1、长丰县实验高中 2016 2017 学年第一学期高二年级数学（文科）集 体 备 课 教 案项目 内容课题圆锥曲线小结与复习（共 3 课时）修改与创新教学目标知识与能力：通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系过程与方法：通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识情感、态度与价值观：结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重、难点重点：三种曲线的标准方程和图形、性质 难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点教学准
2、备多媒体课件教学过程（一）基础知识回顾：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程： ， （ ）12byax12bxa0ba3椭圆的性质：由椭圆方程 ( ) 2(1)范围: , ，椭圆落在 组成的矩形axbybyax,中(2)对称性:图象关于 轴对称图象关于 轴对称图象关于原点对称yx原点叫椭圆的对称中心，简称中心 轴、 轴叫椭圆的对称轴从椭y圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ， 两)0,(,(2aA),0(,(2bB焦点 共有六个特殊点 叫椭圆的长轴， 叫椭)0,
3、(,(21cF11圆的短轴长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭ba,圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 ace2)(1ab10e椭圆形状与 的关系： ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，0,ce此时也可认为圆为椭圆在 时的特例 椭圆变扁，直至成,1ace为极限位置线段 ，此时也可认为圆为椭圆在 时的特例 21F4双曲线的定义：平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（小21,F于 ）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫21 aM2做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（
4、大于定差） ，则所画出的双曲线的开口较狭窄（ 两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关5双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种：焦点在 轴上时双曲线的标准方程为： ( , )；x 12ba0ab焦点在 轴上时双曲线的标准方程为： ( , )y 12bxay0b(2) 有关系式 成立，且cba, 22ba0,cba其中 a 与 b 的大小关系:可以为 ,6 焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 、 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦2xy点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，
5、即 项的系2x数是正的，那么焦点在 轴上； 项的系数是正的，那么焦点在 轴上x2yy7双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程 ，从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有12byax图象，从纵的方向来看，随着 x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点： ，特殊点：0,),(21aAbB,0),(21实轴： 长为 2a, a 叫做半实轴长虚轴： 长为 2b，b 叫做虚半轴1长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线 的渐近线 （ ） 1
6、2byaxxaby0y（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率范围：ce21e双曲线形状与 e 的关系： ，e 越大，1222 accabk即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 8等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近xy线互相垂直；（3）离心率 2e9共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此xaby)0(k双曲线方程就一定是： 或写成 )0(1)(22kkax 2by10 抛物线定义：平面内
7、与一个定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线l定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线 11抛物线的准线方程：(1) , 焦点: ，准线 ：)0(2pxy)0,2(pl2px(2) , 焦点: ，准线 ： y(3) , 焦点: ，准线 ：)(2xy),(lx(4) , 焦点: ，准线 ：0p2p2py相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 412p不同点：(1)图形关于 X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为 、左端为 ；图形关于 Y
8、 轴对称时，X 为二次项， Y 为一次项，方px22y程右端为 ，左端为 （2）开口方向在 X 轴（或 Y 轴）正向时，焦x点在 X 轴（或 Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 X 轴（或 Y 轴）负向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 12抛物线的几何性质（1）范围因为 p0，由方程 可知，这条抛物线上的点 M 的坐02pxy标(x，y)满足不等式 x0，所以这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y 代 y，方程 不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，02px我们把抛物线的对称轴叫做抛物线
9、的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程 中，02pxy当 y=0 时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点02pxy（4）离心率抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示由抛物线的定义可知，e=113 抛物线的焦半径公式：抛物线 ，)0(2pxy 002xpxPF抛物线 ， )(200抛物线 ， )0(2pyx 002ypyPF抛物线 ，)(20014直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点） ；相离（无公共点） ；相切（一个公共点）将 代入 ，消去 y，得到bkxyl: 0:2FEyDxCyAx关于 x 的二次方
10、程 （*）02ca若 ，相交； ，相切； ，相离000综上，得：联立 ，得关于 x 的方程pybkx22cbxa当 （二次项系数为零） ，唯一一个公共点（交点）0a当 ，则若 ，两个公共点（交点），一个公共点（切点）0，无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式： ，21kad（3）焦点弦公式： 抛物线 ， )0(2pxy )(21xpAB抛物线 ， 抛物线 ， )(2yx )(21y抛物线 ，0ppAB（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径： pd2（5）若已知过焦点的直线倾斜角 则 pxyk2)( 022pyk21pyksin4221k 221siniAB（6）常用结论：和p
11、xyk2)( 022pyk04)2(22 pkxpkx和 21y21（二） 、讲解范例：例 1 根据下列条件，写出椭圆方程 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8； 和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点，且经过点(2，3)； 中心在原点，焦点在 x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是 510分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据 a2=b2+c2及已知条件确定 a2、b 2的值进而写出标准方程解 焦点位置可在 x 轴上，也可在 y 轴上，因此有两解： 126126xy或 焦点位置确定，且为（0， ） ，
12、设原方程为 ,512byax(ab0)，由已知条件有 ,故方程为1492ba0,1221052xy 设椭圆方程为 ,(ab0)12byax由题设条件有 及 a2=b2+c2，解得 b= ,50c 10,5a故所求椭圆的方程是 12yx例 2 从椭圆 ,(ab0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆2ba的左焦点 F1，A、B 分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM 设 Q 是椭圆上任意一点，当 QF2AB 时，延长 QF2与椭圆交于另一点 P，若F 2PQ 的面积为 20，求此时椭圆的方程3解 可用待定系数法求解b=c,a= c，可设椭圆方程为2122cyxPQAB,k PQ=- ，则 PQ
13、 的方程为 y= (x-c)，1bakAB代入椭圆方程整理得 5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得 ,cPQ56又点 F1到 PQ 的距离 d= c32 ,由dPQSF1 254,25320c， 得故所求椭圆方程为 102yx例 3 已知椭圆： ，过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于926A、B 两点，求弦 AB 的长解：a=3,b=1,c=2 ; 则 F（-2 ，0）22由题意知： 与 联立消去 y 得：)(31:xyl 19yx0524x设 A（ 、B（ ，则 是上面方程的二实根，由违达定理，),1y),2yx21,x321x， 又因为 A、B、F 都是直线 上的点，4521
14、231xM l所以|AB|= 2158324)(32|31121 xxx点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算例 4 中心在原点，一个焦点为 F1（0， ）的椭圆截直线 所53xy得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程2分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由 F1（0， ）知，c=5， ，最后解关于 a、b 的方程组即可50502ba解：设椭圆的标准方程为 ，)0(12yx由 F1（0， ）得 552ba把直线方程 代入椭圆方程整理得：3xy0)4(2)9( 22 ba设弦的两个端点为 ，则由根与系数的关系得：,21yxBA，
15、2219bax又 AB 的中点横坐标为 ，1219621bax，与方程 联立可解出23ba502ba5,7故所求椭圆的方程为： 17yx例 5 直线 与双曲线 相交于 A、B 两点，当 为何值ky32a时，A、B 在双曲线的同一支上？当 为何值时，A、B 分别在双曲线的两支a上？解： 把 代入1kxy132y整理得： （1）02)3(2ax当 时，a4由 0 得 且 时，方程组有两解，直线与双曲线有两63个交点若 A、B 在双曲线的同一支，须 0 ，所以 或21ax3a故当 或 时，A、B 两点在同一支上；当 时，36a6A、B 两点在双曲线的两支上例 6 已知双曲线的中心在原点，过右焦点 F（2，0）作斜率为 的直线，53交双曲线于 M、N 两点，且 =4，求双曲线方程解：设所求双曲线方程为 ，由右焦点为（2，0）知),(12bayxC=2，b 2=4-a2则双曲线方程为 ，设直线 MN 的方程为： ，1422byax )2(53xy代入双曲线方程整理得：(20-8a 2)x2+12a2x+5a4-32a2=0 设 M（x 1,y1）,N(x 2,y2),则 ，22180ax24218035a212145xxN80358202aa解得： ，12a14b故所求双曲线方程为： 32yx
