1、小专题( 五) 二次函数与几何图形综合类型 1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积1(牡丹江中考)如图，抛物线 yax 22xc 经过点 A(0，3)，B(1，0) ，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；来源:学优高考网 gkstk(2)抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长2(延庆县一模)二次函数 yx 2mx n 的图象经过点 A(1，4)，B(1，0)，y xb 经
2、过点 B，且与二次12函数 yx 2mxn 交于点 D.(1)求二次函数的表达式；来源:学优高考网来源:学优高考网(2)点 N 是二次函数图象上一点(点 N 在 BD 上方)，过 N 作 NPx 轴，垂足为点 P，交 BD 于点 M，求 MN 的最大值3(磴口县校级模拟)如图，抛物线经过 A(4，0) ，B(1，0) ，C(0，2)三点(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标类型 2 二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移
3、将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决4(随州中考改编)如图，已知抛物线 y (x2)(x4)与 x 轴交于点 A、B(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y 轴交于28点 C，M 为抛物线的顶点(1)求点 A、B、 C 的坐标；(2)设动点 N(2，n)，求使 MNBN 的值最小时 n 的值5(广元中考改编)如图，已知抛物线 y (x2)(xm)(m0)与 x 轴相交于点 A，B，与 y 轴相交于点 C，且点1mA 在点 B 的左侧(1)若抛物线过点 G(2，2)，求实数 m 的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使 AHCH 最小，并求出点 H 的
4、坐标6如图，抛物线 y x2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA2，OC3.12(1)求抛物线的解析式(2)点 D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P，使得BDP 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由7(达州中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，AOC 的平分线交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，已知 A(0，4) ，C(5，0)，二次函数 y x2bxc 的图象抛物线45经过 A，C 两点(1)求该二次函数的表达式；来源:学优高
5、考网来源:学优高考网(2)F，G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 D，E，F，G 构成四边形 DEFG，求四边形 DEFG 周长的最小值参考答案1.(1)抛物线 yax 22xc 经过点 A(0，3) ，B(1，0) ， 解得 抛物线的解析式为c 3，0 a 2 c.) a 1，c 3. )yx 22x3.(2)yx 22x3(x 1)24，抛物线的顶点坐标为(1，4) BE 2，DE 4.BD 2 . BE2 DE2 52.(1)二次函数 yx 2mxn 的图象经过点 A(1，4)，B(1，0)， 解得 二次4 1 m n，0 1 m n.) m 2，n 3. )函数的表达式为 y
6、x 22x3.(2)y xb 经过点 B， 1b0.解得 b .y x .设 M(m， m )，则 N(m，m 22m 3)，12 12 12 12 12 12 12MNm 22m3( m )m 2 m (m )2 .MN 的最大值为 . 12 12 32 52 34 4916 49163.(1)该抛物线过点 C(0，2) ，设该抛物线的解析式为 yax 2bx2.将 A(4，0)，B(1，0) 代入，得解得 此抛物线的解析式为 y x2 x2.16a 4b 2 0，a b 2 0. ) a 12，b 52. ) 12 52(2)设 D 点的横坐标为 t(0t4)，则 D 点的纵坐标为 t2
7、t2.过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E.由题意可求得直12 52线 AC 的解析式为 y x2.E 点的坐标为(t， t2) DE t2 t2( t2) t22t.S DCA (12 12 12 52 12 12 12t22t)4t 24t(t 2)24.当 t2 时，DCA 面积最大D(2，1) 124.(1)令 y0，得 (x2)(x 4)0，解得 x12，x 2 4；令 x0，得 y .A(2，0)、B(4，0) 、C(0，28 2)2(2)过点 A(2，0)作 y 轴的平行线 l，则点 B 关于 l 的对称点 B(8，0)，又 M(1， )，连接 BM 与 l 的交点982即
8、为使 MNBN 值最小的点设直线 BM 的解析式为 ykxb，则 解得0 8k b， 982 k b， )y x .当 x2 时，n . k 182.b 2.) 182 2 3425.(1)抛物线过点 G(2，2)时， (22)(2m)2，解得 m4.1m(2)m4，y (x2)(x4) 令 y0， (x2)(x4)0，解得 x12，x 24.则 A(2，0) ，14 14B(4，0)抛物线对称轴为直线 l：x 1.令 x0，则 y2，所以 C(0，2)B 点与 A 点关于对称轴对 2 42称，连接 BC，BC 与直线 l 的交点便为所求点 H.B(4，0) ，C(0，2)，求得线段 BC 所
9、在直线为 y x2.12当 x1 时，y ，H(1， ) 32 326.(1)由已知条件得 A(2，0)，C(0，3)，代入二次函数解析式，得 解得 抛物线的解析c 3， 2 2b c 0.) b 12，c 3.)式为 y x2 x3.12 12(2)连接 AD，交对称轴于点 P，则 P 为所求的点设直线 AD 的解析式为 ykxt.由已知得 解得 2k t 0，2k t 2. )直线 AD 的解析式为 y x1.对称轴为直线 x ，将 x 代入 y x1，得k 12，t 1.) 12 b2a 12 12 12y .P( ， ) 54 12 547.(1)将 A(0，4)、C(5，0)代入二次函数 y x2bxc，得 解得 故二次函数的表达式45 20 5b c 0，c 4， ) b 245，c 4. )为 y x2 x4.45 245(2)延长 EC 至 E，使 ECEC，延长 DA 至 D，使 DADA ，连接 DE，交 x 轴于 F 点，交 y 轴于 G 点，GDGD，EFEF，(DGGFEFED) 最小 DEDE，由 E(5，2)，D(4，4) ，得 D(4，4)，E(5，2) 由勾股定理，得 DE ，DE 3 ，(DGGFEFED) 最小 DEDE322 12 5 （5 4）2 （4 2）2 13 .13 5
