1、2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系典题精讲例 1如图 2-3-(3,4)-3已知圆 x2+y2+x-6y+c=0与直线 x+2y-3=0的两交点为 P、Q，且OPOQ(O 为原点)，求圆的方程.图 2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解.解法一:设 P(x1，y 1)、Q(x 2，y 2).由 ,06,32cx消去 x,得(3-2y) 2+y2+(3-2y)-6y+c=0，即 5y2-20y+12+c=0.由韦达定理，得 y1+y2=4，y 1y2= 5c.如图 2.3(3.4)3所示，OPOQ， 21xy=-1，即 1321y.解得
2、 9-6(y1+y2)+5y1y2=0.9-64+5 5c=0，解得 c=3.从而所求圆的方程为 x2+y2+x-6y+3=0.解法二:设过圆 x2+y2+x-6y+c=0与直线 x+2y-3=0的交点 P、Q 的圆的方程为 x2+y2+x-6y+c+(x+2y-3)=0，即 x2+y2+(1+)x-(2-6)y+c-3=0.OPOQ，故该圆过原点,c-3=0,且圆心( 1， 26)在直线 x+2y-3=0上,2+2( )-3=0.由求得 =1，c=3.故所求圆的方程为 x2+y2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置
3、关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练 1若半径为 1的圆分别与 y轴的正半轴和射线 y= 3x(x0)相切，则这个圆的方程为_.思路解析:若半径为 1的圆分别与 y轴的正半轴和射线 y= x(x0)相切，则圆心在直线y= 3x上，且圆心的横坐标为 1，所以纵坐标为 3，这个圆的方程为(x-1) 2+(y- 3)2=1.答案：1变式训练 2(2006重庆高考,文 3)以点(2，-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=
4、9 D.(x+2)2+(y-1)2=3思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径 r= 435)1(=3，故选 C.答案：C例 2已知动直线 l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆 C:(x-3)2+(y-4)2=9.(1)求证:无论 m为何值，直线 l与圆 C总相交.(2)m为何值时，直线 l被圆 C所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数 m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心 C(3，4)到动直线 l的距离为 d，则d= 21)5()2()3(|4|2 mm .当 m= 5时，d max= 3(半径
5、).故动直线 l总与圆 C相交.证法二:直线 l变形为 m(x-y+1)+(3x-2y)=0.令 ,0231yx解得 .3,2yx如图 2-3-(3,4)-4所示，故动直线 l恒过定点 A(2，3).图 2-3-(3,4)-4而|AC|= 32)43()2(，点 A在圆内，故无论 m取何值，直线 l与圆 C总相交.(2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小.由(1)知,当 m= 25时，弦长最小.最小值为 7)(32.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，过点 A且垂直 AC的直线被圆 C所截弦长最小.k l= 1Ck. ,23m解得 m= 5.此时弦长为 72)(92|3
6、2 AC.故当 m=时，直线被圆 C所截弦长最小，最小值为 .绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小.解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练 3设直线过点(0,a),其斜率为 1,且与圆 x2+y2=2相切,则 a的值为( )A. 2 B.2 C.2 D.4思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为 1，且与圆 x2+y2=2相切，设直线方程为 y=x+a，圆心(0，0)到直线的距离等于半径 2， 2|a.a 的值为2，选 B.答案：B例
7、 3已知 P(x,y)在圆 C:x2+y2-6x-4y+12=0上，(1)求 x-y的最大及最小值；(2)求 x2+y2的最大及最小值；(3)求|PA| 2+|PB|2的范围，其中 A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意.(1)解：设 x-y=m，则 P(x,y)在 l:x-y-m=0上.又在C 上,C 的圆心坐标为(3,2),l 与C 有公共点.C 的圆心坐标为(3,2),圆心到直线 l的距离 d= 1|23|m1，|1-m| 2，得 1- m 2+1.x-y 的最大值为 +1,最小值为 1- .(2)解法一:x 2+y2=(x
8、-0)2+(y-0)2=( 22)0()(yx=|OP|2.由平面几何知识，连结直线 OC交C 于 A、B.当 P与 A重合时，|OP| min=|OA|=|OC|-1= 13-1;当 P与 B重合时，|OP| max=|OB|=|OC|+1= +1.从而，14-2 13x 2+y214+2 .解法二:设 x2+y2=r2(r0)，因此 P在O 上，又在C 上，图 2-3-(3,4)-5即O 与C 有公共点，由图 2-3-(3,4)-5可知，当O 与C 外切时，r 最小.此时|OC|=r+1= 13,r min= -1.当O 与C 内切时，r 最大.此时，|OC|=|r-1|= 13，r ma
9、x= +1.14-2 x 2+y214+2 .(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2= 22)1()1( yxyx=x2+2x+1+y2+x2-2x+1+y2=2(x2+y2)+2.由(2)14- 3x 2+y214+ 3，30- 14|PA| 2+|PB|230+ 14.绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题最值.变式训练 4圆 x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线 x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36 B.18 C. 26 D. 25思路解析：圆 x2+y2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为 23，圆心到直线 x+y-1
10、4=0的距离为 235|14| ，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R=6，选 C.答案:C例 4已知圆 C:x2+y2-2x-4y-20=0及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)求证:不论 m取什么实数，直线 l与圆 C总相交；(2)求直线 l被圆 C截得的弦长最短长度及此时的直线方程.思路分析:(1)直线 l是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线 l必与圆 C相交.(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.(1)证明:把直线 l的方程改写成(x+y-4)+m(2x+
11、y-7)=0.由方程组 ,0724yx解得 .1,3直线 l总过定点(3，1).圆 C的方程可写成(x-1) 2+(y-2)2=25.圆 C的圆心为(1，2)，半径为 5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为)1()3(225.点(3，1)在圆 C内.过点(3，1)的直线 l总与圆 C相交，即不论 m为何实数，直线 l与圆 C总相交.图 2-3-(3,4)-6(2)解：当直线 l过定点 M(3，1)且垂直于过点 M的圆心的半径时，l 被圆截得的弦长|AB|最短.(如图 2-3-(3,4)-6)|AB|=2 5420)1()3(2522 CMB .此时，k AB= k1=2.直线 AB的方程为
12、 y-1=2(x-3)，即 2x-y-5=0.故直线 l被圆 C截得的弦长的最短长度为 54，此时直线 l的方程为 2x-y-5=0.绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.变式训练 5(2006高考全国卷，文 7)从圆 x2-2x+y2-2y+1=0外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )A. 21 B.53 C. 3 D.0思路解析:圆 x2-2x+y2-2y+1=0的圆心为 M(1，1)，半径为 1，从圆外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线，则点 P到圆心 M的距离等于 5，每条切线与 PM的夹角的正切值等
13、于 21，所以两切线夹角的正切值为 tan= 3412，该角的余弦值等于 53，选 B.答案：B问题探究问题 1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条.(3)已知切线的斜率求圆的切线方程.求圆的切线方程常用的三种方法:(1)设切点用切线公式法;(2)设切线斜率用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等
14、于半径法.探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线的方程,即倾斜角为 2的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为 的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为 2的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.问题 2将两个相交的非同心圆的方程 x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？导思：可以通过设出两圆的交点(x 1,y1)、(x 2,y2),将(x 1,y1)代入两圆方程相减得到(D1-D2)x1+(E1-E2)y1+F1-F2=0,将(x 2,y2)代入两圆方程相减得到(D 1-D2)x2+(E1-E2)y2+F1-F2=0,点(x 1,y1)、(x 2,y2)满足(D 1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,故该方程为公共弦所在直线的方程.探究：两圆相减得一直线方程,它当然经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.
