1、三年中考 2010-2012 全国各地中考数学试题分类汇编第 23 章 等腰三角形2012 年全国各地中考数学真题分类汇编第 23 章 等腰三角形 ht一.选择题1.（2012 黑龙江省绥化市，4，3 分）等腰三角形的两边长是 3 和 5，它的周长是 【解析】 解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：当 3 是底边长时，周长为 5+5+3=13；当 5 是底边长时，周长为 3+3+5=11【答案】 11 或 13【点评】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形
2、，考生稍不留神也会写出这种不合题意的答案难度中等2.（2012 肇庆）等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为A16 B18 C20 D16 或 20 htt【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长.【答案】C htt【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小. 3 （2012 江西）等腰三角形的顶角为 80，则它的底角是（ ）hA 20 B 50 C 60 D 80考点：等腰三角形的性质。分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数
3、解答：解：等腰三角形的一个顶角为 80http底角 =（18080）2=50故选 Bhttp:/点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单4.（2012 荆州）如图，ABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF2，则 PE 的长为( )A2 B2 C 3 D33【解析】题目中已知了ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。本题中，有含有 30角的直角三角形，要想到 30角的直角边等于斜边的一半。ABC 是等边三角形，BD 是ABC 的平分线，第
4、 9 题图ADEFPQCB/ 512所以ABD= CBD= ABC=30 。21在直角QBF 中， BF2，CBD=30 ,所以 BQ= .3FQ 是 BP 的垂直平分线,所以 BP=2BQ=2在直角PBE 中 , BP=2 , ABD =30,3所以 PE= BP= .1【答案】C【点评】题目中已知了ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。本题中，有含有 30角的直角三角形，要想到 30的角所对的直角边等于斜边的一半。5 （2012 铜仁）如图，在ABC 中，ABC 和 ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作MNBC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，
5、若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为（ ）A6 B7 C8 D9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。解答：解：ABC 、ACB 的平分线相交于点 E，MBE=EBC，ECN= ECB，MNBC，EBC=MEB，NEC=ECB，MBE=MEB，NEC= ECN，BM=ME，EN=CN，MN=ME+EN，即 MN=BM+CNBM+CN=9MN=9，故选 D6 （2012资阳） 如图， ABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 上异于 BC 中点的一个点，ADE=DAC， DE=AC运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（ ）A 一组对边平行，另一组对边相等的四边形
6、是平行四边形B 有一组对边平行的四边形是梯形C 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D 对角线相等的四边形是矩形考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；梯形；命题与定理。分析： 已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出B= E，AB=DE ，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可解答： 解：A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；B有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错
7、误；C一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，ABC 是等腰三角形，AB=AC，B=C，DE=AC，AD=AD， ADE=DAC，来源:xYzKw.Com即 ，ADEDAC，E=C，B=E，AB=DE ，但是四边形 ABDE 不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此 C 符合题意，故此选项正确；D对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；故选：C点评： 此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键7 （2012 攀枝花）已知实数 x
8、，y 满足 ，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）/ 514A 20 或 16 B 20 C 16 D以上答案均不对考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系。分析：根据非负数的意义列出关于 x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根据 x 是腰长和底边长两种情况讨论求解解答：解：根据题意得，解得 ，（1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若 4 是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为 4+8+8=20故选 B点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题
9、主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键8 （2012 广安）已知等腰ABC 中，ADBC 于点 D，且 AD= BC，则ABC 底角的度数为（ ）A 45 B 75 C 45或 75 D 60考点： 等腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形。分析： 首先根据题意画出图形，注意分别从BAC 是顶角与BAC 是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案解答： 解：如图 1：AB=AC，ADBC，BD=CD= BC，ADB=90，AD= BC，AD=BD，B=45 ，即
10、此时ABC 底角的度数为 45；如图 2，AC=BC，ADBC，ADC=90，AD= BC，AD= AC，C=30 ，CAB=B= =75，即此时ABC 底角的度数为 75；综上，ABC 底角的度数为 45或 75故选 C点评： 此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键9.（2012 孝感）如图，在ABC 中，AB=AC ， A =36，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，若AC=2，则 AD 的长是（ ）A B C D5125125151【解析】根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根
11、据相似三角形对应边成比例即可求得在ABC 中，AB=AC ， A=36， ABC=ACB=72BD 平ABC ， ABD=CBD=36，BD= AD=BC，BDC=72ABCBCD故：ABBC=BCCD设 AD=x，则 BC=x，CD=2-x， 2 x= x(2-x )解得 x= 或 x= AC （舍去）51【答案】C【点评】题考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键10 （2012 潜江）如图，ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上，点 D 在 BC 边上，且 ED=EC若ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD 的长为（ ）/ 516A 2 B 3 C D
12、 +1考点： 平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。分析： 延长 BC 至 F 点，使得 CF=BD，证得EBDEFC 后即可证得B=F，然后证得ACEF，利用平行线分线段成比例定理证得 CF=EA 后即可求得 BD 的长解答： 解：延长 BC 至 F 点，使得 CF=BD，ED=ECEDB=ECFEBDEFCB=FABC 是等边三角形，B=ACBACB=FACEF来源: 学优中考网 xYzkwAE=CF=2BD=AE=CF=2故选 A点评： 本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线11.（2012 孝感）如图，在菱形 ABCD 中，A=60，E，
13、F 分别是 AB，AD 的中点，DE，BF 相交于点 G，连接 BD，CG，有下列结论：BGD=120 ；BG+DG=CG；BDFCGB； 其中正确的结论有（ ）234ABDSA1 个 B2 个 C 3 个 D4 个 【解析】根据题意，ABD 是等边三角形，由此可推得 BG=DG=EBG，GCB=30 ，GBC=90 ；因为直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半，所以 BG= GC；显然 CGBD，12BDF 和CGB 不可能全等；故 ，正确【答案】C【点评】考查菱形的性质和轴对称及等边三角形等知识的综合应用根据A=60得到等边三角形ABD 是解本题的关键二.填空题12. （2012 广元
14、） 已知等腰三角形的一个内角为 80，则另两个角的度数是 来源:学优中考网 xYzkw【答案】50， 50或 80，20。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为 80时，另外两个内角=（18080）2=50；（2）若等腰三角形的底角为 80时，顶角为 1808080=20。等腰三角形的一个内角为 80，则另两个角的度数是 50，50 或 80，20。13.（2012 绥化）等腰三角形的两边长是 3 和 5，它的周长是 【解析】 解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：当 3 是底边长时，周长为 5+5+3=13；
15、当 5 是底边长时，周长为 3+3+5=11【答案】 11 或 13【点评】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生稍不留神也会写出这种不合题意的答案难度中等14.（2012 哈尔滨）一个等腰三角形静的两边长分别为 5 或 6，则这个等腰三角形的周长是 【解析】本题考查等腰三角的性质、三角形三边关系. 因为等腰三角两腰相等，所以其三边可能是 5、5、6 或 6、6、5，经检验两种可能都能组成三角形，所以这个三角形周长是16 或 17./ 518【答案】16 或 17【点评】本题易忽略
16、检验能否组成三角形，注意分类讨论思想的运用.15.（2012 遵义）一个等腰三角形的两条边分别为 4cm 和 8cm，则这个三角形的周长为 解析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为 4cm；（2）当等腰三角形的腰为 8cm；两种情况讨论，从而得到其周长解：（1）当等腰三角形的腰为 4cm，底为 8cm 时，不能构成三角形（2）当等腰三角形的腰为 8cm，底为 4cm 时，能构成三角形，周长为 4+8+8=20cm故这个等腰三角形的周长是 20cm故答案为：20cm答案： 20cm点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定
17、要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行答案，这点非常重要，也是解题的关键16.（2012 随州）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边为_。解析：当边长为 6 的边为腰时，则底时，则另两边分别为 5、5，根据三角形三边关系可知，三边也可以构成三角形。所以两种情况均成立。答案：6 和 4 或 5 和 5点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的边角关系。在题中没有明确所给边为底边还是腰时，要分类讨论，分别求解。且对于求出的边长要根据三角形边角关系进行验证，以防止三边不能构成三角形。17.（2012黄冈）如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，AB的垂直平
18、分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则EBC 的度数为_.【解析】在ABC 中，AB=AC，A=36得：ABC=C=72. 由 AB 的垂直平分线交 AC得 AE=BE，ABE=A=36，EBC=72-36=36.【答案】36【点评】本题主要考查等腰三角形和线段中垂线的性质.难度中等.18 （2012宁波） 如图，AE BD，C 是 BD 上的点，且 AB=BC， ACD=110，则EAB= 40 度考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质。分析： 首先利用ACD =110求得ACB 与 BAC 的度数，然后利用三角形内角和定理求得B 的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可解答： 解： AB
19、=BC，ACB=BACACD=110ACB=BAC=70B=40，AEBD，EAB=40，故答案为 40点评： 本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题19.（2012 淮安）如图，ABC 中，AB=AC ，ADBC ，垂足为点 D，若BAC=70，则BAD= 【解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），可得BAD= BAC=3512【答案】35【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用三线合一是正确解答本题的关键20.（2012 滨州）如图，在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=20 ，则C= / 5110
20、【解析】AB=AD， BAD=20，B= = =80，ADC 是ABD 的外角， ADC=B+BAD=80+20=100，AD=DC，C= = =40【答案】40【点评】本题考查三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，AB=AD，又已知 BAD 的大小，可求出 B、的大小又已知 AD=DC，由三角形内角和定理可得C 的大小来源:学优中考网 xYzKw21. （2012 吉林） 如图， 是 上的三点， ，则,ABCO25CA35BO度AOB答案 .来源:xYzkW.Com120考点 等腰三角形的性质；圆：圆内同弧所对的圆周角与圆心角的关系（圆周角定理）.解析 利用等腰三角
21、形两底角相等，圆内同弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求解.解：如图，在 中，AOC， ， .2525CAO25360B又 是 对的圆周角， 是 对的圆心角AB210OC22.（2012 莱芜）在ABC 中，AB=AC=5 ，BC=6，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 . 【解析】过点 A 作 ADBC 于点 D，因为 AB=AC=5，BC=6，所以 BD=3，所以 AD=4，根据垂线段最短，当 BPAC 时，BP 有最小值.根据 得到， , BP=CBPDBP56424【答案】 524【点评】本题考察了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法。考察了学生
22、解决等腰三角形解决等腰三角形问题常加的辅助线。本题综合性强，难度中等。三.解答题23.（2012 肇庆）如图 5，已知 ACBC ，BDAD ，AC 与 BD 交于 O，AC=BD 21 世纪教育网求证：（1）BC=AD； （2）OAB 是等腰三角形 A BCDO图 5【解析】通过观察不难发现ACB BDA 从而得出 BC=AD，及C AB =D BA，进而推出OAB 是等腰三角形【答案】证明：（1）AC BC，BDAD D =C=90 （1 分）在 Rt ACB 和 RtBDA 中， AB= BA ，AC=BD， ACB BDA（HL） （4 分）BC=AD （5 分）（2）由ACB BDA
23、 得 C AB =D BA （6 分）OAB 是等腰三角形 （7 分）【点评】本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，考察了学生简单的推理能力。难度较小。24.（2012 益阳）如图，已知 AEBC，AE 平分DAC.求证：AB=AC A BCDO/ 5112第 15 题图【解析】 由 AE 平分 DAC.得到1=2 又由两直线平行，内错角相等同位角相等，得到1=B，2=C.所以有：B =C 在 中等AB角对等边，即得到 AB=AC【答案】证明：AE 平分DAC，1=2.AEBC，1=B，2=C. B=C， AB=AC【点评】此题考查了角平分线的性质、平行线的性质和在三角形中等角对等
24、边的应用，考查了学生综合运用知识来解决问题的能力，设问方式较常规，为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平，难度不大。25（2012 济南）（2）如图 2，在ABC 中，AB=AC，A=40，BD 是ABC 的平分线，求 BDC的度数【考点】等腰三角形的性质【专题】证明题【分析】（2）首先根据 AB=AC，利用等角对等边和已知的A的度数求出ABC 和C的度数，再根据已知的 BD 是ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出 DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出BDC 的度数【解答】（2）解：AB=AC，A=40，ABC=C= （180-40）=70，12又 BD 是ABC 的平分线
25、，DBC= ABC=35，BDC=180-DBC-C=75【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键.（21cnjy）26 （2012 广东）如图，在ABC 中，AB=AC ，ABC=72 （1）用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数考点：作图基本作图；等腰三角形的性质。http:/ B 为圆心，以任意长长为半径画弧，分别交 AB、BC 于点E、F；分别以点 E、F 为圆心，以大于 EF 为半
26、径画圆，两圆相较于点 G，连接 BG 角 AC 于点 D 即可（2）在ABC 中，AB=AC， ABC=72，A=1802ABC=180144=36，AD 是 ABC 的平分线，ABD= ABC= 72=36，BDC 是ABD 的外角，BDC=A+ABD=36+36=7227 （2012湘潭） 如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形，将 ABC 沿直线 BC 向右平移，使 B 点与 C 点重合，得到DCE，连接 BD，交 AC 于 F（1）猜想 AC 与 BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段 BD 的长/ 5114考点： 等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质。http:/ 探究
27、型。分析： （1）由平移的性质可知 BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出 BDDE，由E=ACB=60可知 ACDE，故可得出结论；（2）在 RtBDE 中利用勾股定理即可得出 BD 的长解答： 解：（1）ACBD DCE 由 ABC 平移而成，BE=2BC=6， DE=AC=3，E= ACB=60，DE=BE，BDDE，E=ACB=60，ACDE，BDAC；（2）在 RtBED 中，BE=6，DE=3，BD= = =3 点评： 本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键http:/ 年全国各地中考数学真题分类汇编第 23 章 等腰三
28、角形一、选择题1. （2011 浙江省舟山，7，3 分）如图，边长为 4 的等边 ABC 中， DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为（ ）（A） （B） （C） （D） 来源:23336xYzKw.Com（第 7 题）BCDE【答案】B2. （2011 四川南充市，10，3 分）如图，ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，点 B,C,D在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：tanAEC= ;S ABC +SCDE S ACE CDB;BMDM;BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 MEDCBA【答案】D3. （2011 浙
29、江义乌，10，3 分）如图， ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形， BAC= DAE=90， 四边形 ACDE 是平行四边形，连结 CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交 CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： CE=BD； ADC 是等腰直角三角形； ADB= AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有/ 5116ABCDEFGA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D4. （2011 台湾全区，30）如图 (十三)， ABC 中，以 B 为圆心， 长为半径画弧，分别C交 、C于 D、 E 两点，并连接 、 若 A=30， ，则 BDE 的度数为何？BDEA 45 B 5
30、25 C 675 D 75【答案】5. （2011 台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形 ABC、 DEF，且 D、 A 分别为ABC、 DEF的重心固定 D 点，将 DEF 逆时针旋转，使得 A 落在 上，如图(十七)所示求图(十E六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A2：1 B 3：2 C 4：3 D 5：4【答案】6. （2011 山东济宁，3，3 分）如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm，那么此三角形的周长是A15cm B16cm C17cm D16cm 或 17cm【答案】D7. （2011 四川凉山州， 8，4 分）如图，在 中， ， ，
31、点ABC 130BC为 的中点， ，垂足为点 ，则 等于（ ） DBEDEA B C D 103560137513【答案】C8. 二、填空题1. （2011 山东滨州，15，4 分）边长为 6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为_.【答案】 cm32. （2011 山东烟台，14,4 分）等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底边为 .【答案】4 或 63. （2011 浙江杭州，16，4）在等腰 Rt ABC 中， C=90， AC1，过点 C 作直线l AB， F 是 l 上的一点，且 AB AF，则点 F 到直线 BC 的距离为 【答案】 312或4. （2011 浙江
32、台州，14,5 分）已知等边ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,BC 上，把BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在点 B处，DB,EB分别交边 AC 于点 F，G，若ADF=80 ，则EGC 的度数为 【答案】805. （2011 浙江省嘉兴，14，5 分）如图，在 ABC 中， AB=AC， ，则 ABC 的外40A角 BCD / 5118（第 14 题）ABCD【答案】1106. （2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50，则A=_。【答案】80。提示：A=180-250=80。7. （2011 山东济宁，15，3 分）如图，等边三角形
33、ABC 中， D、 E 分别为 AB、BC 边上的两个动点，且总使 AD=BE， AE 与 CD 交于点 F， AG CD 于点 G，则 FA GFEC BA第 15 题D【答案】 128. （2011 湖南怀化，13，3 分）如图 6，在ABC 中，AB=AC，BAC 的角平分线交 BC 边于点 D，AB=5，BC=6，则 AD=_.【答案】49. （2011 四川乐山 16，3 分）如图，已知AOB= ，在射线 OA、OB 上分别取点 OA =OB1，连结 A B ，在 B A 、B B 上分别取点 A 、B ，使 B B = B A ，连结 A B 111212122按此规律上去，记A
34、B B = ， ，22132n+n则 = ； = 。1n【答案】 2180n218010（2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50，则A=_。【答案】80。11. （2011 贵州贵阳，15，4 分）如图，已知等腰 Rt ABC 的直角边长为 1，以 Rt ABC的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推直到第五个等腰 Rt AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_（第 15 题图）【答案】31212. （2011 广东茂名，14，3 分）如图，已
35、知 ABC 是等边三角形，点 B、 C、 D、 E 在同一/ 5120直线上，且 CG CD， DF DE，则 E 度【答案】15 三、解答题1. （2011 广东东莞，21，9 分）如图（1）， ABC 与 EFD 为等腰直角三角形， AC 与 DE重合， AB=EF=9， BAC DEF90，固定 ABC，将 EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、 DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、 H 点，如图（2）.（1）问：始终与 AGC 相似的三角形有 及 ；来源:学优中考网（2）设 CG x，
36、BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（3）问：当 x 为何值时， AGH 是等腰三角形？【解】（1）HGA 及HAB；（2）由（1）可知AGCHAB ，即 ，CGABH9xy所以， 8yx（3）当 CG 时，GAC=HHAC，ACCH12AGAC，AGGH又 AHAG，AHGH此时，AGH 不可能是等腰三角形；当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC此时，GC= ，即 x=92当 CG 时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=
37、9综上，当 x=9 或 时，AGH 是等腰三角形922. （2011 山东德州 19,8 分）如图 AB=AC， CD AB 于 D， BE AC 于 E， BE 与 CD 相交于点O（1）求证 AD=AE；(2) 连接 OA， BC，试判断直线 OA， BC 的关系并说明理由AB CEDO【答案】（1）证明：在 ACD 与 ABE 中， A= A， ADC= AEB=90， AB=AC， ACD ABE 3 分 AD=AE 4 分(2) 互相垂直 5 分在 RtADO 与 AEO 中，OA=OA， AD=AE， ADO AEO 6 分 DAO= EAO即 OA 是 BAC 的平分线 7 分
38、又 AB=AC， OA BC 8 分3. （2011 山东日照，23，10 分）如图，已知点 D 为等腰直角 ABC 内一点， CAD CBD15， E 为 AD 延长线上的一点，且 CE CA（1）求证： DE 平分 BDC；（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证： ME=BDABECDO/ 5122【答案】（1）在等腰直角 ABC 中， CAD= CBD=15o， BAD= ABD=45o-15o=30o， BD=AD， BDC ADC， DCA= DCB=45o由 BDM= ABD+ BAD=30o+30o=60o， EDC= DAC+ DCA=15o+45o=60o， BD
39、M= EDC， DE 平分 BDC； （2）如图，连接 MC， DC=DM，且 MDC=60， MDC 是等边三角形，即 CM=CD 又 EMC=180- DMC=180-60=120， ADC=180- MDC=180-60=120， EMC= ADC 又 CE=CA， DAC= CEM=15， ADC EMC， ME=AD=DB 4. （ 2011 湖北鄂州， 18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长第 18 题图BAEDF C【答案】连结 BD，证B
40、EDCFD 和AEDBFD，求得 EF=55. （2011 浙江衢州，23,10 分） 是一张等腰直角三角形纸板，ABC.Rt2CAB，要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. （第 23 题）（第 23 题图1）PNDFEBAC CABQM图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的1S中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这ADE和两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的2S2=S方法分别剪取正方形，
41、得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 (如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪取时， . 3 10S求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如图乙，,1CFDEAEDC正 方 形即设 ，则由题意，得MNxMQPNBMx232,38()9PNMQS正 方 形 解 得又 819甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 的中点，ABC、 、12ABCCFDESS正 方 形解法 2：如图甲，由题意得 ， 即 =1如图乙，设 ,MNxMQPNBMx则 由 题 意 得232,31
42、,xEC解 得又 即甲种剪法所得的正方形的面积更大/ 5124(2) 21S(3) 109(3)解法 1：探索规律可知： 12nS剩余三角形的面积和为： 110 911242S 解法 2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为 12=第二次剪取后剩余三角形面积和为 2SS第三次剪取后剩余三角形面积和为 2334第十次剪取后剩余三角形面积和为 9109=2S6. (2011 浙江绍兴，23，12 分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目. 三三ABC三E三AB三DCB D=C，.AED三. EABCD小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 为 的中点时，如图 1，
43、确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论：EABAE（填“”,“”,“”或“=”）.理由如AEAE下：如图 2，过点 作 ，交 于点 ./FF（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题第 25 题图 1 第 25 题图 2在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 .若ABCEABDBCED的边长为 1， ，求 的长（请你直接写出结果）. 2【答案】（1）= .（2）=.方法一：如图，等边三角形 中，EABCD 60,ACABAC，/,EF,是等边三角形，A,BECFBE即又 60D，A.,.BEFCDA方法二：在等边三角形 中，AB60120, ,/,60,18120,BC
44、DECEBACDAFBCEBACEFABDD，是 正 三 角 形 ，/ 5126而由 是正三角形可得AEF.EFA.DB(3)1 或 3.来源:xYzkW.Com7. （2011 浙江台州，23,12 分）如图 1，过ABC 的顶点 A 分别做对边 BC 上的高 AD 和中线 AE，点 D 是垂足，点 E 是 BC 中点，规定 。特别的，当点 D 重合时，规定BEDA。另外。对 、 作类似的规定。0ABc（1）如图 2，已知在 RtABC 中，A=30，求 、 ；Ac（2）在每个小正方形边长为 1 的 44 方格纸上，画一个ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且 ，面积也为 2；A（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打，假命题打） 若ABC 中， ，则ABC 为锐角三角形；（ ）1A 若ABC 中， ，则ABC 为直角三角形；（ ） 若ABC 中， ，则ABC 为钝角三角形；（ ）A【答案】解:（1）如图，作 CDAB，垂足为 D，作中线 CE、AF。 =1BF
