1、课时训练 18 简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015 广东湛江高二期末,10)若实数 x,y 满足 若 z=x+2y,则 z 的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域 ,由 z=x+2y,得 y=- x+ ,平移直线 y=- x+ ,由图象可知当直线经过点 A(0,1)时,直线 y=- x+ 的截距最大,此时 z 最大,代入目标函数得 z=2.故选 B.2.(2015 河南郑州高二期末,7)设变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 z=2x+3y 的最小值为( )A.6 B.7C.8 D.23答案:B解析:画出不等式 表示的可行
2、域,如图,让目标函数表示直线 y=- 在可行域上平移,知在点 B 处目标函数取到最小值,解方程组得(2,1).所以 zmin=4+3=7.故选 B.3.设变量 x,y 满足约束条件 则 z=x-3y 的最小值为 . 答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示 .可知当 x-3y=z 经过点 A(-2,2)时,z 有最小值,此时 z 的最小值为 -2-32=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数 x,y 满足 的取值范围是 ( )A.(0,1) B.(0,1C.(1,+) D.1,+)答案:C解析:实数 x,y 满足 的相关区域如图中的阴影部分所示.表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0
3、)连线的斜率,由图可知, 的取值范围为(1,+ ).5.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 所表示的区域上一动点,则|OM| 的最小值是 . 答案:解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示 .由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,即 dmin= .三、求线性规划中的参数6.x,y 满足约束条件 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a 的值为( )A. 或 1 B.2 或C.2 或 1 D.2 或- 1答案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示 .由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距,故当 a0 时,要使 z
4、=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=2,当 a0,x,y 满足 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a= .答案:解析:因为 a0,作出不等式组 表示的平面区域,得到如图的ABC 及其内部,其中 A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).由 z=2x+y 得 y=-2x+z,将直线 y=-2x 进行平移,可得当经过点 B 时,目标函数 z 达到最小值 ,此时 z=1,即 2-2a=1,解得 a=.8.当实数 x,y 满足 时,1ax+y 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 答案:解析:画出可行域,如图中阴影部分所示 ,设目标函数 z=ax+y,则 y=-ax+z,要使 1
5、z 4 恒成立,则 a0,数形结合知满足 即可,解得 1a ,所以 a 的取值范围是 .四、线性规划中的实际应用9.(2015 河南南阳高二期中,20)某人上午 7:00 乘汽车以 v1 km/h(30v 1100) 匀速从 A 地出发到相距300 km 的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以 v2 km/h(4v 220)匀速从 B 地出发到相距 50 km的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达 C 地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是 x,y 小时.如果已知所需的经费 p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么 v1,v2 分别是多少时走的最经济,此时花费多少元
6、?解:由题意得,x= ,y= , 30v 1100,4v 220, 3x10, y .由题设中的限制条件得 9x+y14,于是得约束条件目标函数 p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域( 如图),设 z=3x+2y,当 y=- x+ 平移到过(10,4)点时在 y 轴上的截距最大 ,此时 p 最小.所以当 x=10,y=4,即 v1=30,v2=12.5 时,p min=93 元.(建议用时:30 分钟 )1.已知点(x,y) 构成的平面区域如图所示,z=mx+y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则 m 的值为( )A.- B. C. D
7、.答案:B解析:观察平面区域可知直线 y=-mx+z 与直线 AC 重合,则 解得 m= .2.设变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 z=y-2x 的最小值为( )A.-7 B.-4C.1 D.2答案:A解析:作约束条件 所表示的可行域,如图所示,z=y-2x 可化为 y=2x+z,z 表示直线在 y 轴上的截距,截距越大 z 越大,作直线 l0:y=2x,平移 l0,当 l0 过点 A(5,3)时,z 取最小值,且为- 7,选 A.3.若 A 为不等式组 表示的平面区域 ,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( )A. B.1 C.
8、D.2答案:C解析:如图所示,区域 A 表示的平面区域为OBC 内部及其边界组成的图形 ,当 a 从-2 连续变化到 1 时扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域.S 四边形 ODEC=SOBC-SBDE=2- .4.如果点 P 在平面区域 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,那么|PQ| 的最小值为( )A. -1 B. -1C.2 -1 D. -1答案:A解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分 (包括边界),点 P 到点 Q 的最小距离为点(-1,0) 到点(0,-2)的距离减去半径 1,|PQ|min= -1= -1.5.已知 x,y 满足条件 (k 为常数), 若目
9、标函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( )A.-16 B.-6 C.- D.6答案:B解析:由 z=x+3y 得 y=- x+ .先作出 的图象,因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,所以 x+3y=8 与直线 y=x 的交点为 C,解得 C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得 k=-6,选 B.6.若变量 x,y 满足约束条件 则 z=x-2y 的最大值为 . 答案:3解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示 ,由 z=x-2y,得 y= ,当直线 y= 在 y 轴上的截距最小时,z 取得最大值.由图知,当直线通过点 A 时,在 y 轴上的截距最小,由 解得 A(1,-1
10、).所以 zmax=1-2(-1)=3.7.记不等式组 所表示的平面区域为 D,若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围是 .答案:解析:作出如图所示的可行域 ,且 A(0,4),B(1,1).又 直线 y=a(x+1)过点 C(-1,0),而 kBC= ,kAC=4.从而直线 y=a(x+1)与 D 有公共点时,a .8.已知变量 x,y 满足 则 z=x+y-2 的最大值为 . 答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分 ,由图知,目标函数 z=x+y-2 在点 A 处取最大值.又 A(1,2), zmax=1+2-2=1.9.设 z=2y-2x+4,式中 x,y 满
11、足 求 z 的最大值和最小值.解:作出满足条件 的可行域如图:作直线 l:2y-2x=t,当 l 过点 A(0,2)时,z max=22-20+4=8.当 l 过点 B(1,1)时,z min=21-21+4=4.所以,z 的最大值为 8,最小值为 4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 min 的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/min 和 200 元/ min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是 x min,y min,总收益为 z 万元,由题意得:目标函数为 z=3 000x+2 000y.作出二元一次不等式组 所表示的区域,即可行域,如图:作直线 l,即 3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0.平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过点 M 时,目标函数取得最大值.由 解得即 M(100,200).则 zmax=3 000x+2 000y=700 000(元),即该公司在甲电视台做 100 min 广告,在乙电视台做 200 min 广告,公司收益最大,最大收益是 70万元.
