1、大庆中学高三年级考前仿真试题数学文一、选择题1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知： = ，故 MN= 2. 已知复数 （i 为虚数单位） ，则在复平面内复数 z 所对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 所对应的点的坐标得答案【详解】z= = ，在复平面内复数 z 所对应的点的坐标为（ ， ） ，在第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题3. 已知函数 ，若 是周期为 的偶函数，则 的一
2、个可能值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： ， ，由 得 ，由为偶函数得 ， ， 时， ，故选 B考点：1、三角函数的奇偶性；2、三角函数的周期性【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于中档题已知的奇偶性求 时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1） 时， 是奇函数；（2） 时， 是偶函数4. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出 关于 的线性回归方程为，则下列结论错误的是 （ ） x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 线性回归
3、直线一定过点B. 产品的生产能耗与产量呈正相关C. 的取值是 D. 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 吨【答案】C【解析】试题分析：因 ,故 A 正确；又由线性回归的知识可知 D，B 是正确的,故应选 C.考点：线性回归方程及运用5. 若抛物线 （其中角 为 的一个内角）的准线过点 ，则的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为抛物线 （其中角 为 的一个内角）的准线过点所以抛物线 的准线方程为所以 ，即因为角 为 的一个内角，所以故答案选考点：抛物线；三角恒等变换6. 已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D
4、. 【答案】C【解析】几何体为半个圆柱（高为 2，半径为 1）与半个圆锥（高为 2，半径为 1）的组合体，体积为，选 C.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析7. 设 表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列四个命题： 若 ，且 则 ； 若 ，且 .则 ；若 ，则 m n； 若 且 n ,则 m.其中正确命题的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【
5、答案】B【解析】试题分析：正确，中直线 与 可能平行也可能在 内，故错；中直线 可能平行还可能相交于一点，故错；正确，故选 B考点：空间直线与平面的位置关系8. 已知等比数列 的各项都是正数，且 成等差数列，则 （ )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由已知 ，所以 ，因为数列 的各项均为正，所以， 故选 C考点：等差数列与等比数列的性质视频9. 已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时， ，若 ，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用 f（x）的奇偶性及在 x0 上的单调性，由 f（x）的性质可把 f（t）f（2t） ，转化为具体不等
6、式，解出即可【详解】当 x0 时，f（x）=log 3（x+1） ，函数在 x0 上为增函数，函数 y=f（x）在 R 上为偶函数，f（t）f（2t） ，|t|2t|，t1，实数 t 的取值范围是（1，+） 故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想10. 对任意 任意 ，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式 2cos 2xasinx 恒成立转化为 asinx+22sin 2x 恒成立，构造函数f（y）= ，利用基本不等式可求得 f（y） min=3
7、，于是问题转化为 asinx+22sin 2x3 恒成立通过对 sinx0、sinx=0 分类讨论求得实数 a 的取值范围【详解】任意 x0， ，y（0，+） ，不等式 2cos 2xasinx 恒成立 asinx+22sin 2x 恒成立，令 f（y）= ，则 asinx+22sin 2xf（y） min，y0，f（y）= 2 =3（当且仅当 y=6 时取“=” ） ，f（y） min=3asinx+22sin 2x3，即 asinx2sin 2x1 恒成立x0， ，sinx0， ，当 sinx=0 时，对于任意实数 a，不等式 asinx2sin 2x1 恒成立；当 sinx0 时，不等式
8、 asinx2sin 2x1 化为 a2sinx+ 恒成立，令 sinx=t，则 0t ，再令 g（t）=2t+ （0t ） ，则 ag（t） min由于 g（t）=2 0，g（t）=2t+ 在区间（0， 上单调递减，因此，g（t） min=g（ ）=3，a3综上，a3故选：A【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式 2cos 2xasinx 恒成立转化为asinx+22sin 2x 恒成立是基础，令 f（y）= ，求得 f（y） min=3 是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， 为坐标原点，若，且 ，则该椭圆的
9、离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF2|=2a，又|PF 1|PF2|=a2，可得|PF 1|=|PF2|=a，即 P 为椭圆的短轴的端点，由条件可得 b=c，计算即可得到椭圆的离心率【详解】由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF2|=2a，又|PF 1|PF2|=a2，可得|PF 1|=|PF2|=a，即 P 为椭圆的短轴的端点，|OP|=b，且|OP|= |F1F2|=c，即有 c=b= ，即为 a= c，e= = 故选：C【点睛】求解离心率的常用方法1.利用公式 ，直接求 .2.找等量关系，构造出关于 ， 的齐次式，转化为
10、关于 的方程求解3.通过取特殊位置或特殊点求解 4 变用公式,整体求出 ：以椭圆为例,如利用 , .12. 已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ， ，则 的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据式子得出 F（x）=xf（x）为 R 上的偶函数，利用 f（x）+ 0当 x0 时，xf（x）+f（x）0，当 x0 时，xf（x）+f（x）0，判断单调性即可证明 a，b，c 的大小【详解】定义域为 R 的奇函数 y=f（x） ，设 F（x）=xf（x） ，F（x）为 R 上的偶函数，F（x）=f（x）+xf（x）当 x0 时，f（x）+ 0当
11、x0 时，xf（x）+f（x）0，当 x0 时，xf（x）+f（x）0，即 F（x）在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减F（ ）=a= f（ ）=F（ln ） ，F（3）=b=3f（3）=F（3） ，F（ln ）=c=（ln ）f（ln ）=F（ln3） ，ln ln33，F（ln ）F（ln3）F（3） 即 acb，故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造 ,（2）若 ，就构造 ， （3） ，就构造， （4） 就构造 ，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知向量 与
12、向量 满足 ，则 与 的夹角是_【答案】【解析】【分析】由题设条件，可先由 （ ）得 （ ）=0，解出 的值，于由夹角公式求出余弦值即可求出两向量的夹角【详解】由 （ ）得 （ ）=0，得 2=0，又| |=1，所以 =1，又，| |=2，所以 cos ， = = =所以 ， = 故选：D【点睛】向量有两个主要的应用；（1）求角，通常利用 来计算，注意判断两个向量的夹角时，要“起点归一”且注意其范围是 ；（2）计算长度，通常利用 来计算.14. 运行如图所示的框图对应的程序，输出的结果为_.【答案】【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【详解】第一次循环：S=91，S=1，k=2，第二次
13、循环：S= ，k=4，第三次循环：S= ，k=8，第四次循环：S=1，k=16，第五次循环：S= ，k=32，第六次循环：S= ，k=64，第七次循环：S=1，k=128，第八次循环：S= ，k=256，第九次循环：S= ，k=512，第十次循环：S=1，k=1024，第十一次循环：S= ，k=20482017，输出 S= ，故答案为： 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要
14、正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15. 假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标，现从 800 袋中抽取 60 袋牛奶进行检验，利用随机数表抽样时，先将 800 袋牛奶按 000，001，799 进行编号，如果从随机数表第 8 行第 7 列开始向右读，请你写出抽取检测的第 5 袋牛奶的编号_.（下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行）【答案】175【解析】【分析】找到第 8 行第 7 列的数开始向右读，第一个符合条件的是 785，第二个数 916 要舍去，第三个
15、数 955 也要舍去，第四个数 667 合题意，这样依次读出结果【详解】找到第 8 行第 7 列的数开始向右读，符合条件的是 785，667，199，507，175故答案为：175【点睛】本题考查随机数表法，挑选号码原则，一是要在规定号码范围之内，二是前面已出现，则不选，需继续往下选.16. 数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则 等于_.【答案】【解析】【分析】令 m=1 代入已知的式子得 an+1a n=n，结合条件和累加法求出 an，代入 化简后利用裂项相消法求出式子的值【详解】对任意的 m，nN *，都有 am+n=am+an+mn，且 a1=1，令 m=1 代入得，都有 an+1=a1
16、+an+n，则 an+1a n=n+1，a 2a 1=2，a 3a 2=3，a na n1 =n，以上 n1 个式子相加可得，a na 1=2+3+4+n= ，则 an=a1+ （n1） （n+2）= n（n+1） ， = =2（ ） ， + + =2（1 + + ）=2（1 ）=故答案为： 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.三、解答题17. “节约行动”正在兴起，具有较强节约意识并
17、付诸行动的人叫“节约族” ，为了调查人们的节约意识，某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区 岁的人群中随机抽取 人进行了一次调查，得到如下统计表：组数 分组 频数 频率节约族占本组的比例第一组 25,30） 50 0.05 30%第二组 30,35） 100 0.1 30%第三组 35,40） 150 0.15 40%第四组 40,45） 200 0.2 50%第五组 45,50） 65%第六组 50,55） 200 0.2 60%（1）求 的值，并估计本社区 岁的人群中“节约族”所占的比例；（2）从年龄段在 的“ 节约族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活动，并从这 8 人中选
18、取 2 人作为负责人，求选取的 2 名负责人分别来自 和 两个年龄段的概率.【答案】 （1）52（2）【解析】试题分析：（1）由表可得 、 样本中的 “光盘族”人数为： 人 样本中的“光盘族”所占的比例为： ；（2）依题意得采用分层抽样方法抽取 人中 的“光盘族”有 人，在 的有 人，记 中的 人为 ， 的 人记为 ，则选取人做领队共有 种，其中分别来自 与 两个年龄段的共有 种 分别来自与 两个年龄段的概率 试题解析：（1）样本中的“光盘族”人数为：样本中的“光盘族”所占的比例为：（2）年龄段在 的“光盘族 ”的人数为 人，年龄段在 的“光盘族”人数为 人，采用分层抽样方法抽取 人中 的“光
19、盘族”有 人，在的有 人，记 中的 人为 ， 的 人记为 ，则选取 人做领队有：共 种其中分别来自 与 两个年龄段的有：共 种所以分别来自 与 两个年龄段的概率考点：1、频率分布表；2、古典概型.18. 如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点， ，（I）证明：平面 平面 ；（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.【答案】 （1）见解析（2）3+2 .【解析】试题分析：（）由四边形 ABCD 为菱形知 AC BD，由 BE 平面 ABCD 知 AC BE，由线面垂直判定定理知 AC 平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面 平面 ；（）设AB= ，通过解直角
20、三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来，在 AEC 中，用 x 表示 EG，在EBG 中，用 x 表示 EB，根据条件三棱锥 的体积为 求出 x，即可求出三棱锥的侧面积.试题解析：（）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD，因为 BE 平面 ABCD，所以 AC BE，故 AC 平面 BED.又 AC 平面 AEC，所以平面 AEC 平面 BED（）设 AB= ，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120，可得 AG=GC= ,GB=GD= .因为 AE EC，所以在 AEC 中，可得 EG= .由 BE 平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得 BE= .由已知得，三
21、棱锥 E-ACD 的体积 .故 =2从而可得 AE=EC=ED= .所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 .考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力视频19. 已知数列 的前 项和 满足 .（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（）由数列a n的前 n 项和 Sn满足 Sn= ，利用 ，能求出数列a n的通项公式（）推导出 ，由此利用错位相减法能求出数列b n的前 n 项和【详解】解：（）当 时， ；当 时， ，符
22、合上式.综上， .（） .则 ， ， .【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.20. 已知函数 .（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；(II)若当 时， ，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）先求 的定义域，再求 ， ， ，由直线方程的点斜式可求曲线在 处的切线方程为 （）构造新函数 ，对实数
23、 分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I） 的定义域为 .当 时，曲线 在 处的切线方程为（II）当 时， 等价于设 ，则，（i）当 ， 时， ，故 在 上单调递增，因此 ；（ii）当 时，令 得.由 和 得 ，故当 时， ， 在 单调递减，因此 .综上， 的取值范围是【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数 yf（x）的定义域；（2）求导数 yf（x） ；（3）解不等式 f（x）0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式 f（x）0，解集在定义域内的部分为单调递减区间视频21. 已知椭圆 C 的标准方程为： ，该椭圆经过
24、点 P（1， ） ，且离心率为 （）求椭圆的标准方程；（）过椭圆 长轴上一点 S（1，0）作两条互相垂直的弦 AB、CD若弦AB、CD 的中点分别为 M、N，证明：直线 MN 恒过定点【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（）由已知条件推导出 ，e= ，由此能求出椭圆方程（）设直线 AB 的方程为 x=my+s，m0，则直线 CD 的方程为 x= ，联立 ，得 M（ ） ，将 M 的坐标中的 m 用 代换，得 CD 的中点 N（ ） ，从而得到直线 MN 的方程为 x y= ，由此能证明直线 MN 经过定点（ ） 【详解】 （）解：点 P（1， ）在椭圆上， ，又离心率为 ，e= ，a=2c
25、，4a 24b 2=a2，解得 a2=4，b 2=3，椭圆方程为 （）证明：设直线 AB 的方程为 x=my+s，m0，则直线 CD 的方程为 x= ，联立，得（3m 2+4）y 2+6smy+3s212=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，x 1+x2=（my 1+s）（my 2+s）=m 2y1y2+ms（y 1+y2）+s 2= ，由中点坐标公式得 M（ ， ） ，将 M 的坐标中的 m 用 代换，得 CD 的中点N（ ， ）直线 MN 的方程为 x y= ，m1，令 y=0 得：x= ，直线 MN 经过定点（ ） ，当 m=0，1 时，直线 MN 也经过定
26、点（ ） ，综上所述，直线 MN 经过定点（ ） 当 时，过定点 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意22. 在极坐标系中，曲线 C：=2acos（a0） ，l：cos（ ）= ，C 与 l 有且仅有一个公共点（）求 a；（）O 为极点，A，B 为 C 上的两点，且AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值【答案】 （1）1（2）【解析】试题分析（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程
27、，利用直线与圆相切的性质即可得出 a；（II）不妨设 A 的极角为 ，B 的极角为 + ，则|OA|+|OB|=2cos+2cos（+ ）=2cos（+ ） ，利用三角函数的单调性即可得出解：（）曲线 C：=2acos（a0） ，变形 2=2acos，化为 x2+y2=2ax，即（xa）2+y2=a2曲线 C 是以（a，0）为圆心，以 a 为半径的圆；由 l：cos（ ）= ，展开为 ，l 的直角坐标方程为 x+ y3=0由直线 l 与圆 C 相切可得 =a，解得 a=1（）不妨设 A 的极角为 ，B 的极角为 + ，则|OA|+|OB|=2cos+2cos（+ ）=3cos sin=2 cos（+ ） ，当 = 时，|OA|+|OB|取得最大值 2 考点：简单曲线的极坐标方程视频
