1、广东省各市 2015 年中考数学试题分类解析汇编（20 专题）专题 11：四边形问题1. （2015 年广东梅州 3 分）下列命题正确的是【 】A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D.【考点】特殊四边形的判定. 【分析】根据特殊四边形的判定对各选项逐一作出判断：A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能性是梯形，故本选项错误； B. 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项错误；C. 对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误； D. 对角线
2、互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确.故选 D.2. （2015 年广东佛山 3 分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2 m，另一边减少了 3 m，剩余一块面积为 20 2m的矩形空地，则原正方形空地的边长是【 】A. 7m B. 8 C. 9m D. 10【答案】A.【考点】一元二次方程的应用（几何问题）.【分析】设原正方形空地的边长是 x，根据题意，得 320x，化简，得 2514，解得 127,x （不合题意，舍去）.原正方形空地的边长是 m.故选 A.3. （2015 年广东佛山 3 分）下列给出 5 个命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方
3、形；六边形的内角和等于 720； 相等的圆心角所对的弧相等； 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等. 其中正确命题的个数是【 】A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个【答案】A.【考点】命题和定理；正方形的判定；多边形内角和定理；圆周角定理；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定；三角形的内心性质. 【分析】根据相关知识对各选项进行分析，判作出断：对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，命题不正确.根据多边形内角和公式，得六边形的内角和等于 621807，命题正确.同圆或等圆满中，相等的圆心角所对的弧才相等，命题不正确. 根据三角
4、形中位线定理、菱形的性质和矩形的判定可知：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，命题正确.三角形的内心到三角形三边的距离相等，命题不正确.其中正确命题的个数是 2 个.故选 A.4. （2015 年广东广州 3 分）下列命题中，真命题的个数有【 】对角线互相平分的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个【答案】B.【考点】真假命题的判定；平行四边形的判定. 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一分析作出判断：对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题是真命题；两组对角分别相等的四
5、边形是平行四边形，命题是真命题；一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，命题是假命题.故选 B.5. （2015 年广东深圳 3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12，BE=EC，将正方形边 CD 沿 DE 折叠到DF，延长 EF 交 AB 于 G，连接 DG，现在有如下 4 个结论： ADGF ； 2BAG；GDEBF； 725BEFS.在以上 4 个结论中，正确的有【 】A. 1 B. 2 C.3 D. 4【答案】C.【考点】折叠问题；正方形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】由折叠和正方形的性质可知， 0,9DFCADFC， 09DFGA.又 D
6、G， AGHL . 故结论正确.正方形 ABCD 的边长为 12，BE=EC， 6BE.设 AFx，则 6,12Exx，在 RtB中，由勾股定理，得 2，即 22x，解得， 4x. ,8AGF . 2GBA. 故结论正确. 6BE， E是等腰三角形.易知 GDE不是等腰三角形， GDE和 BF不相似. 故结论错误. 1168242BS， 705EFBEG.故结论正确.综上所述，4 个结论中，正确的有三个.故选 C.6. （2015 年广东 3 分）如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细 )，则所得的扇形 DAB 的
7、面积为【 】A.6 B.7 C. 8 D. 9【答案】D.【考点】正方形的性质；扇形的计算.【分析】扇形 DAB 的弧长 等于正方形两边长的和 ，扇形 DAB 的半径为正方形的边长DB6BCD3， .16392扇 形 DABS或由变形前后面积不变得： .39正 方 形扇 形 ABCDDABS故选 D.7. （2015 年广东汕尾 4 分）下列命题正确的是【 】A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D.【考点】特殊四边形的判定. 【分析】根据特殊四边形的判定
8、对各选项逐一作出判断：A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能性是梯形，故本选项错误； B. 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项错误；C. 对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误； D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确.故选 D.8. （2015 年广东汕尾 4 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF，若AB=4，BC=2，那么线段 EF 的长为【 】A. 25 B. 5 C. 45 D. 25【答案】B.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图
9、，连接 ,AFCE ，设 与 F相交于点 O.则根据折叠和矩形的性质得，四边形 AEC是菱形， AEC. 0429BB， ， ， 245. 5AO.设 ECx，则 4Ex. 22B， 2， 得 52x.在 RtAO中， 2AO. 5EF.故选 B.1. （2015 年广东梅州 3 分）如图，在 ABCD 中，BE 平分ABC，BC = 6，DE = 2，则 ABCD 周长等于 .【答案】20.【考点】平行四边形的性质；平行的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定.【分析】四边形 ABCD 是平行四边形， ,/ADBC . AEBC.BC = 6，DE = 2， 6,4E.BE 平分ABC，即
10、. . 4. ABCD 周长等于 20AB.2. （2015 年广东梅州 3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF，若AB=4，BC=2，那么线段 EF 的长为 【答案】 5.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接 ,AFCE ，设 与 F相交于点 O.则根据折叠和矩形的性质得，四边形 AEC是菱形， AEC. 0429BB， ， ， 245. 5AO.设 ECx，则 4Ex. 22B， 2， 得 52x.在 RtAO中， 2AO. 5EF.3. （2015 年广东佛山 3 分） 如
11、图，在 RtABC 中，AB= BC，B=90，AC= 102，四边形 BDEF 是ABC的内接正方形（点 D、E、F 在三角形的边上）.则此正方形的面积是 .【答案】25.【考点】等腰直角三角形的判定和性质；正方形的性质.【分析】在 RtABC 中，AB=BC，B=90，AC= 102，AB=BC=10 ， 45A.四边形 DEF是正方形， AEF是等腰直角三角形. 5A.此正方形的面积 25.4. （2015 年广东 4 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 6，ABC=60，则对角线 AC 的长是 .【答案】6.【考点】菱形的性质；等边三角形的判定和性质. 【分析】四边形 ABCD 是菱形
12、，AB=BC =6.ABC=60 ， ABC 为等边三角形，AC=AB=B C=6.5. （ 2015 年广东汕尾 5 分）如图，在 ABCD 中，BE 平分ABC，BC = 6，DE = 2，则 ABCD 周长等于 .【答案】20.【考点】平行四边形的性质；平行的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定.【分析】四边形 ABCD 是平行四边形， ,/ADBC . AEBC.BC = 6，DE = 2， 6,4ADE.BE 平分ABC，即 BC. ABE. 4AB. ABCD 周长等于 20.1. （2015 年广东梅州 10 分）如图，过原点的直线 1ykx和 2与反比例函数 1yx的图象分别
13、交于两点 A，C 和 B，D，连结 AB，BC，CD，DA （1）四边形 ABCD 一定是 四边形；（直接填写结果）（2）四边形 ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时 1k和 2之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设 1221,0PxyQxyx是函数 yx图象上的任意两点， 1212,yabx ，试判断 a， b的大小关系，并说明理由【答案】解：（1）平行.（2）四边形 ABCD 可能是矩形，此时 12k，理由如下：当四边形 ABCD 是矩形时，OA=OB .联立1ykx，得 1ky， 1,Ak .同理， 2,Bk . 2212 OAk， ， 12 k，得 212 0k. 210， 1
14、20. 1.四边形 ABCD 可以是矩形，此时 12k.（3） ab.理由如下： 22111121212124xxyxx x .x 2 x1 0， 0， 0.21. ab.【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用.【分析】 （1）根据反比例函数的中心对称性，有 ,OACBD ，所以，四边形 ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点 A、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到 OA=OB，即 2OAB，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.2. （2015 年广东佛山 11 分）如图，在 ABCDY中，对角线 AC、BD 相交
15、于点 O，点 E、F 是 AD 上的点，且 AEFD. 连结 BE、BF，使它们分别与 AO 相交于点 G、H.（1）求 :GB的值；（2）求证： O；（3）设 ,aHbc， ，求 :abc的值.【答案】解：（1） AEFD， 13AE.四边形 ABCD是平行四边形， /ADBC. EGB . 13EG，即 1 :3EG.（2）证明：由（1） ， .四边形 ABC是平行四边形， AOC. 2O. 13G，即 2. G.（3）如答图，过点 F作 /M交 BD于点 ， AE， 13FA. 6MB， 56D. 12BOD. 5. /FC， BH . 35OF，即 HOFM. MA， FA . 1DA
16、，即 A. 3155HO.由（2）得 2G， 32510HOGO. ,Aabc， ， 13153: : : : :3001cA.【考点】平行四边形的综合题；平行四边形的性质；平行的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想的应用.【分析】 （1）由平行四边形对边平行的性质可得 EGCB ，从而得出结果.（2）由（1） AEGCB 得到 13A，从而根据平行四边形对角线互相平分的性质得出结论.（3）作辅助线“过点 F作 /M交 D于点 ”，构造两组相似三角形 BOHMF 和BOHM，通过相似三角形对应边成比例的性质，求出 A、 、 与 A的关系即可求得 :abc的值 .3. （2015 年广东广
17、州 9 分）如图，正方形 ABC中，点 E、F 分别在 AD，CD 上，且 ED，连接BE，AF.求证： BEAF.【答案】证明：四边形 ABCD是正方形， 0,9ABDEA .又 EF， FS . .【考点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】要证 BA，只要证它们是全等三角形的对应边即可，而要证 EABFD ，一方面，已知AEDF，另一方面，由四边形 BCD是正方形可得 0,9A ，从而构成全等三角形的 S而得证.4. （2015 年广东广州 14 分）如图，四边形 OMTN 中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.（1）试探究筝形对角线之间的位置
18、关系，并证明你的结论；（2）在筝形 ABCD 中，已知 AB=AD=5，BC=CD，BC AB，BD，AC 为对角线，BD=8；是否存在一个圆使得 A，B，C ，D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；过点 B 作 BFCD ，垂足为 F，BF 交 AC 于点 E，连接 DE. 当四边形 ABED 为菱形时，求点 F 到 AB 的距离.【答案】解：（1）筝形的对角线互相垂直. 证明如下：如答图 1，连接 ,MNOT ，在 OMT和 N中，OMNT， S . T.又OM =ON， OTN，即筝形的对角线互相垂直.（2）存在.由（1）知， ACBD，设 , 相交于点 M
19、，如答图2，AB=AD=5 ， BD=8， 4. 2534A.A，B，C ，D 四点共圆， 018BCD.又 ， 9. 即为所求圆的直径. 09,ABMBAM ， BAC . C，即 53，解得 253.圆的半径为 26.（3）四边形 ABED 为菱形， 5ABDE. 03,4,9AMEBM .又 09BFCD. F又 ， BE . ，即 538F，解得 245D.在 RtE中，由勾股定理，得 2F，224755F. 32B. /ABD， FDE.如答图 3，过点 F作 GAB于点 ，则 FG就是点 F 到 AB 的距离. 09BED， ED . F，即254，解得 768125.点 F 到
20、AB 的距离为 76812.【考点】新定义；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质.【分析】 （1）筝形的对角线互相垂直，利用 S证明 OMTN 得到 OTN，从而根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.（2）根据垂径定理和勾股定理求出 A的长，证明 BAC ，由对应边成比例列式求解即可.（3）证明 BMEFD ，求出 245，应用勾股定理求出 75EF，得到 325B，作辅助线“过点 F作 GA于点 ”构造相似三角形 GFD ，由对应边成比例列式求得 FG的长， 就是点 F 到 AB 的距离.5. （2015 年广东 7
21、分）如题图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长交 BC 于点 G，连接 AG.（1）求证：ABG AFG；（2）求 BG 的长.【答案】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，B=D=90，AD =AB.由折叠的性质可知，AD=AF， AFE =D =90，AFG=90，AB=AF.AFG=B.又AG= AG，ABG AFG（HL ）.（2）ABGAFG ，BG=FG.设 BG=FG= ，则 GC= ,x6xE 为 CD 的中点，CF=EF =DE=3，EG = ，3x在 中，由勾股定理，得 ，解得 ，RtCG2223(6)()x
22、BG=2.【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】 （1）根据正方形和折叠对称的性质，应用 HL 即可证明ABGAFG（HL）.（2）根据全等三角形的性质，得到 BG=FG，设 BG=FG= ，将 GC 和 EG 用 的代数式表示，从xx而在 中应用勾股定理列方程求解即可.RtCEG6. （ 2015 年广东 9 分）O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过 的中点 P 作O 的直径 PG 交弦 BC 于BC点 D，连接 AG， CP，PB.（1）如题图 1；若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度数；（2）如题图 2，在
23、DG 上取一点 k，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；（3）如题图 3，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PHAB.【答案】解：（1）AB 为O 直径，点 P 是 的中点，PG BC ，即ODB =90.BCD 为 OP 的中点，OD= .12OcosBOD = . BOD=60.AB 为O 直径， ACB=90. ACB=ODB .ACPG. BAC=BOD=60.（2）证明：由（1）知，CD=BD ，BDP=CDK，DK =DP，PDBCDK（SAS）.CK=BP，OPB =CKD.AOG =BOP ，AG
24、 =BP. AG=CK.OP= OB，OPB =OBP.又G=OBP，AGCK.四边形 AGCK 是平行四边形 .（3）证明：CE=PE，CD=BD，DE PB ，即 DHPB.G=OPB，PB AG. DHAG. OAG= OHD.OA= OG，OAG=G. ODH=OHD. OD=OH.又ODB =HOP，OB=OP，OBDHOP （SAS）.OHP =ODB=90. PHAB.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】 （1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角
25、函数值求出BOD=60；另一方面，由证明ACB=ODB=90得到 ACPG ，根据平行线的同位角相等的性质得到BAC=BOD=60.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到 AG=CK；另一方面，证明 AGCK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用 SAS 证明OBDHOP 而得到OHP= ODB=90，即 PHAB.7. （2015 年广东汕尾 10 分）如图，过原点的直线 1ykx和 2与反比例函数 1yx的图象分别交于两点 A，C 和 B，D，连结 AB，BC，CD，DA （1）四边形 ABCD 一定是 四边形；（直接填写结果）（2）四边
26、形 ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时 1k和 2之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设 1221,0PxyQxyx是函数 yx图象上的任意两点， 1212,yabx ，试判断 a， b的大小关系，并说明理由【答案】解：（1）平行.（2）四边形 ABCD 可能是矩形，此时 12k，理由如下：当四边形 ABCD 是矩形时，OA=OB .联立1ykx，得 1ky， 1,Ak .同理， 2,Bk . 2212 OAk， ， 12 k，得 212 0k. 210， 120k. 1.四边形 ABCD 可以是矩形，此时 12k.（3） ab.理由如下： 22111121212124xxyxx x
27、 .x 2 x1 0， 0， 0.21. ab.【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用.【分析】 （1）根据反比例函数的中心对称性，有 ,OACBD ，所以，四边形 ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点 A、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到 OA=OB，即 2OAB，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.8. （2015 年广东珠海 6 分）如图，在平行四边形 ABCD中， （1）利用尺规作图，在 BC边上确定点 E，使点 到边 ,的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） ；（2）若 8,5D，则 【答案】解：（1）作图如下，点 E即为所求：（2）由作图可知， BAED，四边形 C是平行四边形， A BC. EAD. . . 8,5 ， 5. 3.【考点】尺规作图；角平分线的性质；平行四边形的性质；平行的性质；等腰三角形的判定.【分析】 （1）由角平分线的性质知，到边 ,ABD的距离相等的点在 BAD的角平分线，因此，作BAD的角平分线交 BC边于点 E，则点 即为所求. （2）判定 是等腰三角形，即可由平行四边形对边相等的性质求解.
