1、考点三十二：图形的轴对称 聚焦考点温习理解1如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点2图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线对应线段、对应角相等3由一个平面图形可以得到它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线 l
2、的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成4. 轴对称与轴对称图形轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系名师点睛典例分类考点典例一、识别轴对称图形【例 1】 （2015 绵阳）下列图案中，轴对称图形是（ ）A B C D【答案】D考点：轴对称图形
3、【点睛】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少 1 条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形【举一反三】1.(2015.山东日照，第 1 题，3 分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D考点：轴对称图形2.(2015.天津市，第 3 题，3 分)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形,下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
4、( )吉 祥 如 意（A） （B） （C） （D）【答案】A.【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念，在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；四个选项中只有选项 A 符合要求，故答案选 A.考点：轴对称图形的概念.考点典例二、作已知图形的轴对称图形【例 2】 （2014厦门）在平面直角坐标系中，已知点 A（-3，1） ，B（-1，0） ，C（-2，-1） ，请在图中画出ABC，并画出与ABC 关于 y 轴对称的图形【答案】考点：作图-轴对称变看完换【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键画轴对称图形，关键是先作出一条对称
5、轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形【举一反三】在 43 的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：不得与原图案相同；黑、白方块的个数要相同） （1）是轴对称图形，又是中心对称图形；（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；（3）是中心对称图形，但不是轴对称图形【答案】作图见解析.【解析】试题分析：（1）可组成长方形；（2）可组成楼梯形状；（3）可组成平行四边形试题解析：画图如下：考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案考点典例三、轴对称性质的应
6、用【例 3】如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，M、N 分别是 BC、CD 的中点，P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是 【答案】5.【解析】试题分析：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC，即可得出答案试题解析：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，QBP=MBP，即 Q 在 AB 上，MQB
7、D，ACMQ，M 为 BC 中点，Q 为 AB 中点，N 为 CD 中点，四边形 ABCD 是菱形，BQCD，BQ=CN，四边形 BQNC 是平行四边形，NQ=BC，四边形 ABCD 是菱形，CP= 12AC=3，BP= BD=4，在 RtBPC 中，由勾股定理得：BC=5，即 NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5.考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质【点睛】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根
8、据轴对称找出 P 的位置【举一反三】如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将AMN 沿 MN所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是 【答案】 71【解析】试题分析：根据题意得出 A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出 AC 的长即可试题解析如图所示：MA是定值，AC 长度取最小值时，即 A在 MC 上时，过点 M 作 MFDC 于点 F，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 为 AD 中点，2MD=AD=CD=2，FDM=60，FMD=30，FD= 12MD= ，FM=DMcos30= 32，MC
9、= 27FMC，AC=MC-MA= 1考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）考点典例四、折叠问题【例 4】(2015.宁夏，第 14 题，3 分)如图，在矩形 ABCD 中， AB=3,BC=5,在 CD 上任取一点 E，连接 BE,将 BCE 沿 BE 折 叠 ， 使 点 E 恰 好 落 在 AD 边 上 的 点 F 处 ， 则 CE 的 长 为 【答案】 35.考点：矩形的性质；折叠的性质；勾 股 定 理 .【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对
10、称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等【举一反三】1.如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使边 AB，CB 均落在对角线 BD 上，得折痕 BE，BF，则EBF 【答案】45.考点：角的计算；翻折变换（折叠问题）2.（2015黑龙江绥化）在矩形 ABCD 中 ，AB=4 , BC=3 , 点 P 在 AB 上。若将DAP 沿 DP 折叠 ，使点 A落在矩形对角线上的 A处 ，则 AP 的长为_.【答案】 32或 94【解析】试题分析：分两种情况讨论：点 A 落在矩形对角线 BD 上，如图 1，AB=4，BC=3， BD=5，根据折叠的性质，AD=AD=3，AP=AP，A=PAD=90
11、，BA=2，设 AP=x，则 BP=4-x，BP 2=BA 2+PA 2，（4-x） 2=x2+22，解得：x= 3,AP= ；点 A 落在矩形对角线 AC 上，如图 2，根据折叠的性质可知 DPAC，DAPABC， ADBPC ，AP= =34= 9故答案为： 2或考点：1.矩形的折叠；2.直角三角形的性质；3.相似三角形的判定与性质.课时作业能力提升一、选择题1. (2015.北京市，第 4 题，3 分)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图
12、形叫轴对称图形；D 符合轴对称图形的定义，故选 D.考点：轴对称图形2. （2015 成都）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB= 13， AD=4，将平行四边形 ABCD 沿 AE 翻折后，点 B恰好与点 C 重合，则折痕 AE 的长为_【答案】3考点：1翻折变换（折叠问题） ；2勾股定理；3平行四边形的性质3 （2015 达州）如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C上，点 D 落在 D处，C D交 AE 于点 M若 AB=6， BC=9，则 AM 的长为 【答案】 94【解析】考点：1翻折变换（折叠问题） ；2综合题4 （2015 内江）如图，
13、在四边形 ABCD 中， AD BC， C=90， E 为 CD 上一点，分别以 EA， EB 为折痕将两个角（ D， C）向内折叠，点 C， D 恰好落在 AB 边的点 F 处若 AD=2， BC=3，则 EF 的长为 【答案】 6考点：1翻折变换（折叠问题） ；2综合题5.（2015 凉山州）菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（2，0） ，DOB=60，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E（0，1） ，当 EP+BP 最短时，点 P 的坐标为 【答案】 （ 23， ） 【解析】试题分析：连接 ED，如图，点 B 的对称点是点 D，DP=BP，ED 即为 EP+BP
14、 最短，四边形 ABCD 是菱形，顶点 B（2，0） ，DOB=60，点 D 的坐标为（1， 3） ，点 C 的坐标为（3， 3） ，可得直线 OC 的解析式为：3yx，点 E 的坐标为（1，0） ，可得直线 ED 的解析式为： (1)yx，点 P 是直线 OC和直线 ED 的交点，点 P 的坐标为方程组3(1)yx的解，解方程组得： 23y，所以点P 的坐标为（ 23， ） ，故答案为：（ 23， ） 考点：1菱形的性质；2坐标与图形性质；3轴对称-最短路线问题；4动点型；5压轴题；6综合题6.如图，点 P 是AOB 外的一点，点 M，N 分别是AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称
15、点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上若 PM2.5 cm，PN3 cm，MN4 cm，则线段 QR的长为( )A4.5 cm B5.5 cm C6.5 cm D7【答案】A考点：轴对称的性质7. （2014德州）如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8，点 E，F 分别在 AD，BC 上，将纸片 ABCD沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：四边形 CFHE 是菱形；EC 平分DCH；线段 BF 的取值范围为 3BF4；当点 H 与点 A 重合时，EF=2 5以上结论中
16、，你认为正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4【答案】C.试题解析：FH 与 CG，EH 与 CF 都是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的一部分，FHCG，EHCF，四边形 CFHE 是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，四边形 CFHE 是菱形，（故正确）；BCH=ECH，只有DCE=30时 EC 平分DCH，（故错误）；点 H 与点 A 重合时，设 BF=x，则 AF=FC=8-x，在 RtABF 中，AB2+BF2=AF2，即 42+x2=（8-x） 2，解得 x=3，点 G 与点 D 重合时，CF=CD=4，BF=4，线段 BF 的取值范围为 3BF4，（故正确）；过点 F 作
17、 FMAD 于 M，则 ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得，EF= 2245MFE，（故正确）；综上所述，结论正确的有共 3 个故选 C考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的判定与性质二、填空题8如图，在 RtABC 中，B90，AB3，BC4，将ABC 折叠，使点 B 恰好落在边 AC 上，与点 B重合，AE 为折痕，则 EB_【答案】1.5.【解析】试题分析：首先根据折叠可得 BE=EB，AB=AB=3，然后设 BE=EB=x，则 EC=4-x，在 RtABC 中，由勾股定理求得 AC 的值，再在 RtBEC 中，由勾股定理可得方程 x2+22=（4-x） 2，再解方程即可
18、算出答案试题解析：根据折叠可得 BE=EB，AB=AB=3，设 BE=EB=x，则 EC=4-x，B=90，AB=3，BC=4，在 RtABC 中，由勾股定理得，AC= 22345ABC，BC=5-3=2，在 RtBEC 中，由勾股定理得，x 2+22=（4-x） 2，解得 x=1.5.考点：翻折变换（折叠问题）9.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 7 个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有_种【答案】3.考点：利用轴对称设计图案10. （2015 攀枝花）如图，在边长为 2 的等边 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 是
19、AC 边上一点，则 BE+DE 的最小值为 【答案】 7考点：1轴对称-最短路线问题；2等边三角形的性质；3最值问题；4综合题11.（2015黑龙江绥化）如图 ，在矩形 ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 . 若点 M、N 分别是线段 ACAB 上的两个动点 ，则 BM+MN 的最小值为（ ）A. 10 B. 8 C. 5 3 D. 6【答案】B【解析】试题分析：作点 B 关于 AC 的对称点 E，过 E 作 EF 垂直 AB 交 AB 于 F 点，此时 BM+MN 的值最小=EF 的长，由勾股定理可得：AC= 25AC，S ABC = 12ACBQ= ABBC，AC 边上的高BQ= 2
20、510，BE=2BQ= 4ABQ=EBF，AQB=EFB=90，BEFBAQ， BAQCAB，CABBEF， ABEF，即 1054， EF=8,故选：B考点：1.矩形的性质；2.轴对称；3.相似三角形的判定与性质.三、解答题1.（2015 乐山） （10 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在平面上的 F 点处，DF 交BC 于点 E（1）求证：DCEBFE；（2）若 CD=2，ADB=30，求 BE 的长【答案】 （1）证明见试题解析；（2） 43试题解析：（1）ADBC，ADB=DBC，根据折叠的性质ADB=BDF，F=A=C=90，DBC=BDF，BE=DE，在DCE 和BFE 中，BEF=DEC，F=C，BE=DE，DCEBFE；（2）在 RtBCD 中，CD=2，ADB=DBC=30，BC= 23，在 RtBCD 中，CD=2，EDC=30，DE=2EC， 22()ECD，CE= ，BE=BCEC= 4考点：1翻折变换（折叠问题） ；2全等三角形的判定与性质
