1、十一：二次函数聚焦考点温习理解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果 )0,(2 acbaxy是 常 数 ， ，那么 y 叫做 x 的二次函数。),(2cbxay是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 cbxay2与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序
2、连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 cxy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 02cbxa有实根 1x和 2存在时，根据二次三项式的分解因式 )(212 xacba，二次函数 y2可转化为两根式 )(21xay。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 abx2时，abcy42最 值。如果自变量的取值范围是 21x，那么，首先要看 ab
3、2是否在自变量取值范围 21x内，若在此范围内，则当 x= ab2时， abcy42最 值 ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 21范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 2x时， cbxay2最 大 ，当 1x时，cbxa12最 小；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 1时， 1最 大 ，当 2x时， cbxa2最 小 。四、二次函数的性质 1、二次函数的性质2、二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ， 中， cb、 的含义：a表示开口方向： 0 时，抛物线开口向上, 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 1
4、，与题意不符.当 x=1 时，由 2411解得 2，此时 2yx5，它在2xl 的最大值是 4，与题意相符.当 x= m 时，由 2m解得 3，此时 234. 对 2yx3，它在2xl 的最大值是 4，与题意相符；对 2yx4，它在2xl 在 x=1 处取得，最大值小于 4，与题意不符.综上所述，实数 m 的值为 2 或 3.故选 C考点典例四、二次函数的图象与性质【例 4】（2015 遂宁）二次函数 2yaxbc（ 0a）的图象如图所示，下列结论： 20ab； ac； 4； ； 420abc，其中正确的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【答案】B故选 B考点：二次函数图象与系数的关系【点睛】
5、根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案.【举一反三】1.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）抛物线 2yaxbc（ 0a）的对称轴为直线1x，与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：240acb；2 a b=0； a+b+c0；点 M（ 1x， ） 、 N（ 2， ）在抛物线上，若 12x，则12y，其中正确结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C考点：二次函数图象与系数的关系2.已知二次函数 2yaxbc的图象与 x 轴交于点（2，0） ，(x 1，0)且 1x 12，与 y 轴正半轴的交点在点(0
6、，2）的下方，下列结论：ab0； 48bac；4a+c0；2ab+l0其中正确的结论是（填写序号） 【答案】【解析】试题解析：根据题意画大致图象如图所示，由图象开口向下知 a0，由 y=ax2+bx+c 与 X 轴的另一个交点坐标为（x 1，0 ） ，且 1x 12，则该抛物线的对称轴为 x=- 2b= ()x- 2，即 ba1，由 a0，两边都乘以 a 得：ba，a0，对称轴 x=- 0，b0，ab0故正确；由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2，即： 24acb2，由于 a0，所以 4ac-b28a，即 b2-4ac-8a，故正确；由 4a-2b+c=0 得 4a+
7、c=2b,b0，4a+c0，故此结论正确由 4a-2b+c=0 得 2a-b=- 2c，而 0c2，-1- 2c0-12a-b02a-b+10，所以结论错误考点：抛物线与 x 轴的交点考点典例五、二次函数图象与平移变换【例 5】(2015.上海市，第 12 题，4 分)如果将抛物线 21yx向上平移，使它经过点 (0,3)A，那么所得新抛物线的表达式是_【答案】 23yx【解析】试题分析：可知抛物线过 (0,1)，上下平移时只改变常数项，由条件知平移后经过 (0,3)，故平移后解析式为 23yx.考点：1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式.【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点
8、式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【举一反三】1.（2015 成都）将抛物线 2yx向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）A 2()3yx B 2()3 C 2()yx D 2()3yx【答案】A考点：二次函数图象与几何变换2.（2015.河南省，第 12 题，3 分）已知点 A（4，y 1） ，B（ 2，y 2） ，C（-2，y 3）都在二次函数 y=(x-2)2-1 的图象上，则 y1，y 2，y 3的大小关系是 .【答案】y 3y1y2.【解析】试题分析：将 A,B,C 三点坐标分别代入解析式，得：y 1=3,y2=5-4 ,
9、y3=15,y 3y1y2.考点：二次函数的函数值比较大小.课时作业能力提升一选择题1 （2015 广安）如图，抛物线 2yaxbc（ 0a）过点（1，0）和点（0，3） ，且顶点在第四象限，设 P=abc，则 P 的取值范围是（ ）A3 P1 B6 P0 C3 P0 D6 P3【答案】B【解析】试题分析：抛物线 2yaxbc（ 0a）过点（1，0）和点（0，3） ，0= a b+c，3= c， b=a3，当 x=1 时，2yx=a+b+c， P= =a+a33=2 a6，顶点在第四象限，a0， b=a30， a3，0 a3，62 a60，即6 P0故选 B考点：二次函数图象与系数的关系2.抛
10、物线 2221yxyx， ， 共有的性质是（ ）A开口向下 B对称轴是 y 轴 C都有最低点 Dy 随 x 的增大而减小【答案】B考点：二次函数的性质3.（2015 攀枝花）将抛物线 21yx向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）A 2(1)yx B 2() C 2()yx D 2()yx【答案】C考点：二次函数图象与几何变换4.已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，1）和（1，0） 下列结论：ab+c=0；b 24ac；当 a0 时，抛物线与 x 轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；抛物线的对称轴为 x= 14a其中结论正确的个数有（ ）
11、A4 个B3 个C2 个 D1 个【答案】B【解析】试题分析：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，0） ，ab+c=0，故正确.抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，1） ，a+b+c=1.又 ab+c=0，两式相加，得 2（a+c）=1，a+c= 12，两式相减，得 2b=1，b= 1222 21b4aca4a，当 10，即 a= 14时，b 24ac=0，故错误.当 a0 时，221b4c0，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点.设另一个交点的横坐标为 x，则1ac12x2a.a0， a1.即抛物线与 x 轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故正确.抛物
12、线的对称轴为1b2a4a，故正确综上所述，结论正确的有3 个.故选 B考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.二次函数图象与系数的关系；3.二次函数与一元二次方程的关系；4.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；5.二次函数的性质；6.不等式的性质.5.（2015.山东济南，第 15 题,3 分）如图，抛物线 y=2x 2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1向右平移得 C2，C 2与 x 轴交于点 B，D若直线 y=x+m 与 C1、C 2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）A 18-2 m B 74-3 C 2-3 m D
13、 158-3 【答案】D【解析】试题分析：令 y=2x 2+8x6=0，即 x24x+3=0，解得 x=1 或 3，则点 A（1，0） ，B（3，0） ，由于将 C1向右平移 2 个长度单位得 C2，则 C2解析式为 y=2（x4） 2+2（3x5） ，当 y=x+m1与 C2相切时，令 y=x+m1=y=2（x4） 2+2，即 2x215x+30+m 1=0，=8m 115=0，解得 m1= 58，当 y=x+m2过点 B 时，即 0=3+m2，m2=3，当 158-3 时直线 y=x+m 与 C1、C 2共有 3 个不同的交点，故选：D考点：二次函数的图象.6.(2014甘肃省白银市)二次
14、函数 y=x2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点（ ）A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1）【答案】D.【解析】试题分析：对二次函数 y=x2+bx+c，将 b+c=0 代入可得：y=x 2+b（x1） ，则它的图象一定过点（1，1） 故选 D考点：二次函数图象与系数的关系7.（2015黑龙江绥化）把二次函数 y=2x 2的图象向左平移 1 个单位长度 ，再向下平移 2 个单位长度 ，平移后抛物线的解析式为_.【答案】 24yx或 2(1)yx（答出这两种形式中任意一种均得分）考点：抛物线的平移.8.（2015辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数 2()y
15、axh（ 0）的图象可能是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：二次函数 2()yaxh（ 0）的顶点坐标为（ h，0） ，它的顶点坐标在 x 轴上，故选 D考点：二次函数的图象二填空题9.如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 .【答案】直线 x2.【解析】试题分析：对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于（1，0），（3，0）两点，它的对称轴为 13x2.考点：二次函数的性质.10.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A、B 两点若点 A 的坐标为（-2,0)，抛物线的对称轴为直线 x=2则线段 AB 的长
16、为 .【答案】8考点：1.抛物线与 x 轴的交点问题；2.二次函数的性质11.（2015.山东枣庄，第 12 题，3 分）如图是二次函数 y=ax+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x=21，且经过点（2,0） ，有下列说法：abc0；a+b=0；4a+2b+c=0；若（0，y 1） ， （1，y 2）是抛物线上的两点，则 y1= y 2上述说法正确的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： 由图象可得 a0,又因为 102ba，所以 b0,即 abc0,正确；当 x=1 时，a+b=0；正确；当 x=2 时，4a+2b+c=0,错误；当 x=1 时，所得 2y与抛物线与
17、y 轴的交点关于抛物线的对称轴对称，所以 12y，正确.故选 A.考点：二次函数的图象和性质12.（2015 资阳）已知抛物线 p： 2yaxbc的顶点为 C，与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），点 C 关于 x 轴的对称点为 C，我们称以 A 为顶点且过点 C，对称轴与 y 轴平行的抛物线为抛物线 p的“梦之星”抛物线，直线 AC为抛物线 p 的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是 21yx和 2yx，则这条抛物线的解析式为 【答案】 23x考点：1抛物线与 x 轴的交点；2二次函数的性质；3新定义三解答题13.如图，已知二次函数 y=a
18、（xh） 2+ 3的图象经过原点 O（0，0） ，A（2，0） （1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OA，试判断点 A是否为该函数图象的顶点？【答案】(1)x=1；（2）是.【解析】试题分析：（1）由于抛物线过点 O（0，0） ，A（2，0） ，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作 ABx 轴与 B，先根据旋转的性质得 OA=OA=2，AOA=2，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 OB= 1OA=1，AB= 3OB= ，则 A点的坐标为（1， 3） ，根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线 y= （x1） 2+ 的顶点
19、试题解析：（1）二次函数 y=a（xh） 2+ 3的图象经过原点 O（0，0） ，A（2，0） 抛物线的对称轴为直线 x=1；（2）点 A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作 ABx 轴于点 B，线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OA，OA=OA=2，AOA=2，在 RtAOB 中，OAB=30，OB= 12OA=1，AB= 3OB= ，A点的坐标为（1， 3） ，点 A为抛物线 y= （x1） 2+ 3的顶点考点：1.二次函数的性质；2.坐标与图形变化-旋转.14.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭） 【6 分】如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长为 4，顶点
20、 A、 C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴，抛物线 21yxbc经过 B、 C 两点，点 D 为抛物线的顶点，连接 AC、 BD、 CD（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积【答案】 （1） 24yx；（2） D（2，6） ，12考点：1待定系数法求二次函数解析式；2二次函数图象上点的坐标特征15.(2015湖北衡阳，27 题，分)（本小题满分 10 分）如图，顶点 M 在 y轴上的抛物线与直线 1yx相交于 A、B 两点，且点 A 在 x轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM 的形状，并说明理由
21、；（3）把抛物线与直线 yx的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（ m， 2） ，当 m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？【答案】 （1）抛物线的解析式为 21yx（2）ABM 是直角三角形，且BAM90理由见试题解析；（3）平移后的抛物线总有不动点， 4m【解析】试题解析：解：（1）点 A 是直线 1yx与 轴的交点，A 点为（-1，0）点 B 在直线 1yx上，且横坐标为 2，B 点为（2，3）过点 A、B 的抛物线的顶点 M 在 y轴上，故设其解析式为： 2yaxc 043ac，解得： 1ac抛物线的解析式为 2yx（2）ABM 是直角三角形，且BAM90理由如下：作 BC x轴于点 C，A（-1，0） 、B（2，3）ACBC3，BAC45；点 M 是抛物线 21y的顶点，M 点为（0，-1）OAOM1，AOM90MAC45；BAMBACMAC90ABM 是直角三角形（3）将抛物线的顶点平移至点（ m， 2） ，则其解析式为 2yxm抛物线的不动点是抛物线与直线 yx的交点， 2化简得： 2210xx 224mm 41当 410时，方程 220xx总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点 考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）
