的另一个交点为 B.当ABC 为锐角三角形时，求 m
36、 的取值范围；当ABC 为钝角三角形时，直接写出 m 的取值范围.请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.解析：（1） 、 （2）两问，用十字相乘法即可解决问题；（3）中的第个问题，只要说明档x=0 或 y=0 时，对应的函数值或自变量的值是一个常数即可，注意要分 m=0 和 m0 两侦破那个情况讨论；第小题也要根据 m 的值的不同情况进行分类讨论.答案：解：（1）由 x22x 30，得（x +1）( x3)=0x 1=1,x2=3（2）：由 mx2+(m 3)x3=0 得（x+1）(mx 3)=0m0, x 1=1,x 2=（3）1当 m=0 时，函数 y= mx2+(m 3)x3 为 y=3x
37、3，令 y=0,得 x=1令 x=0,则 y=3. 直线 y= 3x3 过定点 A（1,0）,C （0，3）2当 m0 时，函数 y= mx2+(m 3)x3 为 y=（x+1）(mx3)抛物线 y=（x+1）(mx3)恒过两定点 A（1，0）,C（0，3）和B（ ， 0）当 m0 时，由 可知抛物线开口向上，且过点 A（1，0）,C（0，3）和B（ ，0） ， 13分观察图象，可知，当ABC 为 Rt时，则AOCCOB BOCA 3 2=1OC2OB=9.即 B(9,0) 当 .即：m901当 m 时， ABC 为锐角三角形 31观察图象可知当 090,当 m90ABC 是钝角三角形.当 0m 或 m0 且 m3 时，1ABC 为钝角三角形 2 分点评：本题综合考查了十字相乘法的因式分解、二次函数的图象和性质、相似三角形的性质等.考查了学生综合运用数学知识和数形结合思想、分类讨论思想、函数的思想和方程的思想等多种数学思想方法来解决问题的能力. 其中两处分类讨论，就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.
