1、3.4 生活中的优化问题举例1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点)2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力.( 难点 )基础初探教材整理 优化问题阅读教材 P101 第一自然段，完成下列问题 .1.优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值.2.用导数解决优化问题的基本思路甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图 341 所示：图 341现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生
2、产；第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的有( )A. B.C. D.【解析】 由图象可知，是正确的.【答案】 B小组合作型面积、体积最值问题用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成(如图 342).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 【导学号：97792051】图 342【精彩点拨】 设 自 变 量 高 为 x 根 据 长 方 体 的 体 积 公 式 建 立 体 积 关 于 x的 函 数 利 用 导 数 求 出 容 积 的 最 大 值 结 论【自主解答】 设容器的高为 x
3、cm，容器的容积为 V(x)cm3，则：V(x) x(902x )(482x)4x 3276x 24 320x(0x24).所以 V(x)12 x2552x4 32012(x 246x 360)12(x10)( x36).令 V(x)0，得 x10 或 x36(舍去).当 0x10 时，V(x)0，即 V(x)是增加的；当 10x24 时，V(x)0，即 V(x)是减少的.因此，在定义域(0,24) 内，函数 V(x)只有当 x10 时取得最大值，其最大值为 V(10)19 600(cm 3).因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.1.求几何体面积
4、或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值.2.实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等.再练一题1.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y4x 2 在 x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.【解】 设矩形边长 AD2x(00 ，当 0 还是 y0；当 x(7，)时，f(x)0)；生产总成本 y2(万元) 也是 x 的函数：y 22x 3x 2(x0)，为使利润最
5、大，应生产( )A.9 千台 B.8 千台C.6 千台 D.3 千台【解析】 利润函数 y y1y 218x 22x 3(x0)，求导得 y36x 6x 2，令y0，得 x6 或 x0(舍去).因 06 时，y 18x 22x 3 递减，x6 时利润最大，故选 C.【答案】 C3.把长度为 16 的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最小值为_.【解析】 设其中一段长为 x，则另一段长为 16x ，设两正方形的面积分别为 S1，S 2，面积之和为 S，则SS 1S 2 2 2(x4) (16 x4 ) x2 x22x16116 116 x22x16(0x 16).18令 S x2
6、0，得 x8.14即 x8 时， S 有最小值，最小值为 8.【答案】 84.某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 x 元出售，可卖出(200 x)件，当每件商品的售价为_元时，利润最大.【解析】 利润为 S(x)(x30)(200x )x 2230x6 000，S(x)2x230 ，由 S(x)0 得 x115，这时利润达到最大.【答案】 1155.某造船公司年最高造船量是 20 艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)3 700x45x 210x 3(单位：万元)，成本函数为 C(x) 460x5 000(单位：万元). 求：(1)利润函数 P(x)(提示：利润产值成本)的解析式；(2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？ 【导学号：97792053】【解】 (1)P(x)R(x )C( x)10x 345 x23 240x5 000(xN 且 x1,20).(2)P(x)30x 290x 3 24030( x9)( x12)(x N 且 x1,20) ，当 1x12 时，P(x)0，P(x) 单调递增；当 12x20 时，P(x)0，P(x) 单调递减；x12 时，P(x)取最大值，即年造船 12 艘时，造船公司的年利润最大 .
