1、1.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题如图 1，已知抛物线 y x2 bx c 经过 A(0, 1)、 B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求 tan ABO 的值；（3）过点 B 作 BC x 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 松江 24”，拖动点 N 在直线 AB 上运动，可以体验到，以M、 N、 C、 B 为顶点的平行四边形有 4 个，符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四
2、边形MNCB 只有一个请打开超级画板文件名“13 松江 24”，拖动点 N 在直线 AB 上运动，可以体验到， MN有 4 次机会等于 3，这说明以 M、 N、 C、 B 为顶点的平行四边形有 4 个，而符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个思路点拨1第（2）题求 ABO 的正切值，要构造包含锐角 ABO 的角直角三角形2第（3）题解方程 MN yM yN BC，并且检验 x 的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将 A(0, 1)、 B(4, 3)分别代入 y x2 bx c，得解得 ， c1,643.cb92b所以抛物线的解析式是 291yx（2）在 Rt BOC
3、中， OC4， BC3，所以 OB5如图 2，过点 A 作 AH OB，垂足为 H在 Rt AOH 中， OA1， ，4sinsiOBC所以 图 24si5AHO所以 ， 32BH在 Rt ABH 中， tan51A（3）直线 AB 的解析式为 12yx设点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 ，9(,)x(,)2x那么 2 2(1)4Nx当四边形 MNCB 是平行四边形时， MN BC3解方程 x24 x3，得 x1 或 x3因为 x3 在对称轴的右侧（如图 4），所以符合题意的点 M 的坐标为 （如图9(1,)23）图 3 图 4考点伸展第（3）题如果改为：点 M 是抛物线上的一个点，直线
4、MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N，如果 M、 N、 B、 C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标那么求点 M 的坐标要考虑两种情况： MN yM yN或 MN yN yM由 yN yM4 x x2，解方程 x24 x3，得 （如图 5）27所以符合题意的点 M 有 4 个： ， ， ， 9(1,)23,57(2,)57(2,)图 5例 2 2012 年福州市中考第 21 题如图 1，在 Rt ABC 中， C90， AC6， BC8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长
5、度的速度运动，过点 P 作 PD/BC，交 AB 于点 D，联结 PQ点 P、 Q 分别从点 A、 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（ t0）（1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB_， PD_；（2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度（匀速运动），使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；（3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“12 福州 21”，拖动左图中的点
6、P 运动，可以体验到， PQ 的中点 M 的运动路径是一条线段拖动右图中的点 Q 运动，可以体验到，当 PQ/AB 时，四边形 PDBQ 为菱形请打开超级画板文件名“12 福州 21”，拖动点 Q 向上 运动，可以体验到， PQ 的中点M 的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部，Q 的速度变成 1.07，可以体验到，当PQ/AB 时，四边形 PDBQ 为菱形点击动画按钮的中部，Q 的速度变成 1.思路点拨1菱形 PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在 ABC 的平分线上， PQ/AB先求出点 P 运动的时间 t，再根据 PQ/AB，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度2探究点
7、M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点 M 的路径满分解答（1） QB82 t， PD 43t（2）如图 3，作 ABC 的平分线交 CA 于 P，过点 P 作 PQ/AB 交BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形过点 P 作 PE AB，垂足为 E，那么 BE BC8在 Rt ABC 中， AC6， BC8，所以 AB10 图 3在 Rt APE 中， ，所以 23cos5APt10t当 PQ/AB 时， ，即 解得 CQPBA10638329CQ所以点 Q 的运动速度为 3295（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t0 时， PQ 的中点就是 AC 的
8、中点 E(3，0)如图 5，当 t4 时， PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1，4)直线 EF 的解析式是 y2 x6如图 6， PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（ ， t）经验证，点 M（ ， t）在直262线 EF 上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF 5图 4 图 5 图 6考点伸展第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时， PQ 的中点为(2，2)设点 M 的运动路径的解析式为 y ax2 bx c，代入 E(3，0)、 F(1，4)和(2，2)，得 解得 a 0， b2， c693,42.abc所以点 M 的运动路径
9、的解析式为 y2 x6来源:GKSTK.Com来源:学优例 3 2012 年烟台市中考第 26 题如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、 C(3, 0)、 D(3, 4)以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P、 Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EF AD 于 F，交抛物线于点 G，当
10、t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P、 Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点H，使以 C、 Q、 E、 H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 烟台 26”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，当 P 在AB 的中点时， ACG 的面积最大观察右图，我们构造了和 CEQ 中心对称的 FQE 和ECH，可以体验到，线段 EQ 的垂直平分线可以经过点 C 和 F，线段 CE 的垂直平分线可以经过点 Q 和 H，因此以 C、 Q、 E、 H 为顶点的菱形有 2 个请打开超级画板文
11、件名“12 烟台 26”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，当 P 在AB 的中点时，即 t=2， ACG 的面积取得最大值 1观察 CQ，EQ，EC 的值，发现以C、 Q、 E、 H 为顶点的菱形有 2 个点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。思路点拨1把 ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于 AD2用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、 Q、 E、 H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1） A(1, 4)因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 y a(x1) 24，代入点 C(
12、3, 0)，可得 a1所以抛物线的解析式为 y( x1) 24 x22 x3（2）因为 PE/BC，所以 因此 PBEC1PEt所以点 E 的横坐标为 12t将 代入抛物线的解析式， y( x1) 24 12xt 2t所以点 G 的纵坐标为 于是得到 24t11()(4GEtt因此 221()4ACECGSSAFD所以当 t1 时， ACG 面积的最大值为 1（3） 或 2085考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为 FE/QC， FE QC，所以四边形 FECQ 是平行四边形再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H，那么四边形 EH CQ 也是平行四边形再根据 FQ CQ 列关于 t 的
13、方程，检验四边形 FECQ 是否为菱形，根据 EQ CQ 列关于 t的方程，检验四边形 EH CQ 是否为菱形， ， ， 1(,4)2Et1(,4)2Ft(3,Qt,0)C如图 2，当 FQ CQ 时， FQ2 CQ2，因此 221(4t整理，得 解得 ， （舍去）08t185t285如图 3，当 EQ CQ 时， EQ2 CQ2，因此 2()()tt整理，得 所以 ， （舍去）217t304t10324t图 2 图 3例 4 2011 年上海市中考第 24 题已知平面直角坐标系 xOy（如图 1），一次函数 的图象与 y 轴交于点 A，点34yxM 在正比例函数 的图象上，且 MO MA二次
14、函数32yxy x2 bx c 的图象经过点 A、 M（1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图象上，点 D 在一次函数 的图象上，且34yx四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 上海 24”，拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动，四边形ABCD 保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点 C 有一次机会落在抛物线上思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MO MA 确定点 M
15、在 OA 的垂直平分线上，并且求得点 M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点 C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母 m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母 m满分解答（1）当 x0 时， ，所以点 A 的坐标为(0，3)， OA334yx如图 2，因为 MO MA，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上，点 M 的纵坐标为 将2代入 ，得 x1所以点 M 的坐标为 因此 3y 3(1,)21（2）因为抛物线 y x2 bx c 经过 A(0，3)、 M ，所以 解得 ，,3,.2cb5b所以二次函数的解析式为 3c253x（3）如图 3，设四边
16、形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AE CD，垂足为 E在 Rt ADE 中，设 AE4 m， DE3 m，那么 AD5 m因此点 C 的坐标可以表示为(4 m，32 m)将点 C(4m，32 m)代入 ，得253yx解得 或者 m0（舍去）23160m1因此点 C 的坐标为（2，2）图 2 图 3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：来源:学优 GKSTK如图 4，点 C 的坐标为 72(,)416图 4 例 5 2011 年江西省中考第 24 题来源:GKSTK.Com将抛物线 c1： 沿 x
17、 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示23y（1）请直接写出抛物线 c2的表达式；（2）现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、 B；将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、 E当 B、 D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值；在平移过程中，是否存在以点 A、 N、 E、 M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 江西 24”，拖动点 M 向左平移，可以体验到，四边
18、形ANEM 可以成为矩形，此时 B、 D 重合在原点观察 B、 D 的位置关系，可以体验到， B、 D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况思路点拨1把 A、 B、 D、 E、 M、 N 六个点起始位置的坐标罗列出来，用 m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2 B、 D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照 AB 与 AE 的大小写出等量关系列关于 m 的方程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答（1）抛物线 c2的表达式为 23yx（2）抛物线 c1： 与 x 轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为2(0,3)抛物线 c2： 与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，
19、0)，顶点23y为 (0,3)抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为 ，与 x 轴的两个交点为(,3)m、 ， AB2(,)A(,0)B抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后，顶点 N 的坐标为 ，与 x 轴的两个交点为(,)、 所以 AE(1 m)(1 m) 2(1 m)(1,)D(,)E B、 D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图 2， B 在 D 的左侧，此时 ， AE6所以 2(1 m)6解23ABE得 m2情形二，如图 3， B 在 D 的右侧，此时 ， AE3所以 2(1 m)3解得 12图 2 图 3 图 4如果以点 A、 N、 E、 M
20、为顶点的四边形是矩形，那么 AE MN2 OM而 OM2 m23，所以 4(1 m)24( m23)解得 m1（如图 4）考点伸展第（2）题，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形 ABM 中，因为 AB2， AB 边上的高为 ，所以 ABM 是等边三角形3同理 DEN 是等边三角形当四边形 ANEM 是矩形时， B、 D 两点重合因为起始位置时 BD2，所以平移的距离 m1例 6 2010 年山西省中考第 26 题在直角梯形 OABC 中， CB/OA， COA90， CB3， OA6， BA 分别以35OA、 OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直
21、角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、 E 分别为线段 OC、 OB 上的点， OD5， OE2 EB，直线 DE 交 x 轴于点F求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N，使以 O、 D、 M、 N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“10 山西 26”，拖动点 M 可以在直线 DE 上运动分别双击按钮“ DO、 DM 为邻边”、“ DO、 DN 为邻边”和“ DO 为对角线”可以准确显示菱形思路点拨1第（1）题和第（2）题蕴含了
22、 OB 与 DF 垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础2讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照 DO 为边和对角线分类，再进行二级分类， DO 与 DM、 DO 与 DN 为邻边满分解答(1)如图 2，作 BH x 轴，垂足为 H，那么四边形 BCOH 为矩形， OH CB3在 Rt ABH 中， AH3， BA ，所以 BH6因此点 B 的坐标为(3,6)5(2) 因为 OE2 EB，所以 ， ， E(2,4)2EBx243Ey设直线 DE 的解析式为 y kx b，代入 D(0,5)， E(2,4)，得 解得5,4.bk， 所以直线 DE 的解析式为 12k5b152yx(3)
23、由 ，知直线 DE 与 x 轴交于点 F(10,0)， OF10， DF yx 5如图 3，当 DO 为菱形的对角线时， MN 与 DO 互相垂直平分，点 M 是 DF 的中点此时点 M 的坐标为(5, )，点 N 的坐标为(5, )5252如图 4，当 DO、 DN 为菱形的邻边时，点 N 与点 O 关于点 E 对称，此时点 N 的坐标为(4,8)来源:学优如图 5，当 DO、 DM 为菱形的邻边时， NO5，延长 MN 交 x 轴于 P由 NPO DOF，得 ，即 解得 ，NPDOF510P5此时点 N 的坐标为 25PO(25,)图 3 图 4 考点伸展如果第（3）题没有限定点 N 在
24、x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图 6 的情形图 5 图 6例 7 2009 年江西省中考第 24 题如图 1，抛物线 与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与32xyy 轴相交于点 C，顶点为 D（1）直接写出 A、 B、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作PF/DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？设 BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系图 1动感体验 请打
25、开几何画板文件名“09 江西 24”，拖动点 P 在 BC 上运动，可以体验到，四边形PEDF 可以成为平行四边形观察 BCF 的形状和 S 随 m 变化的图象，可以体验到， S 是 m的二次函数，当 P 是 BC 的中点时， S 取得最大值思路点拨1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形 PEDF 为平行四边形时，根据 DE=FP 列关于 m 的方程3把 BCF 分割为两个共底 FP 的三角形，高的和等于 OB满分解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是 x1（2）直线 BC 的解析式为 y x3把 x1 代入 y x3，得 y
26、2所以点 E 的坐标为（1，2）把 x1 代入 ，得 y4所以点 D 的坐标为（1，4）2因此 DE=2因为 PF/DE，点 P 的横坐标为 m，设点 P 的坐标为 ，点 F 的坐标为)3,(m，因此 )32,0(mF)32( 2当四边形 PEDF 是平行四边形时， DE=FP于是得到 解得 ，21（与点 E 重合，舍去）12因此，当 m=2 时，四边形 PEDF 是平行四边形时设直线 PF 与 x 轴交于点 M，那么 OM+BM=OB=3因此 BMFPOSSCPFBCF 21m923)(21m 的变化范围是 0 m3图 2 图 3考点伸展在本题条件下，四边形 PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能，求 m 的值；如果不可能，请说明理由如图 4，如果四边形 PEDF 是等腰梯形，那么 DG=EH，因此 EPFDyy于是 解得 （与点 CE 重合，舍去），2)3()2(m01（与点 E 重合，舍去）12m因此四边形 PEDF 不可能成为等腰梯形图 4
