1、2011 年全国各地中考试题压轴题精选讲座三函数及图像与几何问题(浙江省宁波滨海学校数学组)【知识纵横】函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。【典型例题】【例 1】 （山东济宁）如图，第一象限内半径为 2 的C 与 轴相切于点yA，作直径 AD，过点 D 作C 的切线 l 交 轴于点 B，P 为直线 l 上一动x点，已知直线 PA 的解析式为： =k +3。y(1)
2、 设点 P 的纵坐标为 p，写出 p 随 k 变化的函数关系式。(2)设C 与 PA 交于点 M，与 AB 交于点 N，则不论动点 P 处于直线 l上（除点 B 以外）的什么位置时，都有AMNABP。请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使AMN 的面积等于 的 k 值？若存在，请求出符合的 k 值；若不存在，请说明理325由。【思路点拨】 （1）将 P的坐标代入 =k +3即可。 （2）要证AMNABP，只要证ABDAMN 即yx可。 （3）根据（2）的结论，由相似三角形AMN 和ABP 的面积比，分点 P在 B点上下方两种情况求解。【例 2】 （湖南怀化）在矩形
3、 AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以 OB，OA 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直xy角坐标系F 是 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合） ，过 F 点的反比例函数 的图象与 AC 边交于点 E(0)kyx学优中考网 （1）求证：AEAO=BFBO；（2）若点 E 的坐标为（2，4） ，求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点 F，使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出此时的 OF 的长：若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）根据反比例函数的性质得出 ，即可得出 AEAO=BFBO。xyk（2）利用 E点坐标首先求出
4、 BF= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。43来源:xyzkw.Com【例 3】 （湖南娄底）在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，且 AD=2，以 CD 为直径作O 1，交BC 于点 E，过点 E 作 EFAB 于 F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知 A，B 两点的坐标分别为 A（0，2 错误！未找到引用源。 ） ，B（2，0） （1）求 C，D 两点的坐标（2）求证：EF 为O 1 的切线（3）探究：如图，线段 CD 上是否存在点 P，使得线段 PC 的长度与 P 点到 轴的距离相等？如y果存在，请找出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）连接 DE。 （2）
5、连接 O1E，可证 O1EAB，再由 EFAB，证明 O1EEF 即可。（3）过 P作 PM 轴于 M，作 PN 轴于 N，再利用锐角三角函数定义求解。yx【例 4】 （浙江金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0） ，以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上一动点，连接 OB、 AB，并延长 AB 至点 D，使 DB=AB，过点D 作 轴垂线，分别交 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连接 CFxx（1）当AOB=30 时，求弧 AB 的长度；（2）当 DE=8 时，求线段 EF 的长；（3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C 、F 为顶
6、点的三角形与AOB 相似，若存在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）连接 BC。 （2）连接 OD，证明OEFDEA，再利用相似比求 EF。（3）当以点 E、C、F 为顶点的三角形与AOB 相似时，分为当交点 E在 O，C 之间时，当交点 E在点 C的右侧时，当交点 E在点 O的左侧时三种情况，分别求出 E点坐标。【学力训练】1、 （福建泉州）如图 1，在第一象限内，直线 y=mx 与过点 B（0，1）且平行于 x 轴的直线 l 相交于点 A，半径为 r 的Q 与直线 y=mx、x 轴分别相切于点 T、E，且与直线 l 分别交于不同的学优中考网 M、N 两点（1
7、）当点 A 的坐标为（ ，p）时，3填空：p=_ ，m= _，AOE= _如图 2，连接 QT、QE，QE 交 MN 于点 F，当 r=2 时，试说明：以 T、M、E、N 为顶点的四边形是等腰梯形； （2）在图 1 中，连接 EQ 并延长交 Q 于点 D，试探索：对 m、r 的不同取值，经过 M、D、N 三点的抛物线 y=ax2+bx+c，a 的值会变化吗？若不变，求出 a 的值；若变化请说明理由。2、 （浙江湖州）已知：在矩形 中， ， 分别以 所在直线为AOBC43OABOA，轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 是边 上的一个动点（不与 重合） ，过xy FC，点的反比例函数 的图象与
8、 边交于点 F(0)kxE（1）求证： 与 的面积相等；AOE BF（2）记 ，求当 为何值时， 有最大值，最大值为多少？FCS kS（3）请探索：是否存在这样的点 ，使得将 沿 对折后， 点恰好落在 上？若存在，CEF COB求出点 的坐标；若不存在，请说明理由3、 （浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点 ，点 在第一象限且 为(0)2OA， ， ， BOAB正三角形， 的外接圆交 轴的正半轴于点 ，过点 的圆的切线交 轴于点 OAB yCxD（1）求 两点的坐标；C，（2）求直线 的函数解析式；D（3）设 分别是线段 上的两个动点，且EF， ， EF平分四边形 的周长试探究： 的最大面积
9、？A来源:xyzkw.Com4、 （08 杭州市） 在直角梯形 中， ，高 （如图 1） 。动点 同时ABCD906CDcm,PQ学优中考网 从点 出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，两点运动时的速度BP,BADCQBC都是 。而当点 到达点 时，点 正好到达点 。设 同时从点 出发，经过的时间为1/cms ,P时， 的面积为 （如图 2） 。分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 在tQ2ycm,ty P边上从 到 运动时， 与 的函数图象是图 3 中的线段 。ADt MN（1）分别求出梯形中 的长度；,BA（2）写出图 3 中 两点的坐标；MN（3）分别写出点 在 边
10、上和 边上运动时， 与 的函数关系式（注明自变量的取值范围） ，PDCyt并在图 3 中补全整个运动中 关于 的函数关系的大致图象。yt函数及图像与几何问题的参考答案【典型例题】【例 1】 （山东济宁）解：（1）y 轴和直线 l 都是 C 的切线，OAAD BDAD 。又 OAOB， AOB=OAD=ADB=90 。四边形 OADB 是矩形。C 的半径为 2，AD=OB=4 。点 P 在直线 l 上，点 P 的坐标为（4，p） 。又点 P 也在直线 AP 上，p=4k+3。（2）连接 DN。AD 是C 的直径， AND=90 。 AND=90DAN ，ABD=90 DAN，AND=ABD 。
11、又ADN=AMN，ABD=AMN。MAN=BAP AMNABP 。当点 P 在 B 点上方时，AP 2=AD2PD 2 = AD2(PBBD) 2 =42(4k33) 2 =16(k21)，或 AP2=AD2PD 2 = AD2(BD PB) 2 =42(34k3) 2 =16(k21)，SABP = PBAD= (4k3)4=2(4k3)，1 。2ABPAMN2256(43)()3151Skk整理得 k24k2=0 ， 解得 k1 =2 ， k2=2 。6当点 P 在 B 点下方时，AP 2=AD2PD 2 =42(34k3) 2 =16(k21) ，学优中考网 SABP = PBAD= (
12、4k3)4=2(4k3) ，来源:学优中考网12 。ABPAMN2256(43)15Sk整理得 k2+1=（4k3） ， 解得 k=2。综合以上所得，当 k=2 或 k=2 时， AMN 的面积等于 。6325（3）如果设折叠之后 C 点在 OB 上的对称点为 C，连接 CE、CF，过 E 作 EG 垂直于 OB 于点 G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：设 BC= ，BF= ，则 CF=CF= ab4b点的坐标 F（6， ） ，E （1.5 ，4） 。EC=EC= ，1.5在 RtCBF 中， 。22()abRtEGCRtCBF，（ ）：（ ）=4： =（ ）： 。61.54ba61
13、.5ba解得： ，81039，F 点的坐标为（6， ） 。OF= 。10927549【例 3】 （湖南娄底）解：（1）连接 DE，CD 是O 1 的直径，DEBC。四边形 ADEO 为矩形在矩形 OMPN 中，ON=PM ，设 ON= ，则 PM=PC= ，CN=4 ，xxx在 Rt ABO 中，tanABO= 错误！未找到引用源。 ，AO23BABO=60，PCN=ABO=60。在 Rt PCN 中，cosPCN= ，即 错误！未找到引用源。 ， 。CN1P2412x83xPN=CNtanPCN= 。843满足条件的 P 点的坐标为（ ） 。 ,【例 4】 （浙江金华、丽水）解：（1）连接
14、BC，A（ 10，0） ， OA=10，CA=5。AOB=30，ACB=2 AOB=60。学优中考网 弧 AB 的长= 。605183（2）连接 OD，OA 是 C 直径，OBA=90。又 AB=BD， OB 是 AD 的垂直平分线。OD=OA=10。在 RtODE 中，OE= 。来源:学优中考网22ODE1086AE=AOOE=106=4，由AOB=ADE=90OAB，OEF= DEA，得OEFDEA。 ，即 ， EF=3。AEFDO4E86（3）设 OE= ，x当交点 E 在 O，C 之间时，由以点 E、C、F 为顶点的三角形与AOB 相似，有ECF=BOA 或ECF= OAB。当ECF=
15、 BOA 时，此时OCF 为等腰三角形，点 E 为 OC 中点，即OE= ，E 1（ ，0） 。52当ECF= OAB 时，有 CE=5 ，AE=10 ，xxCFAB，有 CF= AB。2ECFEAD， ，即 ，解得， 。CEFAD5104x103xE2（ ，0） 。13当交点 E 在点 C 的右侧时，ECFBOA，要使 ECF 与BAO 相似，只能使 ECF=BAO。连接 BE，BE 为 RtADE 斜边上的中线，BE=AB=BD， BEA=BAO。BEA= ECF。CFBE。 。CFOBEECF=BAO， FEC=DEA=900，CEF AED， ，CFEAD而 AD=2BE， 。即 ，C
16、FE2BA521x解得 1577 ,44xx 0，舍去， E3（ ，0） 。2 51 0，舍去， 2517 4x又 点 E 在 轴负半轴上，E 4（ ，0） 。517 综上所述：存在以点 E、C、 F 为顶点的三角形与 AOB 相似，此时点 E 坐标为：E1（ ，0） 、E 2（ ，0） 、 E3（ ，0） 、E 4（ ，0） 。515174517 【学力训练】1、 （福建泉州）学优中考网 解：（1） 1， ，60。3（2）如图，连接 TM，ME，EN，QN，QM ，OE 和 OP 是Q 的切线，QEx 轴，QTOT ，即QTA=90。而 lx 轴，QEMN。 MF=NF。又r=2，EF=1，
17、QF=2 1=1。四边形 QNEM 为平行四边形，即QNME。EN=MQ=EQ=QN，即QEN 为等边三角 形。NQE=60，QNF=30 。在四边形 OEQT 中，QTO= QEO=90，TOE=60，TQE=360-9090 60=120。TQE+NQE=120+60=180。T、Q、N 三点共线，即 TN 为直径。TMN=90。TNME，MTN=60= TNE。以 T、M、E、N 为顶点的四边形是等腰梯形。当 y=1 时，a（x-h） 2+k=1，解得 x1= ，x 2= 。kh a1kh aMN=2 。MF= MN= 。1k a 。 。a=1。21k 1aka对 m、r 的不同取值，经
18、过 M、D 、N 三点的抛物线 y=ax2+bx+c，a 的值会变化，a=1。2、 （浙江湖州）（1）证明：设 ， ， 与 的面积分别为 ， ，由题意得1()Exy， 2()Fxy， AOE FB 1S2， 1kyx2， 11S221Sxyk，即 与 的面积相等2AOE FB（3）解：设存在这样的点 ，将 沿 对折后， 点恰好落在 边上的 点，过点 作FCE FCOBME，垂足为 ENOB由题意得： ， ， ，3A143Mk134k， 90MBMNF又 ，90ENF学优中考网 ENMBF ， ，14323kk94B， ，解得 22MF2291344kk18143k存在符合条件的点 ，它的坐标为 2143，设直线 的函数解析式为 ，CD(0)ykxb则 ，解得 230bk32b直线 的函数解析式为 CD3yx点 分别在线段 上，EF， ABD，解得 023tt 132t 满足 ，96t12t 的最大面积为 AEF 7384、 （杭州市）（1）设动点出发 秒后，点 到达点 且点 正好到达点 时， ，则tPAQCBAt（秒）630,102BPQSt则 ；1,2AcmDc（2）可得坐标为 10,3,0MN（3）当点 在 上时， ；PB23sin012ytBt当点 在 上时，DC108598图象略来源:学优中考网（图 1）（图 ）（图 ）（图 ）学优中考网 ：http:/
