1、学优中考网 第五课时 1.5 有理数的乘方通过实例，从有理数的乘法出发，引导学生理解并接受有理数的乘方运算。乘方运算是乘法运算的特殊形式，对于部分题目，用乘方去做简单快捷。继续理解乘方的意义，并且利用乘法的一般运算法则进行有理数乘方的运算，提高学生的计算能力。通过实例感受当底数大于 1 时，乘方的运算结果增大的很快。并通过所给一列算式的一般特征，利用乘方来找出规律，合情合理的解释现实生活中遇到的问题。在学习完了有理数的加、减、乘、除、乘方运算之后，为了能熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算，直接在小学数学的基础上给出了有理数混合运算的运算顺序，并通过例题，一方面让学生熟练运算顺序，
2、另一方面让学生更好的利用运算律简化运算。为了避免数学运算的枯燥，采用了“24 点游戏”的形式，提高学生的兴趣。一. 理解有理数乘方的意义，能进行有理数乘方的运算，并通过实例，感受当底数大于 1时，乘方运算的结果增长很快。这是本节的重点内容.【典例引路】中例 1， 【当堂检测】中第 3 题， 【课时作业】中第 6 题。二.有关乘方的概念, 利用乘方解释实际问题.这是本节的难点. 【当堂检测】中第 6 题， 【课时作业】中第 9 题， 【备选题目】中第 3 题。三.易错题目【典例引路】中例 2，主要讲解了正、负数的奇、偶次幂所得到的结果是正还是负，是学生最容易出错的地方，类似题目还有体现。【当堂检
3、测】中第 2 题， 【课时作业】中第 11 题要求学生能够熟练、快速、正确的解题。知识点一:有理数的乘方求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,记作:a ,其中 a 为底数,n 为指数.n负数奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数,0 的任何正整数次幂都是0.知识点二:有理数的混合运算顺序1. 先乘方,再乘除,最后加减.2. 同级运算从左到右进行.3. 如有括号,先做括号里的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.知识点三:科学记数法把一个大于 10 的数表示 a10 的形式(其中 a 是整数数位上只有一位的数,n 是正整数).n这种表示方法叫科学记数法.知
4、识点四:有效数字从左边第一个非 0 数起,到末位数字止,所有的数字都叫这个数的有效数字.针对练习: 1.下列各式成立的是（ ）A.32=32 B.53=35C.（ ） 3= D.（ ） 2=18 416【解析】D 根据运算法则计算后对比 .学优中考网 类型之一:计算类型例 1.计算:(1)(-7) 2； (2)-72； (3)(- )4； (4)-(-5)3.3【解析】在乘方运算时,首先要明确底数是什么,本题意在考查对(-a) n与-a n的意义的理解,要注意二者的区别与联系.【解答】(1)(-7) 2=(-7)(-7) =49；(2)-72=-77=-49；(3)(- )4=(- )(- )
5、(- )(- )= ；334325681(4)-(-5)3=-(-5)(-5)(-5)=-(-125)=125.类型之二:综合类型例 2.计算：（1）-( )2(-42)(- )2；（2）(-3) 3(-1 )(-42)(-1)25.187【解析】本题是乘、除、乘方混合运算.运算时一要注意运算顺序：先乘方、后乘除，二要注意每一步运算中符号的确定.【解答】 （1）-( )2(-42)(- )2=64；41（2）(-3) 3(-1 )(-42)(-1)25=2.57类型之三:规律探索型例 3. 1 米长的小棒，第 1 次截去一半，第 2 次截去剩下的一半，如此截下去，第 8 次后剩下的小棒有多长？
6、【解析】此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系.现将它们的关系列表如下：所截次数 1 2 3 4 7 84816 1256剩下木棒比例 （） 12（） 2（） 3（） 42（） 7（） 8【解答】 （ ） 81= （米）56答：第 8 次后剩下的木棒长 米.21.-7 的平方是_；一个数的平方是 49，这个数是_；一个数的立方是-8 ，这个数是_.【解析】(7) 2=49;(-2)3=-8.【答案】49 7 -22(2 007青 岛 )据有关部门统计，全国大约有 1010 万名考生参加了今年的高考，1010万这个数用科学记数法可表示为（ ） 学优中考网 A1.
7、01010 3 B101010 4 C1.01010 6 D1.01010 7【解析】D 3.计算：(1)(3) 3 (2)(1.5) 2 (3)( 7)2【解析】解题时首先要弄清乘方的意义，利用符号法则确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值。【解答】(1)( 3)3=(3)(3)( 3)=27(2)(1.5) 2=(1.5)(1.5)=2.25(3)( 71)2=( )( 71)= 494 用计算器计算： 3.140.92-3.5【解答】按键顺序： 5 ab/c 4 3 1 4 0 9 x2 - 3 = ,计算器显示结果为 0.179 25,所以 3.140.92-3=0.179 25.5.计算
8、：-17+17(-1)11-52(-0.2)3； 【解答】-17+17(-1) 11-52(-0.2)3=-17-17+25125=-33 4；6.下列结论中正确的是（ ）A.绝对值大于 1 的数的平方一定大于 1 B.一个数的立方一定大于原数C.任何小于 1 的数的平方都小于原数 D.一个数的平方一定大于这个数【解答】A 7.关于式子（3） 4，正确的说法是（ ）A.3 是底数，4 是幂 B.3 是底数，4 是幂C.3 是底数，4 是指数 D.（3）是底数，4 是指数【解答】D 如下图：1.下列结论错误的是 （ ）A.一个数的平方不可能是负数 B.一个数的平方一定是正数C.一个非零有理数的偶
9、次方是正数 D.一个负数的奇次方还是负数【解析】B 一个数的平方一定是正数，是错误的,因为 0 的平方是 0,0 不是正数.2.下列式子的结果是正数的是（ ）A.-(-3)4 B.-(-4)2 C.-(-23) D.-|-5|2【解析】C 因为-(-3) 4=-81, -(-4)2=-16, -(-23)=8, -|-5|2=-25,所以结果是正数的是 C.3.在式子(- )2 中，指数为_ ，底数为_，读作_.53学优中考网 【解析】在 an中，a 叫底数，n 叫指数，a n读作 a 的 n 次幂（或 a 的 n 次方）.【答案】2 - 负 的 2 次方534. (2007金华)06 年我市
10、深入实施环境污染整治，某经济开发区域经的 40 家化工企业中已关停、整改 32 家，每年排放的污水减少了 167000 吨。将 167000 用科学计数法表示为（ ）A、16710 3 B、16.710 4 C、1.6710 5 D、0.16710 6 【解析】C 5如用计算器计算：41.9（0.6） ；1.2 2.【解析】输入一个多位数,按键顺序应是从高位到低位依次输入.对于按键的顺序,可以多做一些练习,进一步熟悉按键顺序与操作程序,这样才能为今后熟练使用计算器打下坚实的基础.【解答】按键顺序： 4 1 9 （） 0 6 =，计算器显示结果为25.14，所以 41.9（0.6）=25.14；
11、按键顺序： 1 2 x2 =,计算器显示结果为 1.44，所以 1.22=1.44；6.用计算器补充完整下表：31 32 33 34 35 36 37 383 9 27 81从表中你发现 3 的方幂的个位数有何规律？3 225 的个位数是什么数字？为什么？【解析】让学生用计算器填完表后，认真观察，找出规律，根据规律，确定 3225 的个位数字.【解答】31 32 33 34 35 36 37 383 9 27 81 243 729 2187 6561从表中发现 3 的方幂的个位数呈周期性变化，变化周期是 4.因为 225=564+1,所以 3225 的个位数是 3.7.（1）(- 4)(-2)
12、3-（- 2）- 1；（2）(-5)-(-5) 0 (-5)； （3） 2 1-( 97- + 6)365.【解析】有理数的运算方法灵活,技巧性强,在运算过程中,巧用运算律和其他的运算方法、技巧,可以使计算简便.有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，要先算括号里面的.【解答】 （1）(- 43)(-2)3-(- 2)- 1=- 43(-8)-(- )(- 32)-(- 4) 1=6-2+ = ；（2）(-5)-(-5) 10 (-5)=(-5)-(-5)1010(-5)=-5-25=-30；（3） 2 -( 97- + 6)365=2 -( 9736- 236+ 6
13、136)5=2 1-(28-33+6)5=2 -15= 3 51=学优中考网 1.已知下列等式： 1 31 2； 1 3+233 2； 1 3+23+336 2； 1 3+23+33+4310 2；由此规律知，第个等式是_【解析】本题属于探究规律的题，左边是连续自然数的立方和，右边是一个数的平方，底数为左边底数的和.【答案】1 3+23+33+43+53=1522.如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 21的矩形，接着把面积为 21的矩形等分成两个面积为 4的矩形，再把面积为 4的矩形等分成两个面积为 8的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律，计算： 21+( )2+( )3+
14、( )4+( )5+( )6+( )7+( )8.【解析】由题意可知，最后一次是等分成两个面积为（ 21） 8的矩形，用 1-（ 21） 8可以求出本题的答案.【解答】原式=1-（ 21） 8=1- 56= 2.3.探究数字“黑洞”：黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞” ，满足 某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸“进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，重复运算下去，就能得到
15、一个固定的数 T= ，我们称它为数字“黑洞” ，T 为何具有如此魔力？通过认真地观察分析，你一定能发现它的奥妙！【解析】利用计算器，任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，求和，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定数，经过运算这个答案应该是几的问题就很容易解决如 135，1 +3 +5 =1+27+125=153，1 +3 +5 =1+27+125=1533 3【答案】153 4(2007双柏县)15 万勤劳勇敢智慧的双柏人民正在为“建设活力双柏，构建和谐虎乡”而努力奋斗。15 万用科学计数法表示为（ ）
16、A 1.510 B1.510 5 C1510 4 D1.510 44.B 学优中考网 课时作业：A 等 级1.下列各数中最小的数是( )A.(-3-2)3 B.(-3)(-2)4 C.(-3)6(-2)3 D.(-3)3(-12)22.求 25-33 2+2(-3)+5 的值为（ ）A.21 B.30 C.39 D.713.下列式子正确的是( )A.-24 (-2)2(-2) 3 B.(-2)3-2 4(-2) 2 C.-24(-2) 3(-2) 2 D.(-2)2(-2) 3-2 44.计算：(4)( )( )( )37515.在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高 100 米平均降低 0
17、.8 ,已知山脚的温度是24 ,山顶的温度是 4 ,试求这座山的高度.6.下列算式正确的是（ ）A.(- )2= B.23=23=6 C.-32=-3(-3)=9 D.(-23)=-837.在绝对值小于 100 的整数中，可以写成整数平方的个数是（ ）A.18 B.19 C.10 D.98.a,b 互为相反数，a 0，n 为自然数，则( )A.an,bn 互为相反数 B.a2n,b2n 互为相反数C.a2n+1,b2n+1 互为相反数 D.以上都不对9 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两端捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，把这根很粗的面拉成很多细的面条，如图所示，这样捏
18、合至第_次，可拉出 128 根细面条.10.若 an0,n 为奇数，则 a（ ）A.一定是正数 B.一定是负数C.可正可负 D.以上都不对B 等级11.下列说法正确的是（ ）A.两个负数相加，绝对值相减B.正数加零，和为正数；负数加负数，和为负数C.两个数之和为负，积为正，则这两个数应是一正一负D.甲数减去乙数所得的差一定小于甲数12.下列计算不正确的是（ ）学优中考网 A.（ 41） 2= 6 B.8105=8 2C.-32 9=-9 =-1 D.4-（-5 ）3=4+15=1913.-(-32)-|-4|的值为( )A.13 B.-13 C.5 D.-514.若 x 为有理数，则|x|+1
19、 一定是（ ）A.等于 1 B.大于 1C.不小于 1 D.小于 115.一个小于零的数等于它的倒数，那么这个数是_.16.把（-1.2） 2，-1.5 3， （-0.2 ） 3，-0.2 2 按从小到大的顺序排列是_.17. 生物学家指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有 10%的能量能够流动到下一个营养级，在 H1H 2H 3H 4H 5H 6 这条生物链中（H n 表示第 n 个营养级，n=1,2,6） ，要使 H6 获得 10 千焦的能量，需要 H1 提供的能量约为千焦（ ）A.106 B.105 C.104 D.10318.计算下列各题：（1） （-3） 2-（-2 ）
20、 3（- ） 3；（2） （-1） （-1 ） 2（-1） 3（-1） 99（-1） 100.19.如果a+1+(b2) 2=0,求(a+b) 39+a34 的值.20.计算：（1）(5)(5) (5)10（2） ；222 )3(6)37C 等级21. 23 表示（ ）A.222 B.23 C.33 D.2 2222.对于（-2） 4 与-2 4，下面说法正确的是（ ）A.它们的意义相同 B.它们的结果相同C.它们的意义不同，结果相等 D.它们的意义不同，结果不等23. 已知|x-1|+（y+3 ） 2=0,求（xy） 2 的值.24(2007贵阳)据 2006 年末的统计数据显示，免除农村义
21、务教育阶段学杂费的西部地区和部分中部地区的学生约有 52000000 名，这个学生人数用科学记数法表示正确的是（ ）A B C D65.10651075.108.521025.观察下列各式找规律：12+（12） 2+22=（12+1 ） 2；22+（23） 2+32=（23+1 ） 2；32+（34） 2+42=（34+1 ） 2；（1）写出第 2004 行式子；学优中考网 （2）用字母表示你所发现的规律.26.用计算器计算下列各式的值：（1） （-3.625）+（-28.7） ；（2）21.73（-2.7）.27.王刚在用计算器求 99+100+101+999 这些自然数的和时，由于把其中一
22、个数重复输入一次，结果得到和为 495000，问重复输入的数是多少？28. 用计算器计算并填空：11-2=_=（ ） 2；1 111-22=_=（ ） 2；111 111-222=_=（ ） 2；11 111 111-2 222=_=（ ） 2.（1）你发现了什么规律？（2）不用计算器，填空： =（ ） 2.29某个家庭为了估计自己家 6 月份的用电量，对月初的一周每天电表的读数进行了记载，上周日电表的读数是 115 度.以后每日的读数如下表：星期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日电表的读数（度） 118 122 127 133 136 140 143估计 6 月份大约用多少度电.30
23、.阅读下列材料，解答问题。饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东坡中学共有教学班 24 个，平均每班有学生 50 人，经估算，学生一年在校时间约为 240 天（除去各种节假日） ，春、夏、秋、冬季各 60 天。原来，学生饮水一般都是购纯净水（其它碳酸饮料或果汁价格更高） ，纯净水零售价为 1.5 元 / 瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买 1 瓶纯净水，夏季平均每天要买 2 瓶纯净水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买 1 台冷热饮水机，经调查，购买一台功率为 500w 的冷热饮水机约为 150 元，纯净水每桶 6 元，每班春、秋两季，平均每 1.5 天购买 4 桶，夏季平均
24、每天购买 5 桶，冬季平均每天购买 1 桶，饮水机每天开10 小时，当地民用电价为 0.50 元/度。问题： 在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费 元钱来购买纯净水饮用？ 请计算：在购买饮水机解决学生饮水问题后，每班当年共要花费多少元？ 这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节约多少元钱？A 等 级答案1A 2A3C4(4)( )( )( )375421=(4)( )( ) 8=5 81学优中考网 =5 815根据题意，得这座山的高度为：100(244)0.8=10025=2500(米)6D 7C 8C 9710A B 等级答案11.B 12. B 13.C14.C15.-
25、115116.-1.53-0.2 2（-0.2 ） 3（-1.2 ） 217.A 18 （1）原式=9-（-8）（- ）78=9-（-8）（- ）=9-27=-18.（2）原式=（-1）1（-1）（-1）1=（-1）（-1 ）（-1）（-1）50 个=1.19因为a+1+(b2) 2=0所以 a+1=0,b2=0即 a=1,b=2因此(a+b) 39+a34=(1)+2 39+(1) 34=1+1=2.20 （1）原式=(5)( ) (5)210=(5)( )10(5)=(5)25=30（2）原式= 9)6(49.23518C 等级答案21.A 22.D 23.解：|x-1|0， （y+3 ）
26、 20，又|x-1|+（y+3 ） 2=0，|x-1|=0， （y+3） 2=0.x=1,y=-3.（xy） 2=1(-3) 2=9.学优中考网 24.C25.（1）2 004 2+（2 0042 005） 2+2 0052=（2 0042 005+1 ） 2（2）n 2+n（n+1 ） 2+（ n+1） 2=n（n+1）+1 226.【解答】 （1）按键顺序 结果-32.325.（2）按键顺序 结果-58.671.27.假设没有重复输入，则所求的和是 99+100+101+999= （99+999）901=494649，12比 495000 少 495000-494649=351，因此，重复
27、输入的数是 35128.9 3 1 089 33 110 889 333 11 108 889 3 333 (1)略 (2)333 33329.解法一：（118-115）+（122-118）+（127-122）+（133-127）+（136-133）+（140-136）+（143-140） 730=（-115+143）730=120（度）.解法二：（143-115）730=120.30.（1）每个学生春、秋、冬季每天 1 瓶矿泉水，夏季每天 2 瓶。一个学生在春、秋、冬季共购买 180 瓶矿泉水；夏天要购买 120 瓶矿泉水。一年中一个学生共要购买 300 瓶矿泉水。即一个学生全年共花费 1.
28、5300=450 元钱。（2）购买饮水机后，一年每个班所需纯净水的桶数为：春球两季，每 1.5 天 4 桶，则 120天共需（4120） =320 桶，32夏季每天 5 桶，共要 605=300 桶。冬季每天 1 桶，共 60 桶，全年共要纯净水（320+300+60）=680 桶。故购买矿泉水费用为：6806=4080 元。使用电费为：24010 0.5=600（元） 。105故每班学生全年共花费：4080+600+150=4830（元（3）一个学生节省的钱:为：450- =353.4 元。0483全体学生共节省的钱数为：353.42450=424080 元.学优中考网 学优?中考。 ，网
