1、解直角三角形及其应用课前热身1.图 1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中 AB、 CD 分 别 表 示 一 楼 、 二 楼地 面 的 水 平 线 ， ABC=150 ， BC的长是 8 m，则乘电梯从点 B到点 C上 升 的高度 h是（ ）A 83 m B4 mC 4 m D8 m2.如图 2,长方体的长为 15，宽为 10，高为 2 0，点 B离点 C的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点 B，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. 10 D. 215553图 23.如图 3，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5米，那么这两树在
2、坡面上的距离 AB为（ ）A. B. cos5cos5C. D. inin4.如图 4，在 中， 90，RtABC ， ，则下列结论正确的是（ ）1BC2A B 3sin1tan2C Dco2t3B5.如图 5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75的山坡上种树，EA BC D150图 1hBCA图 45 米AB图 3学优中考网 也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A5m B6m C7m D8m【参考答案】1. B【解析】过点 B作直线 AB的垂线， ，垂足为 E，在 RtBCE 中，sinCBE= ，即BCEsin30= ，所以 h
3、=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利218h用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”来求解.2. B【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点 B，较短爬行路线有以下 4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第 2条.【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.3. B【解析】利用锐角三角函数解答，在以 AB为斜边的直角三角形中，cos ，所AB5以 AB= .【点评】在直角三角形中，
4、根据已知边、角和要求的边、角确定函数关cos5系.4. D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知A=30，B=60，对照30、60的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角 30、45、60的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出 AC，然后根据锐角三角函数定义判断.5. A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为 h米，则有 h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为 =5m.243【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答.考点聚焦1掌握并灵活应用各种
5、关系解直角三角形，这是本节重点2了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键注意：（1）准确理解几个概念：仰角，俯角；坡角；坡度；方位角（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题考点链接1解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_叫做解直角三角形2解直
6、角三角形的类型：已知_；已知_ 3如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：_ （2）角关系：A+B_， （3）边角关系：sinA=_，sinB=_，cosA=_ cosB=_，tanA=_ ，tanB=_ 4如图（2）仰角是_,俯角是_ 5如图（3）方向角：OA：_，OB：_，OC：_，OD：_6如图（4）坡度：AB 的坡度 iAB_， 叫_，tani_ACB45南北西 东60ADCB70OO ABCcbaAC B学优中考网 （图 2） （图 3） （图 4）典例精析例 1（2009 年安徽省）长为 m的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整成 60角4（如图所示） ，则梯子的顶端沿
7、墙面升高了 _m【答案】 2(3) （约 0.64）.【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m 的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成 45的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4sin45=2 ，当2梯子搭在墙上与地面成 60的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4sin60=2 .则梯3子的顶端沿墙面升高了 2(3) （约 0.64）m【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可.例 2（2009 年山东临沂）如图，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l的距离 AC=1km，B 村到公路 l的距离 BD=2k
8、m，B 村在 A村的南偏东 45方向上（1）求出 A，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法） 【分析】 （1）设 AB与 CD的交点为 O，那么三角形 AOC和 BOD是两个等要直角三角形，根北东BACD l据 A、B 到公路的距离，利用勾股定理计算 AO、BO，进而计算 AB的长度.或者以 AB为斜边构造直角三角形解答.（2）作 AB的垂直平分线，与公路 l的交点即为所求.【答案】解：（1）方法一：设 AB与 CD的交点为 O，根据题意可得 45AB和 都是等
9、腰直角三角形CO D， 2A2B两村的距离为 （km） ， 232AB方法二：过点 作直线 的平行线交 的延长线于 lCE易证四边形 是矩形，CDBE2在 中，由 ，可得 RtA 453BA（km）23两村的距离为 kmB，（2）作图正确，痕迹清晰作法：分别以点 为圆心，以大于 的长为A，12AB半径作弧，两弧交于两点 ，MN作直线 ；N直线 交 于点 ，点 即为所求lP【点评】 （1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算.（2） “到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础
10、.迎考精练一、选择题1.（2009 年山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于 A点的营地出发，沿北偏东 60方向走了 5km到达 B地，然后再沿北偏西 30方向走了若干千米到达 C地，测得 A地在 C地南偏西 30方向，则 A、C 两地的距离为A. B.km310km35 BACD lNMOP第 1 题图学优中考网 C. D.km25km352.（2009 年山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛 B到河边公路l的距离，在 A点测得 ，在 C点测得 ，0BD60D又测得 米，则小岛 B到公路 l的距离为（ ）米50CA25 B 253C D13二、填空题1.（2009 年四川遂宁）如图，已知AB
11、C 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC边上的中线 BD的长为 cm. 2.（2009 年浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中， ，屋顶的宽度 为 10米，ABCl坡角 为 35，则坡屋顶高度 为 米 （结果精确到 0.1米）h3.（2009 年湖南益阳）如图，将以 A为直角顶点的等腰直角三角形 ABC沿直线 BC平移得到 ，使点 与 C重合，连结 ，则 的值为 . BABCAtan4.（2009 年山东济南）如图， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的AOB cosAOB值是 BCA D l2 题 EAB ChlAC(B)BACDOAB第 4 题图5.（2009 年山东
12、泰安）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB，沿ABC 的中线 CM将CMA 折叠，使点 A落在点 D处，若 CD恰好与 MB垂直，则 tanA的值为 .6.（2009 年湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10米，此时他与水平地面的垂直距离为 米，则这个坡面的坡度为_. 527.（2009 年湖北孝感）如图，角 的顶点为 O，它的一边在 x轴的正半轴上，另一边 OA上有一点 P（3，4） ，则 sin三、解答题1.（2009 年河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的
13、固定跨度为 1m矩形面与地面所成的角 为 78.李师傅的身高为 l.78m，当他攀升到头顶距天花板 0.050.20m 时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin780.98，cos780.21，tan784.70.)D学优中考网 2.（2009 年福建福州）如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点ABC均在格点上，请按要求完成下列各题：（1） 用签字笔画 ADBC（D 为格点） ，连接 CD；（2） 线段 CD的长为 ；（3） 请你在 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所AC对应的正弦函数值是
14、 .（4） 若 E为 BC中点，则 tanCAE 的值是 3.（2009 年山东德州）如图，斜坡 AC的坡度（坡比）为 1: ，AC10 米坡顶有一旗3杆 BC，旗杆顶端 B点与 A点有一条彩带 AB相连，AB14 米试求旗杆 BC的高度 4.（2009 年浙江台州）如图，有一段斜坡 长为 10米，坡角 ，为方便残BC12CBD疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 5 （1）求坡高 ；CD（2）求斜坡新起点 与原起点 的距离（精确到 0.1米） A5.（2009 年河北省）如图是 一 个 半 圆 形 桥 洞 截 面 示 意 图 ， 圆 心 为 O， 直 径 AB 是 河 底 线 ，弦 CD 是
15、水 位 线 ， CD AB， 且 CD = 24 m， OECD 于点 E已测得 sinDOE = 123（1）求半径 OD；（2）根据需要，水面要以每小时 0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 6.（2009 年江苏省）如图，在航线 的两侧分别有观测点l（第 4 题）DCBA5 12参考数据sin12 0.21cos12 0.98tan5 0.09A O BEC D学优中考网 A和 B，点 A到航线 的距离为 2km，点 B位于点 A北偏东 60方向且与 A相距 10kml处现有一艘轮船从位于点 B南偏西 76方向的 C处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点 A的
16、正北方向的 D处（1）求观测点 B到航线 的距离；l（2）求该轮船航行的速度（结果精确到 0.1km/h） （参考数据： ，31.7， ， ）sin760.9 cos760.24 tan764.017.（2009 年湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为 30米的宣传条幅 AE，张明同学站在离办公楼的地面 C处测得条幅顶端 A的仰角为 50，测得条幅底端 E的仰角为 30. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米） （参考数据：sin500.77，cos500.64， tan501.20，sin30=0.50 ，c
17、os300.87，tan300.58 ）8.（2009 年山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C，利用三角板测得雕塑顶端 A点的仰角为 ，底30北东C DBEAl6076ODCBA部 B点的俯角为 ，小华在五楼找到一点 D，利用三角板测得 A点的俯角为 （如图45 60）.若已知 CD为 10米，请求出雕塑 AB的高度 （结果精确到 0.1米，参考数据） 317.9.（2009 年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点 处安置测倾器，测得风筝 的
18、仰角 ；AC60BD（2）根据手中剩余线的长度算出风筝线 的长度为 70米；B（3）量出测倾器的高度 米1.5根据测量数据，计算出风筝的高度 约为 米 （精确到 0.1米，E）1.710.（2009 年山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面 处时，得知其正北方向上 处一渔BC船发生故障已知港口 处在 处的北偏西 方向上，距 处 20海里； 处在 A处的AB37北偏东 方向上求 之间的距离（结果精确到 0.1海里） 65,C参考数据： sin370.6cos0.8tan0.5， ， ，si.9142t514， ， A DB EC606537北北ACB学优中考网 11.（2009 年广东省）如图所示，
19、 、 两城市相距 100km现计划在这两座城市间修筑AB一条高速公路（即线段 ） ，经测量，森林保护中心 在 城市的北偏东 和 城市PA30B的北偏西 的方向上已知森林保护区的范围在以 点为圆心，50km 为半径的圆形区域45内请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？（参考数据： ）31.72.41 ， A BFE P453012.（2009 年湖北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛 北偏西 并距该岛 海里的A4520处待命位于该岛正西方向 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东BC的方向有我军护航舰（如
20、图所示） ，便发出紧急求救信号我护航舰接警后，立即沿60航线以每小时 60海里的速度前去救援问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的C位置 处？（结果精确到个位参考数据： ）C21.43.7 ， 13.（2009 年湖南长沙）校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动如图，他们在河东岸边的 点测得河西岸边的标志物 在它的正西方向，然后从 点出发沿河岸ABA向正北方向行进 550米到点 处，测得 在点 的南偏西 60方向上，他们测得的湘江CC宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据： ， ）21.4 31.72【参考答案】选择题1. A【解析】此题考查了锐角三角函数的应用.由方位角可求得B
21、AC=30，ABC=90，所以由BAC 的余弦定义得 cos30= ，所以 AC= .【点评】根据角235ACBkm310度判断三角形的形状，再选择适当的关系式.2. 【解析】过点 B作 BE垂直于 AC，垂足为 E，因为 ， ，所以30BD60CABC=BAD=30，则 BC=AC=50，在 RtBCE 中，sinBCD= ，所以小岛 B到公路 lE的距离 BE=BCsinBCD=50 = （米）. 【点评】遇到非直角三角形的问题，通235常最垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答.填空题学优中考网 1. 【解析】知识点：勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由 52+1
22、22=132213知ABC 是直角三角形，AC 是斜边，所以 BD= AC= cm. 【点评】由数量关系判断三角213形的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达到综合运用知识的能力.2. 3.5【解析】知识点：等腰三角形三线合一的性质、坡角 函数关系、计算器的操作.根据三线合一的性质可知，坡屋顶高度 h把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有 tan = ，所以 h约为 3.5米. 【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角5三角形，利用相应的函数关系时解答.3. 【解析】由题意可知，ABC 平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点 A作3
23、1ADBC 于点 D，设 AD 为 a，根据等腰三角形三线合一的性质则有 BC=BC=2a，所以BD=3a，在 RtABD 中， = = .【点评】准确地构造直角三角形是解答CBAtnD31此题的关键.4. 25. 【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、3同角的余角相等、30的正切函数值. 由 CM是 RtABC 斜边的中线可得 CM=AM，则A=ACM；由折叠可知ACM=DCM；又A+B=BCD+B=90，则A =BCD，所以A=ACM=DCM=BCD=30，因此 tanA=tan30= .【点评】把直角三角形与等腰三3角形结合起来，根据折叠的不变性转化角
24、与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上.6. 1：2 【解析 】如图，由题意得直角三角形 ABC，AB=10 米，AC= 米，由勾股定理得52BC=4 米，坡度为 .52154BCA7. (或 0.8) 【解析】根据点 P的坐标利用勾股定理可以求得 OP= =5.所以45 243sin = .54斜 边的 对 边解答题1. 【解析】过点 A作 AEBC 于点 E，过点 D作 DFBC 于点 F，利用三角函数计算AE、DF，结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在 0.050.20m 范围内即可判断安装方便；否则，不方便.【答案】解：过点 A作 AEBC 于点 E，过点 D作 DFBC
25、于点 FAB=AC, CE= BC=0.5 12在 RtABC 和 RtDFC 中，tan78 0= ，AECAE=ECtan78 0 0.54.70=2.35. 又sin= = ，AECDFDF= AE= AE 1.007 37李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787 0.110.050.110.20，它安装比较方便 【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题.2. 【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算
26、有关锐角的函数值.学优中考网 【答案】 （）如图；（） ；5（）CAD， (或ADC， )52（） 21【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础.3. 【解析】BC 所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点 C作 AD的垂线，结合坡比这个条件计算 CE、AE，再计算 BE，从而通过 BE、CE 的差求 BC.【答案】解：延长 BC交 AD于 E点，则 CEAD在 RtAEC 中，AC10， 由坡比为 1 可知：CAE30，3 CEACsin3010 5，12AEACcos3010 3在 RtABE 中，BE 112ABE2214(53) BEBC
27、CE， BCBECE11-56（米） 答：旗杆的高度为 6米【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长度.4. 【解析】在 RtBCD 中，利用CBD 的正弦计算 CD，利用CBD 的余弦计算 BD；在RtACD 中，利用A 的正切计算 AD，AD 与 BD的差则是 A、B 的距离.【答案】解：（1）在 中， （米） BCDRt12sin1.20（2）在 中， （米） ； t cos8.9.0在 中， （米） ， ACR5tan2.39（米） 23.815BD答：坡高 2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为 13.5米【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合
28、图形和已知条件，选择合适的函数关系式计算线段的长度.5. 【解析】根据垂径定理可知 DE的长度，在 RtDOE 中，利用DOE 的正弦求半径 OD，ABCD E再利用勾股定理计算 OE，然后结合水面下降的速度得时间.【答案】解：（1）OECD 于点 E，CD=24，ED = 12CD=12在 RtDOE 中，sinDOE = EO =123，OD =13（m） （2）OE= 2D= 2135将水排干需：50.5=10（小时） 【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边，当知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边.6. 【解析】在 RtOAD 中，利用A 的余弦关
29、系求 OA，便知 OB的长度，然后在 RtBOE中利用OBE 的余弦关系求 BE；在 RtOAD 和 RtBOE 利用 60的正切关系求出 OD、OE，便得 DE，利用路程和时间求速度.【答案】解：（1）设 与 交于点 ABlO在 中， RtOD 6024cos60AD， ， 又 0AB，在 中， （km） tE 3DBE，观测点 到航线 的距离为 3kml（2）在 中， RtO tan6023A在 中， BE53D在 中，RtC76tan3tan76BECEBEA， ，3tan7653.8学优中考网 ， （km/h） 15minh2123.840.6CD答：该轮船航行的速度约为 40.6km
30、/h【点评】根据已知的边和角，在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即距离.7. 【解析】过 D点作 DFAB 于 F点，DF 的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距离.【答案】解：方法一：过 D点作 DFAB 于 F点在 RtDEF 中，设 EF=x，则 DF= x3在 RtADF 中，tan50= 1.204 分0x30+x= x1.20 3x27.8DF= x48答：张明同学站在离办公楼约 48米处进行测量的.方法二：过点 D作 DFAB 于 F点在 RtDEF 中，EF=FDtan30在 RtAFD 中，AF=FDtan30AE+EF=AF30+FDtan30=FDt
31、an50FD48答：张明同学站在离办公楼约 48米处进行测量的.【点评】作垂线构造直角三角形，根据锐角三角函数直接或间接计算所要求的距离.8. 【解析】过点 作 于 则 AB被分为 AE、BE 两部分，在相应的直角三角形中CEABF计算即可.【答案】解：过点 作 于 CEAB，90639036DD， A152，在 中，RtCE，sinsin302AA，5coco在 中，RtBCE，45tan432A，（米） 53(1)6.82A所以，雕塑 的高度约为 6.8米B【点评】利用已知角度判断三角形的形状直角三角形，作垂线构造直角三角形，通过锐角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成.9.
32、【解析】首先利用三角函数关系计算 DC的长度，加上侧倾器的高度 AB，便得风筝的高度 CE.【答案】解：在 RtCBD 中，sin60= = ，70CDB23CD=35 60.553CE=CD+DE=CD+AB62.1（米）答：风筝的高度 约为 62.1米CE【点评】把实际问题转化为数学问题直角三角形，这是锐角三角函数的应用.10. 【解析】过点 A作 ADBC 于 D，在 RtABD 中利用正弦、余弦函数计算 BD、AD，在RtACD 中利用正切求 CD，即可计算 BC的长.【答案】解：过点 A作 ，垂足为 DBC在 中， ， ，RtBD 2037 sin37si1DEBAC6537北北AC
33、BD学优中考网 cos3720cs16BDA在 中， ，RtC 5D .tan65.4 （海里）1621.6 答： 之间的距离约为 21.6海里B，【点评】把斜三角形转化为直角三角形，灵活利用锐角三角函数间接计算两点之间的距离.11. 【解析】根据“垂线段最短”的道理，利用解直角三角形的知识计算 P到公路 AB的垂直距离，再与半径 50km作比较.【答案】解：过点 作 是垂足，PCAB ，则 ，3045APCB，tan tan ,PE， ，tan tan =100，3045，1PC5035031.7263.450 答：森林保护区的中心与直线 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公AB
34、路不会穿越保护区【点评】构造直角三角形，通过三角函数关系计算点到公路的距离，再与森林区域涉及的数据相比较，就能知道公路是否通过保护区.12. 【解析】要求护航舰所需时间，已知它的速度，必须要先计算出 B、C 两处的距离.【答案】解：由图可知， 3045ACBA ， PFBCAE作 于 （如图） ，BDAC在 中，Rt 20B sin4512在 中，tDC 30A 2108B 8.476 （分钟）.答：我护航舰约需 28分钟就可到达该商船所在的位置 C【点评】 “化斜为直”便可解决问题的目的.13. 【解析】在 RtABC 中，利用 tanC= 求 AB.AB【答案】解：由题意得：中， ，ABC 90605C， ，（米） tan53 2. 93答：他们测得湘江宽度为 953米【点评】在直角三角形中，已知一锐角和它的邻边、求对边时，用正切函数.C AB60 45北 北D学优中考网 学优%中#考，网
