1、功与能的两个难点问题的方法研究常州市第一中学（213003） 刘霁华功与能的知识一直是高中物理最重要的内容，其中变力做功问题和连接体的机械能守恒问题则是我们学习中的难点和高考命题的重点，本文系统讨论这两类问题的分析方法，以飨读者。一、变力做功的几种求法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，功的计算公式 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用 计算，从而使问题变得简单。例 1如图 1，定滑轮至滑块的高度为 h，已知细绳的拉
2、力为 F（恒定），滑块沿水平面由 A 点前进 S 至 B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为 和 。求滑块由 A 点运动到 B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。分析与解：设绳对物体的拉力为 T，显然人对绳的拉力 F 等于 T。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力 F 的大小和方向都不变，所以 F 做的功可以用公式 W=FScosa 直接计算。由图 1 可知，在绳与水平面的夹角由 变到 的过程中,拉力 F 的作用点的位移大小为： ， 2、
3、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。例 2如图 2 所示，某力 F=10N 作用于半径 R=1m 的转盘的边缘上，力 F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力 F 做的总功应为：A、 0J B 、20J C 、10J D 、20J.分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故 W=FS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F2R=102J=20J=62.8J，故 B
4、正确。3、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。例 3一辆汽车质量为 105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的 0.05 倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为 F=103x+f0，f 0是车所受的阻力。当车前进 100m 时，牵引力做的功是多少？分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进 100m 过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 所做的功。由题意可知 f00.0510 510N510 4N,所以前进 100m 过程中的平均牵引力:W S110 5100J110 7J。4
5、、用动能定理求变力做功例 4如图 3 所示，AB 为 1/4 圆弧轨道，半径为 0.8m，BC 是水平轨道，长L=3m， BC 处的摩擦系数为 1/15，今有质量 m=1kg 的物体，自 A 点从静止起下滑到 C 点刚好停止。求物体在轨道 AB 段所受的阻力对物体做的功。分析与解：物体在从 A 滑到 C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，重力做功 WG=mgR，水平面上摩擦力做功 Wf1=-mgL，由于物体在 AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W 外 =0，所以mgR mgLW AB=0 即 WAB=mgRmgL=6(J)5、用机械能守恒
6、定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。例 5如图 4 所示，质量 m=2kg 的物体，从光滑斜面的顶端 A 点以 V0=5m/s 的初速度滑下，在 D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到 B 点时的速度为零，已知从 A 到B 的竖直高度 h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功， 弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加 量相等。取 B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处 D 点为弹性 势能的零参考点，则状态A：E A=
7、mgh+mV02/2对状态 B：E B=W 弹簧 +0由机械能守恒定律得： W 弹簧 =（mgh +mv02/2）= 125（J）。6、用功能原理求变力做功例 6、两个底面积都是 S 的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为 h1和 h2，如图 5 所示，已知水的密度为 。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等于 .分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管，如图 6 中的斜线所示。最后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用 AB 所在的平面为零重力势能平面，则
8、画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为：，所以重力做的功 WG= .二、连接体的机械能守恒问题连接体的机械能守恒问题一直是高考的重点，也是我们学习中的难点，下面我们通过实例分析用机械能守恒定律解连接体问题时要注意的几个问题。1、正确选取系统应用机械能守恒定律必须准确的选择系统，系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒。对机械能不守恒的系统应用机械能守恒定律必然得出错误的结果。例 7如图 7 所示，长为 2L 的轻杆 OB， O 端装有转轴， B 端固定一个质量为 m 的小球 B， OB 中点 A 固定一个质量为 m 的小球 A，若 OB 杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的
9、过程中，求（1）A、B 球摆到最低点的速度大小各是多少？（2）轻杆对 A、B 球各做功多少？（3）轻杆对 A、B 球所做的总功为多少？ 错解分析：有学生分别选 A、B 球及地球为一系统，有机械能守恒定律得到：由上两式得：上述解法中对系统的选择是错误。事实上，小球 A（B）与地球单独组成的系统机械能并不守恒，这是因为轻杆往下摆的过程中，轻杆分别对 A、B 球做了功（注意轻杆可以产生切向力，不象轻绳，只能产生法向力）。对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解，当然出错。应选 A、B 球及地球所组成的系统，机械能是守恒的。正确解答：（1） 选 A、B 及地球为一系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，
10、系统机械能守恒，有： ，由式可得：（2）由上不难得到： ， 即 A、B 间的轻杆对 B 球做正功，对 A 球做负功。轻杆对 A 球做功为：同理可得，轻杆对 B 球做功为：（3）轻杆对 A、B 所做总功为 0。2、注意分析过程机械能守恒不仅要关注初、末状态，同样也要关注物理过程。选取物理过程必须遵循两个基本原则，一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化，有时可选全过程，而有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解。例 8如图 8 所示，质量均为 m 的小球 A、B、C，用两条长均为 L 的细线相连，置于高为 h 的光滑水平桌面上。 ，A 球刚跨过桌面。若 A 球、B 球下
11、落着地后均不再反弹，则 C 球离开桌边缘时的速度大小是多少？分析与解：本题描述的物理过程是：A 球下落带动 B、C 球运动。A 球着地前瞬间，A、B、C 三球速率相等，且 B、C 球均在桌面上。因 A 球着地后不反弹，故 A、B 两球间线松弛，B 球继续运动并下落，带动小球 C，在 B 球着地前瞬间，B、C 两球速率相等。故本题的物理过程应划分为两个阶段：从 A 球开始下落到A 球着地瞬间；第二个阶段，从 A 求着地后到 B 球着地瞬间。在第一个阶段，选三个球及地球为系统，机械能守恒，则有：第二个阶段，选 B、C 两球及地球为系统，机械能守恒，则有：，由解得：3、合理选用方程在运用机械能守恒
12、定律的状态式 时，必须选取零势能参考面， 而且在同一问题中必须选取同一零势能参考面。但对于连接体的 机械能守恒问题，运用求解不太方便，而运用变化式则较 为简单。运用变化式的一个最大优点是不必选取零势能参考面。例 9如图 9 所示， 一固定的斜面，倾角为 30，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一软细线跨过定滑轮,两边分别与 A、B 连接，A 的质量为 4m，B 的质量为 m，开始时将 B 按在地面上不动，然后放开手，让 A 沿斜面下滑而 B 上升，物块 A 与斜面间无摩擦,设当 A 沿斜面下滑 s 距离后,细线突然断了，求物块 B 上升的最大距离 H。分析与解： 对 B： , ，由得4、研究状
13、态关系要注意，几个连接体的速率和在某过程中所发生的位移常常是不同的，所以要认真研究各个物体的初、末状态物理量的关系，才能正确解题。例 10如图 10，半径为 R 的 1/4 圆弧支架竖直放置，支架底 AB 离地的距离为 2R，圆弧边缘 C 处有一小定滑轮，一轻绳两端系着质量分别为 m1与 m2的物体，挂在定滑轮两边，且 m1 m2，开始时 m1、 m2均静止， m1、 m2可视为质点，不计一切摩擦。求： m1释放后经过圆弧最低点 A 时的速度 v1如 m1恰能到达 A 点， m1与 m2之比为多少?分析与解：此题物理过程一目了然， m 1 与 m2 组成的系统机械能守恒，但学生出错原因是 m1
14、 与 m2 由一条绳子相连就误认为 m1 到点 A 的速度等于 m2 的速度造成第 1 问的错误， 接着第 2 问要用上一问的结果， 这样导致第 2 问也是错误的。 在第 3 问中很显然 m1 恰能到达 A 点的临界状态是 m1 经过圆弧最低点 A 时的速度为 0 ，但是有些学生正因为 m1 与 m2 由一条绳子相连就误认为 m1 下降的高度等于 m2 升高的高度而出错。所以对于连接体问题，要注意分析两个物体状态细节，搞清位移、速度等物理量的关系。设 m1运动到最低点时速度为 v1，此时 m2的速度为 v2，速度分解如图 11，得： v2= v1sin45 ， m1下降了高度 R,m2上升了高度为 ，由系统的机械能守恒得： ，由上述两式求得：（2）m 1能到达 A 点满足条件 v10 由 解得：
