1、(精编版)2012 全国各地中考数学试题分类解析汇编动点问题1. （2012 上海市 14 分）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 是弧 AB上的一个动点（不与点 A、B 重合）ODBC，OEAC，垂足分别为 D、E（1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长；（2）在DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设 BD=x，DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域【答案】解：（1）点 O 是圆心， ODBC，BC=1 ， BD= BC= 。12又OB=2， 。25D=B（2）存在，DE 是
2、不变的。如图，连接 AB，则 。2AO+D 和 E 是中点，DE= 。1B=（3）BD=x， 。24x1=2，3= 4，AOB=90 0。2+3=45。过 D 作 DFOE，垂足为点 F。DF=OF= 。24x由BODEDF，得 ，即BDO=E，解得 EF= x。2x4=EF12/ 452OE= 。2x+42221x+4x+4yDFOE=0x2 五 五边以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系是：。240xy=1 4五五【考点】正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。【分析】
3、（1）对于图 1，证明线段相等，一般情况下找全等。根据 BN，CP 的分布情况 可以观察CNB 和DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察CAN 和DBP，证明AN=BP，从而有 BN=CP。对于图 2，证明如下：ABCD 为正方形，AC ，BD 为对角线，DCP=90。/ 4516CMDP ， PCM= PDC。PDB=CAN。又DPB=ANC，BD=AC ，PDBNCA （ASA） 。PB=AN，DP=CN。CP=BN。PDB=CAN，OD=OC ， CP=BN， PDONCO （SAS ） 。OP=ON ， DOP=CON。DOC=90，PON= NOC+POC=DOP+POC=DOC=
4、90。OPON。（2）求以 O、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图 1 中，S 四边形 OPBN=SOBN +SBOP ， ， ；图 2 中，S 四边形 OBNP=SPOB +SPBN，代入求出即可。9. （2012 湖南张家界 10 分）如图，O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点 C作O 的切线 DC，P 点为优弧 上一动点（不与 AC 重合） ACB（1）求APC 与ACD 的度数；（2）当点 P 移动到 CB 弧的中点时，求证：四边形 OBPC 是菱形（3）P 点移动到什么位置时，APC 与ABC 全等，请说明理由【答案】解
5、：（1）连接 AC，如图所示：AB=4，OA=OB=OC= AB=2。12又AC=2， AC=OA=OC。ACO 为等边三角形。AOC=ACO=OAC=60，APC= AOC=30。12又 DC 与圆 O 相切于点 C，OCDC。DCO=90。ACD=DCOACO=9060=30。（2）连接 PB，OP，AB 为直径，AOC=60，COB=120。当点 P 移动到弧 CB 的中点时，COP=POB=60。COP 和 BOP 都为等边三角形。 AC=CP=OA=OP。四边形 AOPC 为菱形。（3）当点 P 与 B 重合时，ABC 与APC 重合，显然ABCAPC。当点 P 继续运动到 CP 经
6、过圆心时，ABCCPA ，理由为：CP 与 AB 都为圆 O 的直径，CAP=ACB=90。在 Rt ABC 与 RtCPA 中，AB=CP，AC=ACRtABCRtCPA（HL） 。综上所述，当点 P 与 B 重合时和点 P 运动到 CP 经过圆心时，ABCCPA。【考点】切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。【分析】 （1）连接 AC，由直径 AB=4，得到半径 OA=OC=2，又 AC=2，得到AC=OC=OA，即AOC 为等边三角形，可得出三个内角都为 60，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，得到APC 为 30，由 CD 为圆
7、 O 的切线，得到 OC 垂直于 CD，可得出OCD 为直角，用OCD-OCA 可得出ACD 的度数。（2）由AOC 为 60，AB 为圆 O 的直径，得到BOC=120，再由 P 为 CB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出COP= BOP=60 ，从而得到COP与BOP 都为等边三角形，可得出 OC=OB=PC=PB，即四边形 OBPC 为菱形。（3）点 P 有两个位置使APC 与ABC 全等，其一： P 与 B 重合时，显然两三角形全等；第二：当 CP 为圆 O 的直径时，此时两三角形全等。10. （2012 江苏无锡 10 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，DAB
8、=60点 P 从 A 点出发，以 cm/s 的速度，沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从 A 点出发，以1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运动当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 ts（1）当 P 异于 AC 时，请说明 PQBC ；（2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？/ 4518【答案】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，且菱形 ABCD 的边长为 2，AB=BC=2， BAC= DAB。12又DAB=60，BAC=BCA=30 。如图 1
9、，连接 BD 交 AC 于 O。四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，OA= AC。2OB= AB=1。OA= ，AC=2OA=2 。133运动 ts 后，AP= t，AO=t， 。APC=QB又PAQ= CAB，PAQCAB.APQ=ACB.PQBC.（2）如图 2，P 与 BC 切于点 M，连接 PM，则 PMBC。在 Rt CPM 中，PCM=30，PM= 。13PC=t2由 PM=PQ=AQ=t，即 =t，解得 t= ，3t46此时P 与边 BC 有一个公共点。如图 3，P 过点 B，此时 PQ=PB，PQB=PAQ+APQ=60PQB 为等边三角形。 QB=PQ=AQ=t。t=1。当
10、 时，P 与边 BC 有 2 个公共点。436t1mna0此时，点 E 已在边 DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根） 。当 时，y= ，2x25+24=此时，点 E 在边 AD 上，符合题意。当 时，点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上。来2x源:xYzKw.Com【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】 （1）CM=1，CP=x，DE=y，DP=4x，且MCP PDE， ，即 。y=x 2 4x。DEPCMy41（2）当点 E 与点 A 重合时， y=2，即 2=x 24x，x 24x2=0。解得 。x2（
11、3）过点 P 作 PHAB 于点 H，则由点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB上，可得E DA与DP H 相似，由对应边成比例得得关于 x 的方程即可求解。注意检验。14. （2012 江苏徐州 8 分）如图 1， A、B 、C、D 为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点 E、F 分别从点 D、B 出发，点 E 以 1 cm/s 的速度沿边 DA 向点A 移动，点 F 以 1 cm/s 的速度沿边 BC 向点 C 移动，点 F 移动到点 C 时，两点同时停止移动。以 EF 为边作正方形 EFGH，点 F 出发 xs 时，正方形 EFGH 的面积为 ycm2。已知 y与
12、x 的函数图象是抛物线的一部分，如图 2 所示。请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量 x 的取值范围是 ；（2）d= ，m= ，n= ；（3）F 出发多少秒时，正方形 EFGH 的面积为 16cm2？【答案】解：（1）0x4。（2）3，2，25/ 4526（3）过点 E 作 EIBC 垂足为点 I。则四边形 DEIC 为矩形。EI=DC=3，CI=DE=x。BF=x，IF=42x。在 RtEFI 中， 。222EFI34 x五y 是以 EF 为边长的正方形 EFGH 的面积， 。2234 x五当 y=16 时， ， 16解得， 。12747xx五F 出发 或 秒时，正方形 EFGH 的面
13、积为 16cm2。4【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。【分析】 （1）自变量 x 的取值范围是点 F 从点 C 到点 B 的运动时间，由时间=距离速度，即可求。（2）由图 2 知，正方形 EFGH 的面积的最小值是 9，而正方形 EFGH 的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得 d=AB=EF=3。当正方形 EFGH 的面积最小时，由 BF=DE 和 EFAB 得，E、F 分别为AD、BC 的中点，即 m=2。当正方形 EFGH 的面积最大时，EF 等于矩形 ABCD 的对角线，根据勾股定理，它为 5，即 n=25。（3）求出正
14、方形 EFGH 的面积 y 关于 x 的函数关系式，即可求得 F 出发 或472五秒时，正方形 EFGH 的面积为 16cm2。47215. （2012 四川乐山 13 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m） ，点 B的坐标为（n，n） ，抛物线经过 A、O 、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ，直线 PC 与抛物线交于 D、E两点（点 D 在 y 轴右侧） ，连接 OD、BD 当OPC 为等腰三角
15、形时，求点 P 的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标【答案】解：（1）解方程 x22x3=0，得 x1=3，x 2=1。mn，m=1，n=3 。 A（1，1） ，B（3，3） 。抛物线过原点，设抛物线的解析式为 y=ax2+bx。 ，解得： 。ab=93a=1b2抛物线的解析式为 。yx+（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b。 ，解得： 。k+b=131k=23b直线 AB 的解析式为 。1yx2C 点坐标为（0， ） 。3直线 OB 过点 O（0，0） ，B （3，3） ，直线 OB 的解析式为y= x。OPC 为等腰三角形， OC=OP 或 OP=PC 或 OC
16、=PC。设 P（x，x） 。（i）当 OC=OP 时， ，解得 （舍去） 。29x+=41233x=44五P 1（ ） 。324五/ 4528（ii）当 OP=PC 时，点 P 在线段 OC 的中垂线上，P 2（ ） 。34五（iii ）当 OC=PC 时，由 ，解得 （舍去） 。2239x+=41x=0五P 3（ ） 。2五综上所述，P 点坐标为 P1（ ）或 P2（ ）或 P3（324五34五） 。32五过点 D 作 DGx 轴，垂足为 G，交 OB 于 Q，过 B 作 BHx 轴，垂足为 H设 Q（x，x） ，D（x， ） 21+xSBOD =SODQ +SBDQ = DQOG+ DQG
17、H= DQ（OG+GH ）12= 21x+x3= 。3742160x3，当 时，S 取得最大值为 ，此时 D（ ） 。x2716328 五【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，二次函数的最值。【分析】 （1）首先解方程得出 A，B 两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。（2）首先求出 AB 的直线解析式，以及 BO 解析式，再利用等腰三角形的性质得出当 OC=OP 时，当 OP=PC 时，点 P 在线段 OC 的中垂线上，当 OC=PC 时分别求出 x的值即可。利用 SBOD =SODQ +SBDQ 得出关于 x 的二
18、次函数，从而得出最值即可。16. （2012 四川攀枝花 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是菱形，顶点 ACD均在坐标轴上，且 AB=5，sinB= 45（1）求过 ACD 三点的抛物线的解析式；（2）记直线 AB 的解析式为 y1=mx+n， （1）中抛物线的解析式为 y2=ax2+bx+c，求当y1y 2 时，自变量 x 的取值范围；（3）设直线 AB 与（1）中抛物线的另一个交点为 E，P 点为抛物线上 AE 两点之间的一个动点，当 P 点在何处时，PAE 的面积最大？并求出面积的最大值【答案】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，且AB=5，AB=AD=C
19、D=BC=5，sinB=sinD= 。45在 Rt OCD 中，OC=CDsinD=4，OD=3，OA=AD OD=2 。A（2，0） 、B（5，4） 、C（0，4） 、D（3，0） 。设抛物线的解析式为：y=a（x+2） （x3） ，将 C（0，4）代入得：2（3）a=4，解得 a= 。2抛物线的解析式为 y= （x+2） （x3） 。2x+3（2）由 A（2，0） 、B（5，4）得直线 AB： 。148y由（1）得： ，则：2yx+3，解得： ， 。28yx4312y0x583由图可知：当 y1y 2 时，2x5。（3）S PAE 等于 AE 和 AE 上高乘积的一半， / 4530当在抛
20、物线上 AE 两点之间， P 到直线 AB 的距离最大时，S PAE 最大。若设直线 LAB，则直线 L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P。设直线 L： ，4yx+b3当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时， ，且24x+bx+433=0。由 化简，得24x+bx+433，2610，=4b24132=0解得，b= 。2且 ，解得 。4x1+90x2直线 L： 。点 P（ ）。41y337 五由（2）得：E（5， ），则直线 PE：8。1yx+93设直线 PE 与 x 轴交于点 F，则点 F（ ，0），AF=OA+OF= 。271491PAE 的最大值： 。 PAEAE492873SS五
21、综上所述，当 P（ ）时，PAE 的面积最大，为 。372 五 1【考点】二次函数综合题，菱形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与抛物线的交点，平行线的性质，一元二次方程根的判别式。【分析】 （1）由菱形 ABCD 的边长和一角的正弦值，可求出 OCODOA 的长，从而确定 ACD 三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式。（2）首先由 AB 的坐标确定直线 AB 的解析式，然后求出直线 AB 与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线 y1 在抛物线 y2 图象下方的部分。（3）该题的关键点是确定点 P 的位置：PAE 的面积最大，那么 AE 上的高最大，
