1、2013 中考数学压轴题几何与函数问题精选解析（一）例 1 已知 24ABD， ， 90AB， DBC （如图） E是射线 BC上的动点（点 E与点 不重合）， M是线段 E的中点（1）设 x， 的面积为 y，求 关于 x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，求线段 的长；（3）联结 BD，交线段 A于点 N，如果以 AD， ， 为顶点的三角形与 BME 相似，求线段 E的长【思路点拨】（1）取 AB中点 H，联结 M；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。解析（1）取 中点 ，联结 ，M为 DE的中点， E ，1()2BAD又 AB，
2、AB2SH，得0)yx；（2）由已知得2(4)以线段 为直径的圆与以线段 D为直径的圆外切，1E，即21(4)x解得43x，即线段 B的长为 3；（3）由已知，以 AN， ， 为顶点的三角形与 BME 相似，又易证得 DM由此可知，另一对对应角相等有两种情况： AN；ABE当 B时， D ， D，易得 2A得 8BE；当 DM时， ， ABEE又 ， M B，即 2，得22221(4)(4)xxxA解得 1x， 10（舍去）即线段 的长为 2综上所述，所求线段 B的长为 8 或 2BA DME C BA DC备用图例 2（山东青岛）已知：如图（1），在 RtACB 中， 90， 4cmAC，3
3、cmBC，点 P由 B出发沿 A方向向点 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q由 出发沿A方向向点 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为(s)t（ 02t），解答下列问题：（1）当 为何值时， PBC ？（2）设 AQ 的面积为 y（ 2cm），求 y与 t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使线段 Q恰好把 RACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接 PC，并把 沿 翻折，得到四边形 PQC，那么是否存在某一时刻 t，使四边形 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由图（1） 图（2）【思路
4、点拨】（1）设 BP 为 t，则 AQ = 2t，证APQ ABC；（2）过点 P 作PHAC 于 H（3）构建方程模型，求 t；（4）过点 P 作 PMAC 于，PNBC 于 N，若四边形PQP C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应 t 的值解析 （1）在 Rt ABC 中， 52ACB，由题意知： AP = 5 t， AQ = 2t，若 PQ BC，则 APQ ABC， ACQBP， 54tt， 710 （2）过点 P 作 PH AC 于 H APH ABC， BCHA， 35t， tP53，图BA QPCHA Q CPBA Q CPB tttPHAQy 35)3(2121 2 （3
5、）若 PQ 把 ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ )24(3)5(ttt， 解得： 1t若 PQ 把 ABC 面积平分，则 ABCPQS2， 即 253t3 t=3 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 Rt ACB 的周长和面积同时平分（4）过点 P 作 PM AC 于 ， PN BC 于 N，若四边形 PQP C 是菱形，那么 PQ PC PM AC 于 M， QM=CM PN BC 于 N， 易知 PBN ABC ABPC， 54t， 54t， tCQ， 2tt，解得： 910t当 910t时，四边形 PQP C 是菱形 此时 375tPM， 9854tM，在 Rt PMC 中， 95081642P，菱形 PQP C 边长为 950P BA QPC图MN
