1、探究性习题课中学习行为的研究上海市普陀区教育学院 叶锦义上海市民办梅陇中学 李 贞华东师范大学数学系 黄荣金一、背景1数学新课程呼唤新的训练体系“二期课改”中，数学新课程强调“加强基础、促进发展、激励创新、重 视实践”，并且以“改变学习方式”为基本特征。由于在升学应试的压力下， 传统 的数学课程训练系统中， 标准题、封闭题、技能操练题占据主导 性的统治地位。 这样的训练体系无法适 应二期课改的要求。上海市普通中小学课程方案指明要“通过改进各学科的学习训练方式，逐步建立有利于促进学生综合发展的学习体系”，要求“充分关注学习训练方式对学生创新精神和实践能力的促进作用；重视学习训练体系中的开放性、
2、实践性、研究性、应用性和综合性；加强信息技术的支持作用，逐步建立与基 础教育现代化相适应的学习训练 支持平台”。新的上海市中小学数学课程标准中具体要求“建立合理的数学训练系统”， “要充实具有实践性、应用性、探索性和开放性的数学习题，使发 展性训练与基础性训练协调 互补”。我们认识到，不论古今中外哪一种形 态的数学课程， 总是有一套与它相匹配的数学 训练系统， 这套训练系统是为该数学 课程的目标服务的。因此，现今上海新的中小学教学课程就必然呼唤一套与它相匹配的新的训练体系。2新的数学训练体系呼唤新“ 题型”数学教育必须使学生获得为适应未来社会生活所必需的数学基本能力，数学不再只是升学的需要，更
3、是生存与发展的需要，成为 21 世纪合格公民的 应有素养。因此数学训练不能只关注学生对知识的理解和巩固， 对技能的掌握、 对常规问题 的解决，还应重视培养学生善于用学过的知识去观察、解释 、表述身 边事物的数量关系、变化趋势、空间形式、数据信息，去解决日常生活、实际情境乃至跨学科中的有关 问题；会用基本的数学 语言进行表达与交流等。数学习题的配置应反映这 方面的要求。其次，还应含有与原来单纯 的推导、 计算、演绎很不相同的训练，要求增加操作实践，要求引入预感试验、尝试归纳、猜想、类比等非形式推理的问题。再次，要为学生自主实践和增 长创造性活动经验拓宽学习 渠道，要 为学生创造、发展创设环境和机
4、会，这也要求数学 训练中应含有非形式推理、开放性问题等，让学生去探索、解决。3新题型的研究呼唤对学生学习行为的研究由于新的学习训练系统需要引入一定数量的实验操作题、探索题、开放 题等新题型，这些题型在现有教材中基本上是空白的，而在以后根据新的 课程标准编写新数学教材中将整合进新的训练系统。目前，学生 对这种题型感到陌生，在学习行为上，与传统习题必然存在差异。在学习实验操作题、探索题、开放题时，学生究竟有哪些有别于传统习题训练时所产生的学习行为？从学生的视角观察，他 们是如何看待这些“ 新题目”的？有什么体验？我们认为，对这些问题的研究对于我们合理构建数学学习训练系统， 发挥训练系统的教育功能，
5、达到培养学生创新精神和实践能力的课程目标是十分重要的。二、研究方法1研究载体的确定为了对学生在学习实验操作题、探索 题、开放 题时学习行为进 行研究，我们构思了一节探究性习题课。这节课分成两部分：前面一部分是常 规传统习题 ，两个小 题，约 12 分钟左右完成；后面一部分是两个有自然联系的实验操作题，约 30 分钟。 显然，课的重心在后面的实验操作题上。我们仍把传统的常 规题放入本课中是基于以下两方面的 认识： 当今在数学训练上的一些弊病是大量的题海训练（往往是过多的常规传统习题的“恶补” ）所造成的。传统常规习题与新题型应该是互补互促、相 辅相成、不能排斥任何一种习题题型，这是全面达成数学训
6、练目标所必需的。要研究学生学习新题型的学习行为，需要以 传统的常规习题 的学习行为相对照。我们在设计问题时，两种题型都是 应用相似三角形知识而且在 图形方面都选择了直角三角形，使问题的研究只集中到 题型要求的差异方面。由于现教材缺少实验操作题、探索题、开放题、等新题型，因此学生平时这类新题型几乎没有什么 训练。这样，学生在这类习题的学习行为更具有原始性、真实 性。2深度访谈此外，为深入了解学生对解决两 类问题思维过程及解题行 为，我 们在上完第三轮课后，由任课教师和班主任选出数学成 绩上、中、下的学生分别 2 名、6 名和 2 名 1， 共 10 位学生接受了课后的深度访谈。先是 让学生集体观
7、看课堂教学 录象，然后，给学生一张本节课中探究的四个问题：前两题为常规题目，后两 题是非常规探究 题，以及一 张白纸，供被访学生边画边说。访谈是半结构化的，按预先设计的访谈提纲（见 附录）提问学生追记课堂中解决问题时的感受及解题思路。3数据分析本文，以第三次课的教学设计 、课堂实录及课后访谈为数据，采用质的分析方法，研究探究性习题课中学生的学习行为。三、课堂中学习行为的分析（一） “相似三角形习题课”的教学设计1教学设计教学目标熟练运用相似三角形的有关知识解基本题。经历“实验 归纳猜 测论证”的过程，感受数学发现的一般规律，提高归纳，演绎推理的能力。（ 通过图形的运动、变化，增 强对动态图形的
8、想象能力。（ 通过合作交流、自主评价，促 进改善学习态度，逐步提高评价能力，逐步形成正确的数学价值观。教学重点：相似三角形的知识的应用。教学难点： 实验操作题的解题要领。教学过程：（1）复习提问：你所知道的有关相似三角形的知识有哪些？（ 定 义 、预备 定理、判定定理、性 质 。）（2）运用“相似三角形的知识”解常规习题1 这 10 名被访学生依次记 S1，S2，和 S10.问题 1：如图，已知直角三角形 ABC 中， BAC=90，AD 为 BC 边上的高，求证：AB*AD=BD*AC问题 2：如图，四边形 AEDF 是 RtABC 的内接正方形，D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，
9、A=90，如果 BE=a，CF=b，求：正方形 AEDF 的面积。（3）.运用“相似三角形的知识”解非常规题问题 3：在等腰直角三角形 ABC 中， BAC=90，AB=AC=6cm，AD BC，垂足为点 D。实验操作：把一三角尺的直角顶点放在点 D 处，并绕点 D 旋转，且使二条直角边分别交边 BA、CA 于点 E、F，连结 DE、DF，请选取运动过程中的三个瞬 间，分 别测量出线段 AF 和BE 的长，求出 AF：BE 的值（精确到 0.01），并填入表：AF（cm） BE(cm) AF:BE 的值第一次测量第二次测量第三次测量探索：观察实验结果，猜想关于 线段 AF 与 BE 的关系有何
10、结论，并证明你的猜想。问：在运动变化过程中， 图中还有哪些线段始终 保持相等关系的？小结：解此类实验操作题的一般步骤是怎样的？问题 4：在上题中将“在等腰直角三角形 ABC 中， BAC=90，AB=AC=6cm”改为“在RtABC 中， BAC=90，AC=6cm，AB=8cm”，其它条件不变，问题 3 中的结论是否改变？如果改变，写出猜测的结论，并加以证明。CDD C BBAADBACDFECBAAD CBAD CB问：在运动变化过程中， 图中还有哪些线段的比如 AF：BE?小结：问：解此类实验操作题的解题过程中要注意什么？（4）.布置作业a.改变条件：“ADBC 于点 D”为“过 AB
11、上点 H 作 HDBC 于 D”其他条件不变，那么问题4 中的比例式是否仍成立?如果成立,请证明,如果不成立，请找出图中的比例线段。b.若改变三角形 ABC 的形状，其它条件不 变，是否 结论仍成立，为什么？(5)小结与自主评价(二)课堂中的问题解决时的学习行为 在课堂教学实施过程中，我们 特别关注以下几个方面：1解常规习题时的学习行为在复习了相似三角形的有关知识后，教 师安排了两道常规习题 ，由学生完成，下面是解决问题 2 的部分片段。生：设正方形 AEDF 的边长为 X，根据正方形得到 EDAC，C=EDB，DFC=90，BED=90，DFC=BED； DCFBDE， ED/CF=BE/D
12、F， X2=ab。xab正方形面积等于边长的平方，它的面积等于 ab.师：很好，有没有其他不同的方法。生：四边形 AEDF 为正方形， DEAC，DE/AC=BE/BA，设正方形边长为 x， ,x2=ab，同样可得面积为 ab。abx在上述学生的表述中，不 难发现，学生解此 类常见的、封闭的习题时，依靠的是熟悉的情境、现成的解法和记忆的重 现。 绝大多数学生读题后立刻投入解 题过程，虽然解题方法各有不同，但课堂气氛比较沉闷 ，没有形成高潮。2解实验操作题的学习行 为学生通过解第一道实验操作题（问题 3），初步体 验了 实验操作题的解题步骤，在此基 础上，将第一道实验操作题进行 变式，形成第二道
13、 实验操作题 （问题 4），下面这一片段展示了学生之间交流猜测结论的情形。生 1：我们进行了三次操作，三次 测试，然后，第一次测试计算得到 BE：AF=1.25，第二次测试计算也是 1.25，第三次测试计算为 1.21, 我们发现FEHDBACBE：AF 的值与 AB：AC 的值差不多相等，所以我 们猜测 BE/AF=AB/AC。师：非常好，她 们小组依照解第一题的方法，通过实验操作找到运动过 程中的三个瞬间，测试并计算出 BE：AF 的值，猜 测 BE：AF= AB：AC，这是一种办法，有没有其他的办法？生 2：我们是根据第一题的条件和得出的结论以及第二题的条件来猜测第二题的结论，因为第一题
14、中 ABC 是等腰三角形， AC/AB=1，所以AF/BE=1，而现在 AC=6，AB=8，所以 AC/AB=3/4，所以我 们猜测AE/BE=3/4。师：这一小组找到了两题之间的内在联系，第二小题与第一小题的很 多条件是一致的，只是第一小题是“ 等腰直角三角形” ，而第二小 题是“ 一般的直角三角形”，也就是两直角边的比是 3：4 的两个三角 形，条件变了，引起结论发生变化，因此她们猜测 BE/AF=AB/AC 这两种猜测都比较合理。生 3：我们小组已证出 BE/AF=4/3，因为第一小题中，我们通过求证BEDAFD，得到的 BE/AF=1，因此我们想到这里可能有 BEDAFD。结果通过证明
15、的确有这样的结论，因此我们证出了 BE/AF=4/3。在上述片段中，由几位学生分别上讲台报告他们小组讨论 的结果：第一小组仿照第一道实验操作题的解题方法，通过 三次测试，猜 测结论；第二小 组通过寻找两题之间的内在联系，猜测结论；第三小组利用全等三角形是相似三角形的特例，找到了 图中的相似三角形，直接证出了结论。这一环节，学生学习的积极性明显上升。3自主评价在课的最后，当教师请学生 谈谈本堂课中的体验和收 获时，学生 畅所欲言。生 1：在 实验操作题中有许多的变量，我 们关键要寻 找变量中不变的量，作 为解题的切入口。生 2：我 们要注意数学语言的表述能力，因 为我发现许 多发言的同学口头禅很
16、多。生 3：通 过今天的学习，我知道了有些一般的 图形所具有的性 质，我 们可以从特殊的图形开始寻找它的性质，一步步的推广到一般的 图形所具有的性 质。学生在这一环节中，畅谈体验 和收获，从他 们朴素的言语中，可以发现他们对数学的认识和理解（ ），对同伴的评价（ ），从他们的自主评价中，也可看出，同学们对实验操作的兴趣明显高于常规习题。 四、解决非常规问题的学习行为及态度通过对 10 位被访学生的录音材料的编码和分析，关于学生对解决问题的学习行为和态度，我们得到如下结论：（1）体 验到学习方式的改变：动手操作，主动探究，小组合作与交流的学习方式； 实验猜测证明、特殊一般等的数学思想方法等；(2
17、) 意识到非常规问题的一些特点： 综合性 ; 结论的不确定性； 运动中的不变性；(3) 模式识别是解决常规问题的基本策略； (4)实验操作是解决非常 规问题的脚手架；(4)利用特殊与一般的关系是解决非常规问题的有效手段；(5) 认识到两类题目是互补的。1、体验到学习方式的改变被访学生在回答“这节课中印象最深的是什么”时，他们提到如下列方面：（1）使用计算机技术来展示运动过程及数量关系；（2）提倡动手操作，主动探究；小组合作与交流的学习方式；（3）体验通过实验猜测证明以及从特殊到一般的数学思想方法。如有些被 访学生指出：“与以往课的差异是， 这节课要动手操作，而不是老 师讲，通过做实验来猜测结论
18、，另外小组活动多，这样较快地得到 结论。 ”（S1）“并时上课老师讲书上的例题较多，而这次课增加了研究性的问题，教学方法也不同了，这节课有小组活动，使用了电脑，以及实验操作，很有趣，学生发言的机会也较多。 ”（S8）“印象最深的是先考虑特殊的图形再变化到一般图形来讨论，还有使用了动手操作”（S6）2、意识到常规与非常规题之间的差异大部分被访学生认识到前两题与后两题之间的一些差异： （1）基础与综合（前两者为后两题作铺垫）；（3）给定结论与猜测结论；（3）静止与运动等。如有些被访学生认为：“前两题是给你结论叫你来证明，而后两题是先要猜出结论再来证明”（S6）；“前两题是简单的，后两题要考虑从特殊
19、情况再变化到一般情况，较有挑战性”（S5）。然而，虽然学生认识到后两 题较困难，但是他 们觉得“好奇”， “好玩”，解决 这类题目能得某种“满足感”。3、模式识别是解决常规问题的基本策略看完了问题 1，大多数被访者想到的是“ 倒推法”：看到“等积式”，想到 转化为“ 等比式”，然后，看看“等比式 ”中的线段是否在两个三角形中，然后，证明这两个三角形是相似三角形。如一位被访者报告：“一看到等积式，我就想到把它转化为等比式，再看看得到等比式中的 线段是否在两个三角形中，如何不在两个三角形中，或者找出第三个三角形或作辅助线等，再证明相关的两个三角形相似，最后利用相似比来证明。 ”（S4）; 此外，也
20、有两位同学报告了利用“ 母子形”来分析。所谓母子三角形指一个组合直角三角形，也就是在一个直角三角形中，过直角顶点作对边的高，然后将原来“大”三角形（即， “母”直角三角形），分解成两个直角三角形（即， “子”直角三角形），而且同原来的直角三角形都相似。根据母、子直角三角形的相似性及相似比，便可推出等比式，最后转化为等积式。下面是一位被访者报告解题思路：“看完了这个题目，我首先想到了母子三角形，利用母子三角形的相似性，便可得到等比式，然而将等比式转化为等积 式” 。（S5）由于学生在平时的训练中已经熟悉了这类题型及其相应的解题“套路”，所以在解决这类问题显很有信心和并感觉较为轻松。4、实验操作是
21、解决非常规问题的脚手架大部分被访同学，看完了 题目 3 后，感 觉“好奇”、 “好玩”（S3、 S10、 S8 ） 或有“困难”（S9、 S5）,也有同学觉得“ 似曾相识”（在考试的综合题中出现过类似题目）（S4）。由于给出了操作步骤，学生相信按照老师 指定的操作步骤，一步一步来做，总能发现一些结果，所以做题目时还是有信心的。一位被 访者曾这样描述他当时的情况：“一开始觉得很好奇, 然后按照操作要求，一步一步做，做了三次 (在小组合作中测量三次)，发现结果(AF:BE 的值)基本相等，于是就得到了猜测， 至于后面的证明,应该来说是比较容易的。在操作过程中，觉得好奇，但并不紧张， 反正，既使自己
22、做错了，也可以从其它同学那里学习的。 ”(S10)也有两位被访学生指出,他们不是通过先测量和计算,然后进行猜测, 而是通过画几个不同变化位置的图形, 观察一下变化的线段中，哪些线段可能成比例，然后,再测量一下， 来验证自己的直观判断, 最后给出猜测（S6、 S7）。如一位被访者所描述的：“我不是通过测量再猜测量的。先是仔细读题,，然后画二、三个图形，并观察，测量一下这些图，想出可能的结论，并设法去证明。 （S6）5、实验操作是思维的脚手架，内在联系是解决问题的催化剂在谈到如何解决问题 4 时，被 访者无一例外地说出他们是根据前一 题的经验来寻求解决方法的。他们想到这两题之 间的联系，并 试图利
23、用这种关系。但是，在利用这种联系上表现出不同的策略：（1）测量作为猜测脚手架；（2）测量作为验证直观判断的依据；（3）直接从特殊与一般联系，来推测和证明 结论。（1）测量作为猜测脚手架有少数学生模仿问题 3 的解题步骤， “先画出三个不同位置的图形，再测量相应的线段，并计算，填表，然后看看有什么发现（AF：BE 与 0.75 接近），这时，我想到前一 题中，是利用全等来说明 AF:BE=AC:AB=1 的，而在这一题中 等腰直角三角形变成了一般的直角三角形，我猜测是否可用三角形相似来说明相应的等比关系？于是我猜测 AF:BE=AC:AB”（S6、S1）。（2）测量作为验证直观判断的依据有三之分
24、一的被访者先是根据前一题的结论及本题的变化，直观的猜测结论，然后再 测量具体的值来验证，如一位被 访者报告：“条件变了，根据前一 题的条件和结论，先画出几个 图形，看一看，猜测一下本题的结论。 由于前一题是 AC=AB=6， BAC=90，结论是 AF：BE=1（AC：AB=1：1），而这一题中，AC=6 不变，AB=8 变化，但 BAC=90不变，所以 AC：AB=3：4，所以我猜测 AF：BE 也要相应变 化为 3：4；然后，我 测量了一下（如当运动构成一个小正方形时的特殊位置，可测量 较精确的值）， 验证这个猜测 是否正确” 。（S3）（3）直接从特殊与一般联系，来推 测和证明结论有一部
25、分被访者直接利用前一题的结论与方法来猜测和证明第四题的结论。这是一位被访学生如是说：“做了第三题，我在想如何 应用它的结论。前一 题中， AB 与 AC 相等，而 AF与 BE 也相等，它是用三角形的全等性来 证明的（即：AF:BE=AC:AB=1 ）；而这一题中，AB，AC 不等，所以考虑 AF：BE 是否与 AC：AB 有关呢？这样就直观猜测AF：BE=AC：AB=定值。而前一题是使用三角形全等性来证明的，那么，这一题是否可能用三角形相似性来证明呢？于是，我就用上 题的结论 类比推出了这一题的结论。 ”（S8）6、两类题目是互补的大部分被访者都认为后两题是困难些、有一定的挑 战 性，但它
26、们“ 好玩、有趣 ”，而且通过解决这类探究性问题可以培养他们思维的灵活性和深刻性，使他们得到“满足感”。所以，被访学生希望老师在习题课多提供这些题目。不 过，他 们也 认识传统题目对巩固教学内容，培养基本的解题能力是有帮助，也是必要的。因此，两类题目都需要。五、结论和讨论1、传统解题教学富有成效从课堂实录和课后访谈的分析表明，学生在解决常 规问题时 表现出来的共同策略是：寻找一个熟悉的问题原型，然后按照已知的 “模式”或“套路”来解决问题。就问题 1 而言，学生能够通过不同的策略进行联系与化归（分别从式的或形的角度），这从一定意义上表明我们传统解题教学的成功之处。2、合理地呈现问题和有效地组织
27、是进行非常规题教学的基本前提由于学生是初次遇到“操作题”，因而感到陌生、好奇，不知从何下手。正如，被访学生所说的，他们相信按照教师给 出的操作步骤，一步一步做，通过小组合作与交流，一定会发现结论的，即使他们自己发现 不了，也可以从其他同学中学会。因此，他们对解决这类问题是有信心的。这从另一个侧面表明，在初次遭遇这些非常规题时 ，教师提供必要的“脚手架”（如实验操作步骤），以及合作交流形式是十分有益的。然而，在解决第二个非常 规题时，学生表 现出不同思维层 次的多种方法：有沿袭前一题目的操作步骤，重复上题的过 程来解决问题的；也有从上一 题的结论与证明方法得到启示，通过特殊与一般之间的关系进行探
28、究和求解的。 这种解决 问题策略的多样性充分显示学生有无限的潜能，只要把他们的思 维火花点燃，那么他 们就会 获得许多创新的方法。这从另一个侧面提醒我们，在给学生以适当的支持（如搭建脚手架 时 ）时，注意不要干 扰学生的思维，甚至束缚他们的思路（也即，及 时拆除脚手架。比如，若在第四 题中，我们仍给出操作步骤，可能要导致学生思维水平的下降）；而要有层次和变化地呈现问题序列，并给学生提供充分的探究空间。3、非常规题进入课堂是可行的本研究表明，学生是认可和愿意接受非常 规题的挑战的。他们认识解决非常规题有其独特的价值：能激发学习兴趣，培养思 维能力，因此，认为在教学中应该增加一些这类题目。而且，实
29、验表明，只要我们适当的支持，如组织合理的问题序列、及时搭建和拆除脚手架，组织适当的学习形式，学生是能 够创造性地解决非常规问题 。我 们认为在改进常规问题的训练方式（如变式训练）同时，通过 引入实验操作题、探索 题、开放题，现实情境题等多种非常规题并合理组织教学，是完全可能建立一套与新课程理念相匹配的 训练系统。附录：学生课后访谈提纲问题 1： 这节课中印象最深刻的是什么？问题 2： 前两个问题与后两个问题的区别与联系是什么？问题 3： 当你面 对问题 1 时，第一感觉怎么样？你是如何着手解决问题的？在整个解决过程中有没有焦虑感和不安？问题 4： 当你面 对问题 3 时，第一感觉怎么样？你是如
30、何着手解决问题的？在整个解决过程中有没有焦虑感和不安？问题 5： 当你面 对问题 4 时，第一感觉怎么样？你是如何着手解决问题的？在整个解决过程中有没有焦虑感和不安？问题 6： 你觉得解决后两题对你有什么帮助和作用？你是否希望教师在课堂或考试中多试用这类题目？对教师使用这两类题目有什么建议？评点本课例直面一个数学教学中十分关键但又棘手的问题 在新程理念下的数学课堂中，如何对学生进行训练？作者另辟蹊径，从学生的视角探索了在 课堂中引入非常规题训练时的学习心理和学习行为。研究的 结果为探索一种新的数学 训练方式提供了依据。此外，这种对课堂进行多角度质的研究方法（课堂观察和课后深度访谈相结合）也体现了作者求真的科学态度，符合国际数学教育研究的学 术规范， 值得提倡。（评点人：黄荣金）
