1、2012 年全国各地中考数学真题分类汇编第 26 章 矩形、菱形与正方形一.选择题1 （2012烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（ ）A3 B4 C5 D6考点： 规律型：图形的变化类。专题： 规律型。分析： 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数解答：解：如图所示，断去部分的小菱形的个数为 5，故选 C点评： 考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键2 （2012烟台）如图， O1，O，O 2 的半径均为 2cm， O3，O 4 的半径均为1
2、cm，O 与其他 4 个圆均相外切，图形既关于 O1O2 所在直线对称，又关于 O3O4 所在直线对称，则四边形 O1O4O2O3 的面积为（ ）A12cm 2 B24cm 2 C 36cm 2 D48cm 2考点： 相切两圆的性质；菱形的判定与性质。/ 1712专题： 探究型。分析： 连接 O1O2，O 3O4，由于图形既关于 O1O2 所在直线对称，又因为关于 O3O4 所在直线对称，故 O1O2O3O4，O、O 1、O 2 共线，O、O 3、O 4 共线，所以四边形O1O4O2O3 的面积为 O1O2O3O4解答： 解：连接 O1O2，O 3O4，图形既关于 O1O2 所在直线对称，又关
3、于 O3O4 所在直线对称，O1O2O3O4，O、O 1、O 2 共线，O 、O 3、O 4 共线，O1， O，O 2 的半径均为 2cm，O 3， O4 的半径均为 1cmO 的直径为 4，O 3，的直径为 2，O1O2=28=8， O3O4=4+2=6，S 四边形 O1O4O2O3= O1O2O3O4= 86=24cm2故选 B点评： 本题考查的是相切两圆的性质，根据题意得出 O1O2O3O4，O、O 1、O 2 共线，O、O 3、O 4 共线是解答此题的关键3 （2012烟台）如图，矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，点 Q 为 AB 上的动点（不与 A，B重合） 过 Q 作 QMP
4、A 于 M，QNPB 于 N设 AQ 的长度为 x，QM 与 QN 的长度和为y则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A B C D考点： 动点问题的函数图象。分析： 根据三角形面积得出 SPAB= PEAB；S PAB=SPAQ+SPQB= QNPB+ PAMQ，进而得出 y= ，即可得出答案解答： 解：连接 PQ，作 PEAB 垂足为 E，过 Q 作 QMPA 于 M，QNPB 于 NSPAB= PEAB；SPAB=SPAQ+SPQB= QNPB+ PAMQ，矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，PA=PB，QM 与 QN 的长度和为 y，SPAB=SPAQ+SPQB=
5、QNPB+ PAMQ= PB（QM+QN ）= PBy，SPAB= PEAB= PBy，y= ，PE=AD ，PB，AB，PB 都为定值，y 的值为定值，符合要求的图形为 D，故选：D点评： 此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出 y= ，再利用PE=AD，PB，AB，PB 都为定值是解题关键4 （2012 泰安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4 ，对角线 AC 的垂直平分线分别交AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为（ ）A3 B3.5 C 2.5 D2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。解答：解：EO 是 AC 的垂直平分线，AE=CE，
6、设 CE=x，则 ED=ADAE=4x，在 RtCDE 中，CE 2=CD2+ED2，即 ，2=4)x（解得 ，.5即 CE 的长为 2.5故选 C/ 17145 （2012 泰安）如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上， B=120，OA=2，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 105至 OABC的位置，则点 B的坐标为（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （2012 泰安） D （ ，22 3）3考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质。解答：解：连接 OB，OB，过点 B作 BEx 轴于 E，根据题意得：BOB =105，四边形 OABC 是菱形，OA=A
7、B，AOB= AOC= ABC= 120=60，OAB 是等边三角形，OB=OA=2，AOB=BOBAOB=10560=45，OB =OB=2，OE=BE=OBsin45= ，2点 B的坐标为：（ ， ） 故选 A6 （2012 泰安）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若AB=2，BC=3 ，则 FCB与BDG 的面积之比为（ ）A9：4 B3：2 C4：3 D16：9考点：翻折变换（折叠问题） 。解答：解：设 BF=x，则 CF=3x，BF=x，又点 B为 CD 的中点，BC=1，在 RtBCF 中，BF 2=BC2+CF2，即 ，21(3)xx解得
8、： ，即可得 CF= ，53x543DBG=DGB=90， DBG+CBF=90，DGB=CBF，RtDBGRtCFB，根据面积比等于相似比的平方可得： = = 2416()39故选 D7（2012 成都）如图在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误的是（ ）AABDC BAC=BD CACBD DOA=OCABCDO考点：菱形的性质。解答：解：A、菱形的对边平行且相等，所以 ABDC，故本选项正确；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；C、菱形的对角线一定垂直，AC BD，故本选项正确；D、菱形的对角线互相平分， OA=OC，故本选项正确故选 B/ 17168
9、（2012济宁）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是（ ）A 12 厘米 B 16 厘米 C 20 厘米 D 28 厘米考点： 翻折变换（折叠问题） ；勾股定理。分析： 先求出EFH 是直角三角形，再根据勾股定理求出 FH=20，再利用全等三角形的性质解答即可解答： 解：设斜线上两个点分别为 P、Q，P 点是 B 点对折过去的，EPH 为直角，AEHPEH ，HEA=PEH，同理PEF= BEF，这四个角互补，PEH+PEF=90，四边形 EFGH 是矩形，DHGBFE，HEF 是直角三角形
10、，BF=DH=PF，AH=HP，AD=HF，EH=12cm，EF=16cm，FH= = =20cm，FH=AD=20cm故选 C点评： 本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形，再根据直角三角形及全等三角形的性质解答9 （2012 恩施州）如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，A=120，则图中阴影部分的面积是（ ）A B 2 C 3 D考点： 菱形的性质；解直角三角形。专题： 常规题型。分析： 设 BF、 CE 相交于点 M，根据相似三角形对应边成比例列式求出 CG 的长度，从而得到 DG 的长度，再求出
11、菱形 ABCD 边 CD 上的高与菱形 ECGF 边 CE 上的高，然后根据阴影部分的面积=S BDM +SDFM ，列式计算即可得解解答： 解：如图，设 BF、CE 相交于点 M，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，BCM BGF ， = ，即 = ，解得 CM=1.2，DM=21.2=0.8，A=120，ABC=180120=60，菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60=2 = ，菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60=3 = ，阴影部分面积=S BDM +SDFM = 0.8 + 0.8 = 故选 A点评： 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，
12、把阴影部分分成两个三角形的面积，然后利用相似三角形对应边成比例求出 CM 的长度是解题的关键/ 171810 （2012 荆门）如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 ，将正方形 ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）A 8 B 4 C 8 D 6解析：正方形 ABCD 的对角线长为 2 ，即 BD=2 ， A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=BDcos45=2 =2，AB=BC=CD=AD=2，由折叠的性质：AM=AM ，DN=DN，A D=AD，图中阴影部分的周长为：AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB
13、+BC+CD+AD=2+2+2+2=8故选 C11 （2012黔东南州）如图，矩形 ABCD 边 AD 沿拆痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的 F处，已知 AB=6，ABF 的面积是 24，则 FC 等于（ ）A 1 B 2 C 3 D 4解析：四边形 ABCD 是矩形，B=90，AD=BC，AB=6，SABF= ABBF= 6BF=24，BF=8，AF= = =10，由折叠的性质：AD=AF=10，BC=AD=10，FC=BCBF=108=2故选 B12 （2012黔东南州）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺
14、时针旋转 90，得线段 PE，连接 BE，则CBE 等于（ ）A 75 B 60 C 45 D 30解析：过点 E 作 EFAF，交 AB 的延长线于点 F，则F=90，四边形 ABCD 为正方形，AD=AB，A= ABC=90，ADP+APD=90，由旋转可得：PD=PE，DPE=90，APD+EPF=90，ADP=EPF，在APD 和FEP 中， ，APDFEP（AAS ） ，AP=EF，AD=PF，又 AD=AB，PF=AB，即 AP+PB=PB+BF，AP=BF，BF=EF，又F=90，BEF 为等腰直角三角形，EBF=45，又CBF=90，则CBE=45 故选 C/ 1711013
15、（2012长沙）已知：菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE DC 交 BC 于点 E，AD=6cm，则 OE 的长为（ ）A 6cm B 4cm C 3cm D 2cm解答： 解： 四边形 ABCD 是菱形，OB=OD，CD=AD=6cm ，OEDC，BE=CE，OE= CD=3cm故选 C14 （2012 山西）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 ACBD 的长分别为6cm、8cm，AEBC 于点 E，则 AE 的长是（ ）A B C D考点：菱形的性质；勾股定理。解答：解：四边形 ABCD 是菱形，CO= AC=3cm，BO= BD=4cm，AO BO，BC= =
16、5cm，S 菱形 ABCD= = 68=24cm2，S 菱形 ABCD=BCAD，BCAE=24，AE= cm，故选 D15（2012 黄石）如图（3）所示，矩形纸片 中， ， ，现将ABCD6cm8BCc其沿 对折，使得点 与点 重合，则 长为（ B ）EFCFA. B. 258cm254cC. D. 8【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm，利用矩形纸片 ABCD中，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，由勾股定理求 AF 即可【解答】解：设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将
17、其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A重合，DF=DF，在 RtADF 中，AF 2=AD 2+DF 2，x 2=62+（8-x） 2，解得：x=25/4 （cm）故选：B【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键16 （2012 张家界）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）A 正方形 B矩形 C菱形 D等腰梯形考点：菱形的判定；三角形中位线定理；矩形的性质。解答：解：连接 ACBD，在ABD 中，AH=HD，AE=EBEH= BD，同理 FG= BD，HG= AC，EF= AC，又 在矩
18、形 ABCD 中，AC=BD，EH=HG=GF=FE，四边形 EFGH 为菱形故选 CD(C)AB CEF D图（3）/ 1711217 （2012 武汉）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处若 AE=5，BF=3，则 CD 的长是（ ）A 7 B 8 C 9 D 10考点：翻折变换（折叠问题） 。解答：解：DEF 由DEA 翻折而成，EF=AE=5，在 RtBEF 中，EF=5，BF=3，BE= = =4，AB=AE+BE=5+4=9，四边形 ABCD 是矩形，CD=AB=9故选 C18 （2012台湾
19、）如图，边长 12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中E、F、 G 分别在 AB、BC 、FD 上若 BF=3，则小正方形的边长为何？（ ）A B C 5 D 6考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。专题： 探究型。分析： 先根据相似三角形的判定定理得出BEF CFD，再根据勾股定理求出 DF 的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论解答： 解：在BEF 与 CFD 中1+2=2+3=90，1=3B=C=90，BEFCFD，BF=3，BC=12，CF=BCBF=123=9，又 DF= = =15， = ，即 = ，EF=故选 B点评： 本题考查的是相
20、似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出BEF CFD 是解答此题的关键19 （2012苏州）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CEBD，DEAC，若 AC=4，则四边形 CODE 的周长（ ）A 4 B 6 C 8 D 10考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质。分析： 首先由 CEBD，DE AC，可证得四边形 CODE 是平行四边形，又由四边形 ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得 OC=OD=2，即可判定四边形 CODE 是菱形，继而求得答案解答： 解： CEBD， DEAC，四边形 CODE 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形，AC=BD=4，OA=OC
21、，OB=OD，OD=OC= AC=2，四边形 CODE 是菱形，/ 17114四边形 CODE 的周长为：4OC=42=8故选 C点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质此题难度不大，注意证得四边形CODE 是菱形是解此题的关键20 （2012苏州）已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） ，点 B1 在 y 轴上，点 C1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3 在 x 轴上若正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，B 1C1O=60，B 1C1B2C2B3C3，则点 A3 到 x 轴的距离是（ ）A B C D考点： 正方形的性质；全等三角形的判定
22、与性质；解直角三角形。专题： 规律型。分析： 利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出 D1E1=B2E2= ，B 2C2= ，进而得出B3C3= ，求出 WQ= = ，FW=WA 3cos30= = ，即可得出答案解答： 解：过小正方形的一个顶点 W 作 FQx 轴于点 Q，过点 A3FFQ 于点 F，正方形 A1B1C1D1 的边长为 1， B1C1O=60，B 1C1B2C2B3C3，B3C3 E4=60， D1C1E1=30， E2B2C2=30，D1E1= D1C1= ，D1E1=B2E2= ，cos30= = ，解得：B 2C2= ，B3E4= ，cos30= ，解得：B 3C3=
23、 ，则 WC3= ，根据题意得出：WC 3 Q=30， C3 WQ=60，A 3 WF=30，WQ= = ，FW=WA3cos30= = ，则点 A3 到 x 轴的距离是：FW+WQ= + = ，故选：D点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出B3C3 的长是解题关键二.填空题1 （2012 铜仁）以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、B 两点，则线段 AB 的最小值是 考点：正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线。解答：解：四边形 CDEF 是正方形，OCD=ODB=45
24、， COD=90，OC=OD ，AOOB，AOB=90，CAO+AOD=90， AOD+DOB=90，COA=DOB，在 COA 和DOB 中/ 17116，COADOB，OA=OB，AOB=90，AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB= = OA，要使 AB 最小，只要 OA 取最小值即可，根据垂线段最短，OACD 时， OA 最小，正方形 CDEF，FCCD，OD=OF，CA=DA，OA= CF=1，即 AB= ，故答案为： 2. （2012 安徽，14，5 分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分
25、别是 S1、S 2、S 3、 S4，给出如下结论：S 1+S2=S3+S4 S 2+S4= S1+ S3 若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 若 S1= S2，则 P 点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_（把所有正确结论的序号都填在横线上）.解析：过点 P 分别向 AD、BC 作垂线段，两个三角形的面积之和 等于矩形面积的一42S半，同理，过点 P 分别向 AB、CD 作垂线段，两个三角形的面积之和 等于矩形面积31的一半. = ,又因为 ，则 = ,所以一定成31S4221S3ABCD241立答案：点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出成立，要判断成立，在这里充分利用所给条件，对
26、等式进行变形.不要因为选出，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 这一选项容易漏选.3 （2012 绍兴）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点C处则 BC： AB 的值为 。考点：翻折变换（折叠问题） 。解答：解：连接 CC，将 ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在EB与 AD 的交点 C处。EC=EC，ECC=ECC，DCC=ECC，
27、ECC=DCC，得到 CC是 ECD 的平分线，CBC=D=90，CB=CD，又 AB=AB，所以 B是对角线 AC 中点，即 AC=2AB，所以ACB=30 ，cotACB=cot30= ，C3ABC：AB 的值为： 。故答案为： 。4(2012 扬州 )如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 ，那么 tanDCF 的值是 / 17118考点： 翻折变换(折叠问题)。分析： 由矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，即可得BCCF，CDAB，由 ，可得 ，然后设 CD 2x，CF 3x，利用勾股定理即可求得 DF 的值
28、，继而求得 tanDCF 的值解答： 解：四边形 ABCD 是矩形，ABCD，D90，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，CFBC， ， ，设 CD2x，CF 3x，DF x，tanDCF 故答案为： 点评： 此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理此题比较简单，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用5 （2012资阳）如图， O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点，N 为 DC 边上一点，ONOM，若 AB=6，AD=4，设 OM=x，ON=y，则 y 与 x 的函数关系式为 考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质。分析： 求两
29、条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解解答： 解：如图，作 OFBC 于 F，OECD 于 E，ABCD 为矩形C=90OFBC，OE CDEOF=90EON+FON=90ONOMEON=FOMOENOFM=O 为中心 = = = =即 y= x，故答案为：y= x，点评： 此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质6 （2012 江西）如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将AEF 绕顶点 A旋转，在旋转过程中，当 BE=DF 时，BAE 的大小可以是 考点：正方形的性质；
30、全等三角形的判定与性质；旋转的性质。专题：分类讨论。/ 17120分析：利用正方形的性质和等边三角形的性质证明ABE ADF（SSS ） ，有相似三角形的性质和已知条件即可求出当 BE=DF 时，BAE 的大小，应该注意的是，正三角形 AEF 可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解解答：解：当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时，如图 1，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，当 BE=DF 时， ，ABEADF（SSS） ，BAE=FAD，EAF=60，BAE+FAE=30，BAE=FAD=15，当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的
31、外部时如图 2，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，当 BE=DF 时， ，ABEADF（SSS） ，BAE=FAD，EAF=60，BAE+FAE=36060=300，BAE=FAD=165故答案为：15或 165点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小7. （2012 湛江）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH，如此下去若正方形ABCD 的边长记为 a1，按上述方法所作的正方
32、形的边长依次为 a2，a 3，a 4，a n，则 an= 解析：a 2=AC，且在直角 ABC 中，AB 2+BC2=AC2，a2= a1= ，同理 a3= a2=2，a4= a3=2 ，由此可知：a n=（ ） n1a1=（ ） n1，故答案为：（ ） n18 （2012 攀枝花）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC上一动点，则 PE+PB 的最小值为 考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质。专题：探究型。分析：由于点 B 与点 D 关于 AC 对称，所以如果连接 DE，交 AC 于点 P，那 PE+PB 的值最小在 RtCDE 中，由勾股定理
33、先计算出 DE 的长度，即为 PE+PB 的最小值解答：解：连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD点 B 与点 D 关于 AC 对称，DE 的长即为 PE+PB 的最小值，AB=4，E 是 BC 的中点，CE=2，/ 17122在 RtCDE 中，DE= = =2 故答案为：2 点评：本题考查了轴对称最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点 P 的位置9 （2012 宜宾）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连接 ACBD，CE 平分ACD 交BD 于点 E，则 DE= 考点：正方形的性质；角平分线的性质。解答：解：过 E 作 EFDC 于 F，四边形 ABCD 是
34、正方形，ACBD，CE 平分ACD 交 BD 于点 E，EO=EF，正方形 ABCD 的边长为 1，AC= ，CO= AC= ，CF=CO= ，DF=DCCF=1 ，DE= = 1，故答案为： 1三.解答题1 （2012 临沂）如图，点 AF 、C D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 AB=DE，A=D，AF=DC（1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形，（2）若ABC=90 ，AB=4 ，BC=3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定。解答：（1）证明：AF=D
35、C，AF+FC=DC+FC，即 AC=DF在ABC 和DEF 中，ABCDEF（SAS） ，BC=EF，ACB= DFE，BCEF，四边形 BCEF 是平行四边形（2）解：连接 BE，交 CF 与点 G，四边形 BCEF 是平行四边形，当 BECF 时，四边形 BCEF 是菱形，ABC=90，AB=4，BC=3 ，AC= =5，BGC=ABC=90，ACB=BCG，ABCBGC， = ，即 = ，/ 17124CG= ，FG=CG，FC=2CG= ，AF=ACFC=5 = ，当 AF= 时，四边形 BCEF 是菱形2 （2012 临沂）已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b ，动点 M
36、 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动（1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明 BMC=90；（2）如图 2，当 b2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，当 b2a 时， （2）中的结论是否仍然成立？请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质。解答：（1）证明：b=2a，点 M 是 AD 的中点，AB=AM=MD=DC=a，又 在矩形 ABCD 中， A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）解：存在，理由：若BMC=90 ，则AMB= DMC=90，又
37、AMB+ ABM=90，ABM=DMC，又A= D=90，ABMDMC， = ，设 AM=x，则 = ，整理得：x 2bx+a2=0，b 2a，a0， b0，=b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当 b 2a 时，存在 BMC=90，（3）解：不成立理由：若BMC=90 ，由（2）可知 x2bx+a2=0，b 2a，a0， b0，=b24a20，方程没有实数根，当 b 2a 时，不存在 BMC=90，即（2）中的结论不成立3 （2012烟台） （1）问题探究如图 1，分别以ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向 ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形BCD2
38、E2，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使 AHK=ACD1 作D1MKH，D 2NKH，垂足分别为点 M，N 试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图 2，若将“问题探究” 中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K 2H2，分别交直线 AB 于点 H1，H 2，使AH 1K1=BH2K2=ACD1作 D1MK1H1，D 2NK2H2，垂足分别为点 M，ND 1M=D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图 3，若将中的“正三角形”改为“ 正五边形”，其他条件不变D 1M=D2N 是否仍成立？（要求：在图 3 中
39、补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆。专题： 几何综合题。分析： （1）根据正方形的每一个角都是 90可以证明AHK=90 ，然后利用平角等于 180/ 17126以及直角三角形的两锐角互余证明D 1CK=HAC，再利用“角角边” 证明ACH 和CD1M 全等，根据全等三角形对应边相等可得 D1M=CH，同理可证 D2N=CH，从而得证；（2）过点 C 作 CGAB，垂足为点 G，根据三角形的内角和等于 180和平角等于 180证明得到H 1AC=D1CM，然后利用“角角边” 证明ACG 和CD 1M 全等，根
40、据全等三角形对应边相等可得 CG=D1M，同理可证 CG=D2N，从而得证；结论仍然成立，与的证明方法相同解答： （1）D 1M=D2N（1 分）证明：ACD 1=90，ACH+D1CK=18090=90，AHK=ACD1=90，ACH+HAC=90，D1CK=HAC，（2 分）在ACH 和 CD1M 中， ，ACHCD1M（AAS） ，D1M=CH，（3 分）同理可证 D2N=CH，D1M=D2N；（4 分）（2）证明：D 1M=D2N 成立（5 分）过点 C 作 CGAB，垂足为点 G，H1AC+ACH1+AH1C=180，D1CM+ACH1+ACD1=180，AH1C=ACD1，H1AC
41、=D1CM，（6 分）在ACG 和 CD1M 中， ，ACGCD1M（AAS） ，CG=D1M，（7 分）同理可证 CG=D2N，D1M=D2N；（8 分）作图正确（9 分）D1M=D2N 还成立（10 分）点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到D 1CK=HAC（或 H1AC=D1CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口4 （2012益阳）已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD边上的两点，AEBF 于点 G，且 BE=1（1）求证：ABEBCF；（2）求出ABE
42、 和BCF 重叠部分（即 BEG）的面积；（3）现将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到ABE （如图 2） ，使点 E 落在 CD 边上的点 E处，问ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形。专题： 几何综合题。分析： （1）由四边形 ABCD 是正方形，可得ABE= BCF=90，AB=BC ，又由 AEBF，由同角的余角相等，即可证得BAE= CBF，然后利用 ASA，即可判定：ABEBCF；（2）由正方形 ABCD 的面积等于 3，即可求得此正方形的边长，由在BGE 与ABE 中
43、，GBE=BAE， EGB=EBA=90，可证得 BGEABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；（3）首先由正切函数，求得BAE=30 ，易证得 RtABERtABERtADE，可得 AB与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G，然后设 BF 与 AE的交点为H，可证得BAGHAG，继而证得结论解答： （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABE=BCF=90，AB=BC，ABF+CBF=90，AEBF，/ 17128ABF+BAE=90，BAE=CBF，在ABE 和BCF 中，ABEBCF（4 分）（2）解：正方形面积为 3，AB= ，（5 分）在BGE
44、与ABE 中，GBE=BAE，EGB= EBA=90，BGEABE，（7 分） ，又 BE=1，AE2=AB2+BE2=3+1=4，SBGE= SABE= = （8 分）（3）解：没有变化 （9 分）理由：AB= ，BE=1，tanBAE= = ，BAE=30，（10 分）AB=AD，ABE=ADE=90，AE 公共，RtABERtABERtADE，DAE=BAE=BAE=30，AB与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G，设 BF 与 AE的交点为 H，则BAG=HAG=30 ，而AGB=AGH=90，AG 公共，BAGHAG，（11 分）S 四边形 GHEB=SABESAGH
45、=SABESABG=SBGEABE 在旋转前后与 BCF 重叠部分的面积没有变化（12 分）点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用5 （2012 泰安）如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EFAE，EF 分别交 AC，CD 于点 M，F，BGAC，垂足为 C，BG 交 AE 于点 H（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。解答：（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ABE=ECF=90AEEF，AE
