1、 因动点产生的梯形问题例 1 2012 年上海市松江区中考模拟第 24 题已知直线 y3 x3 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A， B，抛物线 y ax22 x c 经过点A， B来&源:中教#*网（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线 l，点 B 关于直线 l 的对称点为 C，若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形 ABCD 为梯形求点 D 的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为 P，其对称轴与直线 y3 x3 交于点 E，若 ，求四边形73tanDBDEP 的面积图 1 动感体验www#.z%zst*请打开几何画板文件名“1
2、2 松江 24”，拖动点 P 向右运动，可以体验到， D、 P 间的垂直距离等于 7 保持不变， DPE 与 PDH 保持相等请打开超级画板文件名“12 松江 24”， 拖动点 P 向右运动，可以体验到， D、 P 间的垂直距离等于 7 保持不变， DPE 与 PDH 保持相等， ，四边形 BDEP 的面tan0.43E积为 24思路点拨1这道题的最大障碍是画图， A、 B、 C、 D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是 D、 P 两点间的垂直距离等于73已知 DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、 P 两点间的垂直
3、距离等于 7，那么点P 向右平移到直线 x3 时，就停止平移满分解答来#源:中国教育出版 &%网（1）直线 y3 x3 与 x 轴的交点为 A(1，0)，与 y 轴的交点为 B(0,3)将 A(1，0)、 B(0,3)分别代入 y ax22 x c，得 解得 来源:学优20,.ac1,.ac所以抛物线的表达式为 y x22 x3对称轴为直线 x1，顶点为(1,4)（2）如图 2，点 B 关于直线 l 的对称点 C 的坐标为(2,3)因为 CD/AB，设直线 CD 的解析式为 y3 x b，代入点 C(2,3)，可得 b3所以点 D 的坐标为（0，3）过点 P 作 PH y 轴，垂足为 H，那么
4、 PDH DPE由 ，得 中国教&育出*版网7tanE3tan7PD而 DH7，所以 PH3因此点 E 的坐标为（3，6）所以 来源&*:#中教网1()242BDPSH梯 形图 2 图 3中&国教育出版*#%网考点伸展第（2）用几何法求点 D 的坐标更简便：因为 CD/AB，所以 CDB ABO中国#&教育出*版网因此 所以 BD3 BC6， OD3因此 D（0，3）中#%国教育出版&网1BCOA来#%源:中国教育&出版网来源:zzstep*.com#来源:中国教育%*出&版网中国#教&育%出版网www.zzst&e#p.co%m中*%国教育出版#网例 2 2012 年衢州市中考第 24 题来
5、源:*中#教&网如图 1，把两个全等的 Rt AOB 和 Rt COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、 OD 在 x 轴上已知点 A(1，2)，过 A、 C 两点的直线分别交 x 轴、 y 轴于点 E、 F抛物线 y ax2 bx c 经过 O、 A、 C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若 AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C
6、 重合）， AOB 在平移的过程中与 COD 重叠部分的面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由图 1 ww&w.zz*ste%动感体验请打开几何画板文件名“12 衢州 24”， 拖动点 P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在AB 的左侧，存在等腰梯形 ABPM拖动点 A在线段 AC 上运动，可以体验到，RtA OB、Rt COD、Rt A HG、Rt OEK、Rt OFG 和 Rt EHK 的两条直角边的比都为12请打开超级画板文件名“12 衢州 24”，拖动点 P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在AB 的左侧，存在 AM=BP拖动点 A在线
7、段 AC 上运动，发现 S 最大值为 0.375来源:zz#&思路点拨1如果四边形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形， AB 边分成的 3 小段，两侧的线段长线段2 AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，可以通过割补得到，即 OFG 减去 OEH中国#教育&出版网3求 OEH 的面积时，如果构造底边 OH 上的高 EK，那么 Rt EHK 的直角边的比为124设点 A移动的水平距离为 m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用 m 表示满分解答（1）将 A(1，2)、 O(0，0)、 C(2，1)分别代入 y a
8、x2 bx c，得 解得 ， ， 所以 2,04.abc32a7b0c237x（2）如图 2，过点 P、 M 分别作梯形 ABPM 的高 PP、 MM，如果梯形 ABPM 是等腰梯形，那么 AM BP，因此 yA y M yP yB直线 OC 的解析式为 ，设点 P 的坐标为 ，那么 中%国教育出&*版网#1x1(,)2x237(,)Mx解方程 ，得 ， 237()13x2 的几何意义是 P 与 C 重合，此时梯形不存在所以 来源:zzstep%.c#o*&m(,)3P图 2 图 3（3）如图 3， AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，作 EK OD 于 Kwww.zzs*&
9、te#设点 A移动的水平距离为 m，那么 OG1 m， GB m在 Rt OFG 中， 所以 1()FGO21()4OFGS在 Rt A HG 中， A G2 m，所以 2HA所以 13()2OHGm在 Rt OEK 中， OK2 EK；在 Rt EHK 中， EK2 HK；所以 OK4 HK因此 所以 来%源:&中*教网43KEKOm所以 2134OEHS于是 来源:学优21()4FGEm213()8因为 0 m1，所以当 时， S 取得最大值，最大值为 138考点伸展来%源:#&中教网*第（3）题也可以这样来解：设点 A的横坐标为 a来源&:%中国教育出版网#*由直线 AC： y x3，可
10、得 A( a, a3)由直线 OC： ，可得 121()2F由直线 OA： y2 x 及 A( a, a3)，可得直线 O A： y2 x3 a3，3(,0)aH由直线 OC 和直线 O A可求得交点 E(2a2， a1)由 E、 F、 G、 H 4 个点的坐标，可得www.z%#z&来源:zzste*&例 4 2011 年义乌市中考第 24 题已知二次函数的图象经过 A（2，0）、 C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x4，设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；（2）如图 1，在直线 y2 x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯
11、形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、 P 两点除外），以每秒 个单位长度2的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN/x 轴，交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式 来源:学优 gkstk图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“11 义乌 24”，拖动点 M 从 P 向 O 运动，可以体验到， M 在到达 PO 的中点前，重叠部分是三角形；经过中
12、点以后，重叠部分是梯形思路点拨www. zzs&t#%1第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况中%&#国教育出版网2第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是 PO 的中点www%.zzstep#.&com满分解答来源:%#*（1）设抛物线的解析式为 ，代入 A（2，0）、 C(0，12) 两点，得2(4)yaxk解得 40,62.ak1,.k所以二次函数的解析式为 ，顶点 P 的坐标为22(4)81yxx（4，4）（2）由 ，知点 B 的坐标为（6，0）281yx假设在等腰梯形 OPBD，那么 DP OB6设点 D
13、的坐标为( x，2 x)由两点间的距离公式，得 解得 或 x222(4)()3x5如图 3，当 x2 时，四边形 ODPB 是平行四边形所以，当点 D 的坐标为( ， )时，四边形 OPBD 为等腰梯形5来源:#zzstep*.com图 3 图 4 图 5（3）设 PMN 与 POB 的高分别为 PH、 PG在 Rt PMH 中， ， 所以 2PMtHt24PGt在 Rt PNH 中， ， 所以 12N3MN 如图 4，当 0 t2 时，重叠部分的面积等于 PMN 的面积此时2134St如图 5，当 2 t4 时，重叠部分是梯形，面积等于 PMN 的面积减去 P DC 的面积由于 ，所以 ww
14、#w.%PDCMNGH 22 43(4)PDCtStt此时 2239(4)1Stt考点伸展第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以 P 为圆心， OB 长为半径画圆，与直线 y2 x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点方法二，按照对边相等画圆以 B 为圆心， OP 长为半径画圆，与直线 y2 x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点w#ww.z&www.z#zste&*来源:中国教*#育&出版%网来源:中&*教网中国&教育*出%#版网例 5 2010 年杭州市中考第 24 题如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
15、的解析式是 y ，点 C 的坐标为214x(4，0)，平行四边形 OABC 的顶点 A， B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x， y)在抛物线上，点 P(t，0)在 x 轴上 来源:zz&st*ep#.com(1) 写出点 M 的坐标； (2) 当四边形 CMQP 是以 MQ， PC 为腰的梯形时 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围； 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 12 时，求 t 的值来源:GKSTK.Com图 1动感体验请打开几何画板文件名“10 杭州 24”，拖动点 Q 在抛物线上运动，从 t 随 x 变化的图象可以看到， t 是 x
16、的二次函数，抛物线的开口向下还可以感受到， PQ CM12 只有一种情况，此时 Q 在 y 轴上； CM PQ12 有两种情况思路点拨1第（1）题求点 M 的坐标以后，Rt OCM 的两条直角边的比为 12，这是本题的基本背景图2第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于 t 与 x 的比例式，从而得到 t 关于 x 的函数关系 3探求自变量 x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况4梯形的两底的长度之比为 12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为 QH 与MO 的长度比来源:zzst%ep.c&*om满分解答(1)因为 AB OC 4，
17、 A、 B 关于 y 轴对称，所以点 A 的横坐标为 2将 x2 代入 y，得 y2所以点 M 的坐标为（0，2）来源:中*国教育出版网Öx(2) 如图 2，过点 Q 作 QH x 轴，设垂足为 H，则 HQ y ， HP x t 214因为 CM/PQ，所以 QPH MCO因此 tan QPHtan MCO，即 所以 整理，得 12HQOPC21()4xt2tx如图 3，当 P 与 C 重合时， ，解方程 ，得 t1415如图 4，当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时， x 2因此自变量 x 的取值范围是 ，且 x 2 的所有实数15x图 2 图 3 图 4因为
18、sin QPHsin MCO，所以 ，即 HQOMPCPHQ当 时， 解方程 ，得 （如图12PQHCMO1214x0x5）此时 t当 时， 解方程 ，得 QO223如图 6，当 时， ；如图 6，当 时， 中国教育出%版网*&23x823t3x8t图 5 图 6 图 7考点伸展本题情境下，以 Q 为圆心、 QM 为半径的动圆与 x 轴有怎样的位置关系呢？来&源:中教#网设点 Q 的坐标为 ，那么 21,4x222114Mx而点 Q 到 x 轴的距离为 2因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心 Q 到 x 轴的距离，圆 Q 与 x 轴相切来%&源#:中教网www.#*中国&教育出%版网来源:中国教
19、%*育出#版网来*源#:中国教育出版网&%例 7 2009 年广州市中考第 25 题如图 1，二次函数 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于)0(2pqxy点 C（0，1）， ABC 的面积为 45（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点 M（0， m）作 y 轴的垂线，若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使以 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由来源%:中教网&图 1动感体验 请打开几何画板文件名“09 广州 25”，可以看到， ABC 是以
20、 AB 为斜边的直角三角形， AB 是它的外接圆直径，拖动点 M 在 y 轴上运动，可以体验到，过 M 的直线与圆相切或者相交时有公共点中#国教育出&%版网在抛物线上有两个符合条件的点 D，使以 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形为直角梯形思路点拨1根据 ABC 的面积和 AB 边上的高确定 AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示2数形结合，根据点 A、 B、 C 的坐标确定 OA、 OB、 OC 间的数量关系，得到 AOCCOB，从而得到 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形， AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出 m 的取值范围中#国教育出版&网3根据直角梯形的定义，很
21、容易确定符合条件的点 D 有两个，但是求点 D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些满分解答（1）因为 OC1， ABC 的面积为 ，所以 AB 4525设点 A 的坐标为（ a，0），那么点 B 的坐标为（ a ，0）来源*:中国%教育出&版网设抛物线的解析式为 ，代入点 C（0，1），)(xy得 解得 或 1)25(a21因为二次函数的解析式 中， ，所以抛物线的对称轴在 y 轴右qpxy侧因此点 A、 B 的坐标分别为 ， )0,(,(所以抛物线的解析式为 123)(21xxy（2）如图 2，因为 ， ，所以 因此 AOCOBACOBCACOB所以 ABC 是以 AB 为
22、斜边的直角三角形，外接圆的直径为 AB因此 m 的取值范围是 m www.zzstep.co*#m45来源:*中&%教网图 2 图 3 图 4（3）设点 D 的坐标为 )2(1,(x如图 3，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于 D，过点 D 作 DE x 轴于 E因为 ，所以 因此 解OBCtanta 21BOAE21)(得 此时点 D 的坐标为 25x)23,5(过点 B 作 AC 的平行线交抛物线于 D，过点 D 作 DF x 轴于 F因为，所以 因此 解CAOFtanta ACBF2)(1得 此时点 D 的坐标为 25x)9,25(综上所述，当 D 的坐标为 或 时，以 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形为直角3,梯形来源#:中教网&%来源:gkstk.Com考点伸展来源:zzste%p.#co*&m第（3）题可以用代数的方法这样解：例如图 3，先求得直线 BC 为 ，再根12xy据 AD/BC 求得直线 AD 为 ，由直线 AD 和抛物线的解析式组成的方程组，得到412xy点 D 的坐标
