1、第一章过关检测(时间:90 分钟 满分:100 分)知识点分布表知识点利用正、余弦定理解三角形判断三角形的形状与三角形面积有关的问题三角形中的有关计算综合应用实际应用问题相应题号 1,7,11,15 5,16 2,3,17 6,8,12 4,9,14 10,13,18一、选择题( 本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)1.在ABC 中,若 sin Asin B,则 A 与 B 的大小关系为( )A.ABB.Asin B, 2Rsin A2Rsin B,即 ab. AB.2.已知圆的半径为 4,a,b,c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 ,则三角形的面积为( )A.2
2、B.8 C. D.答案:C解析: =2R=8, sin C= , SABC= absin C= abc= 16 .3.在ABC 中,A=60,AC=16,面积 S=220 ,则 BC 长为( )A.20 B.75 C.51 D.49答案:D解析:由 S= ACABsin A= 16ABsin 60=4 AB=220 ,解得 AB=55.再用余弦定理求得 BC=49.4.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 =2c,则 A 的大小是( )A. B. C. D.答案:C解析: =2c, 由正弦定理得 2sin C= 2 =2,当且仅当 时等号成立, sin C=1,C= ,A
3、= .5.在ABC 中,b=asin C,c=acos B,则 ABC 一定是 ( )A.等腰三角形但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形但不是等腰三角形D.等腰直角三角形答案:D解析:由 c=acos B 得,c=a , a2=b2+c2, ABC 为直角三角形 , b=asin C=a =c, ABC 是等腰直角三角形.6.钝角三角形的三边为 a,a+1,a+2,其最大角不超过 120,则 a 的取值范围是( )A.00C.f(x) 0 D.f(x)0, f(x)0.10.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30,此时气球的高是 60 m,则河流的
4、宽度 BC 等于( )A.30( +1) m B.120( -1) mC.180( -1) m D.240( -1) m答案:B解析:如图,DAB=15, tan 15=tan(45-30)= =2- .在 RtADB 中,又 AD=60, DB=ADtan 15=60(2- )=120-60 .在 RtADC 中,DAC=60,AD=60, DC=ADtan 60=60 . BC=DC-DB=60 -(120-60 )=120( -1)(m). 河流的宽度 BC 等于 120( -1) m,故选 B.二、填空题( 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)11.设ABC 的外接圆半径
5、为 4,且 sin Bsin C+sin2B+sin2C=sin2A,则 a= . 答案:4解析:依题意,得 bc+b2+c2=a2,即 cos A= =- =- , cos A=- ,A=120.又 =2R, a=2Rsin A=24sin 120=4 .12.在锐角ABC 中,BC=1,B=2A,则 = ,AC 的取值范围为 . 答案:2 ( )解析:由正弦定理得 . B=2A,BC=1, . =2. ABC 是锐角三角形, 090, 30A45.又 AC=2cos A, AC( ).13.如图,在山底测得山顶仰角CAB= 45,沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 m 至 S 点,又测得
6、山顶仰角DSB=75,则山高 BC 为 m. 答案:1 000解析:如图,SAB=45-30=15,又SBD=15, ABS=30.又 AS=1 000 m,由正弦定理知 , BS=2 000sin 15. BD=BSsin 75=2 000sin 15cos 15=1 000sin 30=500(m),且 DC=ST=1 000sin 30=500(m),从而 BC=DC+DB=1 000(m).14.已知 a,b,c 分别为ABC 的内角 A,B,C 的对边,向量 m=( ,-1),n=(cos A,sin A).若 mn,且 acos B+bcos A=csin C,则角 B= . 答案
7、:解析:由 mn,得 cos A-sin A=0,即 A= .由余弦定理及 acos B+bcos A=csin C,有 a +b =csin C,即 2c2=2c2sin C, sin C=1,解得 C= , B=- .三、解答题( 本大题共 4 小题,15、16 小题每小题 10 分,17、18 小题每小题 12 分,共 44 分)15.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= acos B.(1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.解:(1)由 bsin A= acos B 及正弦定理 ,得 sin B= c
8、os B,所以 tan B= ,所以 B= .(2)由 sin C=2sin A 及 ,得 c=2a.由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 9=a2+c2-ac.所以 a= ,c=2 .16.在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求 A 的大小;(2)若 sin B+sin C=1,试判断ABC 的形状.解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,则 a2=b2+c2+bc.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 cos A=- .又
9、 A(0,180 ), A=120.(2)由(1)中 a2=b2+c2+bc,结合正弦定理,可得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C= .又 sin B+sin C=1, sin B=sin C= . 0B60,0C60, B=C. ABC 是等腰钝角三角形.17.已知 a,b,c 分别为ABC 三内角 A,B,C 的对边,B= ,c=8,cos C=- .(1)求 b 的值;(2)求ABC 的面积.解:(1) cos C=- , sin C= . ,B= , ,即 b=7.(2) sin A=sin(-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin
10、C= , SABC= bcsin A= 87 =6 .18.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径,一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= .(1)求索道 AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与
11、甲的距离最短?(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,所以 sin A= ,sin C= .从而 sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= .由正弦定理得 ,得 AB= sin C= =1 040(m).所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),因为 0t ,即 0t8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理 ,得 BC= sin A= =500(m).乙从 B 出发时,甲已走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3 3,解得 v ,所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在(单位 :m/min)内 .
