1、 / 1212002 年-2012 年上海市中考数学试题分类解析汇编专题 10：圆1、选择题1.（上海市 2002 年 3 分）如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能是【 】（A）1 条； （B）2 条； （C）3 条； （D）4 条【答案】A，B，C。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据圆与圆的五种位置关系，圆与圆有公共点时，可能是内切，外切，相交；然后根据三种情况的公切线条数，分别判断：两圆内切时只有 1 条公切线，两圆外切时，有3 条公切线，两圆相交时有 2 条公切线，不可能有 4 条。故选 A，B，C。2.（上海市 2003 年 3 分） 下列命题中正确的是【 】（
2、A）三点确定一个圆 （B）两个等圆不可能内切 （C）一个三角形有且只有一个内切圆 （D）一个圆有且只有一个外切三角形 【答案】B，C。【考点】确定圆的条件，圆与圆的位置关系，三角形的内切圆与内心。【分析】根据圆的相关知识分析每个选项，然后作出判断：A、在同一直线上的三点不可以确定一个圆，故错误；B、两个等圆内切，圆心距为零，故两个等圆不可能内切，正确；C、一个三角形有且只有一个内切圆，正确；来源:xYzkW.ComD、一个外切圆有无数个外切三角形，故错误。故选 B，C 。3.（上海市 2004 年 3 分）下列命题中，不正确的是【 】A. 一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外；B.
3、 一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；C. 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；D. 圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点。【答案】B。【考点】命题与定理，圆的性质。【分析】根据圆的有关性质即可作出判断：半径等于圆心到圆的距离，如果这个点圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外，A 正确；一条直线垂直于圆的半径，这条直线可能是圆的割线，B 不正确；两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆相切，有三条公切线， C 正确；半径等于圆心到圆的距离，圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，则这条直线一定经过园内，与圆有两个交点，D 正确。故选 B
4、。4.（上海市 2007 年 4 分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是【 】A第块 B第块C第块 D第块【答案】B。来源:学优中考网 【考点】确定圆的条件。【分析】要确定圆的大小需知道其半径根据垂径定理知第块可确定半径的大小。第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，从而可得到半径的长。故选 B。5.（上海市 2008 年组 4 分）如图，从圆 外一点 引圆 的两条切线 ，切点OPPAB，分别为 如果 ， ，那么弦 的长是【 】AB， 60P8A来源:xYzkW.
5、ComA4 B8 C D433【答案】B。【考点】切线的性质，等边三角形和判定和性质。【分析】 是圆 的两条切线， 。P， O=PAB又 ， 是等边三角形。60AB又 ， 。故选 B。8=6.（上海市 2010 年 4 分）已知圆 O1、圆 O2 的半径不相等，圆 O1 的半径长为 3，若圆 O2 上的点 A 满足 AO1 = 3，则圆 O1 与圆 O2 的位置关系是【 】/ 123A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含【答案】A。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论：当两圆外切时，切点 A 能满足 AO1=3，当两圆相交时，交点 A 能
6、满足 AO1=3，当两圆内切时，切点 A 能满足 AO1=3，所以，两圆相交或相切。故选 A。7.（上海市 2012 年 4 分）如果两圆的半径长分别为 6 和 2，圆心距为 3，那么这两个圆的位置关系是（ ）A 外离 B 相切 C 相交 D内含【答案】D。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】解：两个圆的半径分别为 6 和 2，圆心距为 3，又 62=4，43，这两个圆的位置关系是内含故选：D二、填空题1. （上海市 2002 年 2 分）两个以点 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切，如果 AB 的长为 24，大圆的半径 OA 为 13，那么小圆的半径为 【答案】5。【考点】切线的
7、性质，勾股定理，垂径定理。【分析】连接过切点的半径 OC，根据切线的性质定理和垂径定理得半弦 AC 是 12，再根据勾股定理得小圆的半径 OC 是 5。2.（上海市 2003 年 2 分）已知圆 O 的弦 AB8，相应的弦心距 OC3，那么圆 O 的半径等于 。【答案】5。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接圆心和弦的一端，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形即可求出O的半径：如图，连接 OA。OCAB ，AC=BC=4。在 Rt OAC 中，OC=3 ，AC=4，由勾股定理得： ，2OAC5即O 的半径为 5。3.（上海市 2003 年 2 分）矩形 ABCD 中，AB5，BC12。如
8、果分别以 A、C 为圆心的两圆相切，点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，那么圆 A 的半径 r 的取值范围是 。【答案】18r25 或 1r8。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】当A 和C 内切时，圆心距等于两圆半径之差，则 r 的取值范围是18r25； 来源:学优中考网 xYzKw当A 和C 外切时，圆心距等于两圆半径之和，则 r 的取值范围是 1r 8。所以半径 r 的取值范围是 18 r25 或 1r8。4.（上海市 2005 年 3 分）如果半径分别为 2 和 3 的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是 【答案】5。【考点】两圆的位置关系。来源:学优中考网 xYzKw【分析】根据
9、两圆的位置关系的性质：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。这两圆的位置关系是外切，这两个圆的圆心距 d=2+3=5。/ 1255.（上海市 2006 年 3 分）已知圆 O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 2，过点 P 引圆 O的切线，那么切线长是 .【答案】 。【考点】切线的性质，勾股定理。【分析】由圆切线的性质可知 OAPA，再根据勾股定理即可求得 PA 的长：如图，PA 是O 的切线，连接 OA，OAPA，O
10、P=2，OA=1， 。22PA136.（上海市 2007 年 3 分）如果两个圆的一条外公切线长等于 5，另一条外公切线长等于，那么23a 【答案】1。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据圆的轴对称性，知同一个圆的两条外公切线长相等，可列方程求解：两个圆的外公切线长相等， ，解得 。23=5a1a7.（上海市 2008 年 4 分）在 中， ， （如图）ABC 3cos5B如果圆 的半径为 ，且经过点 ，那么线段 的长等于 O10， AO【答案】3 或 5。【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质，弦径定理，勾股定理。【分析】如图，过点 作 交 于点 ，根据锐角三角函数，等腰三角形的性ADBC
11、D质和弦径定理，由 ， 得 。由勾股定理，得 。53cos3C4AD在 中， ，由勾股定理，得 。tBOR , 10B1O当点 在 上方，线段 ；C3ADO当点 在 下方，线段 。OBC5AOD8.（上海市 2009 年 4 分）在圆 中，弦 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半径B 来源:xYzKw.ComA【答案】5。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】作出图象，先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求出：作 ，垂足为 ，可得： =4， ，OCABOC132AB根据勾股定理可得： 。2459.（上海市 2011 年 4 分）如图，AB、AC 都是圆 O 的弦，OMAB，ON AC，垂
12、足分别为 M、N，如果 MN3，那么 BC 【答案】6。【考点】垂径定理，三角形中位线定理。【分析】由 AB、AC 都是圆 O 的弦，OM AB，ONAC，根据垂径定理可知 M、N 为AB、AC 的中点，线段 MN 为ABC 的中位线，根据中位线定理可知 BC2MN6。三、解答题来源:学优中考网1.（上海市 2002 年 10 分）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，弦CDAB，直线 CM、DN 分别切半圆于点 C、D，且分别和直线 AB相交于点 M、N（1）求证：MONO；（2）设M30 ，求证：NM4CD【答案】证明：连结 OC、OD。（1）OCOD，OCDODC。CDAB，OCDCOM
13、 ，ODCDON。COMDON。 CM、DN 分别切半圆 O 于点 C、D，OCM ODN90。OCMODN（ASA ）。 OMON。（2）由（1）OCMODN 可得MN。 M30，N30。/ 127OM2OC，ON2OD，COMDON60。COD60 。 COD 是等边三角形，即 CDOCOD。MNOMON2OC2OD4CD。【考点】圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含 30 度角直角三角形的性质。【分析】（1）连接 CO、DO，则有 OC=OD，且 OCCM，OD DN ，易证MCONDO，故 MO=NO。（2）先证OCD 为等边三角形，CD=OC，
14、RtMCO 中， OC=OA，M=30，故MA=AO=OC，同理可得 NB=OB=OC，故 MN=4CD。2.（上海市 2004 年 10 分）在ABC 中， ，圆 A 的半BACBC902，径为 1，如图所示，若点 O 在 BC 边上运动（与点 B、C 不重合），设 ，AOCOx的面积为 。y（1）求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；x（2）以点 O 为圆心，BO 长为半径作圆 O，求当圆 O 与圆 A 相切时，AOC 的面积。【答案】解：（1）在 ，RtABC中 ， ABC902，。284BCA ， ，且 边上的高为 2。OxxO 。1()2CS 关于 的函数解析式为 。yx4(0
15、)yx（2）如图，过点 A 作 ADBC 于点 D，当点 O 与点 D 重合时，圆 O 与圆 A 相交，不合题意；当点 O 与点 D 不重合时，在 中，RtA。2224|48AODx圆 A 的半径为 1，圆 O 的半径为 ，x当圆 A 与圆 O 外切时， ，解得： 。()1482 x76此时AOC 的面积 。y476当圆 A 与圆 O 内切时， ，解得 。()xx2x2此时AOC 的面积 。y1当圆 A 与圆 O 相切时，AOC 的面积为 或 。761【考点】勾股定理，建立函数关系式，两圆相切的性质。【分析】（1）用 表示出 ，即可建立 关于 的函数解析式。xCyx（2）根据两圆相切的性质，分
16、两圆外切和内切即可。3.（上海市 2006 年 10 分）本市新建的滴水湖是圆形人工湖为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 ， ， 三根木柱，使得 ， 之间的距离与 ， 之ABABAC间的距离相等，并测得 长为 米， 到 的距离为 米，如图所示请你C240C5帮他们求出滴水湖的半径。【答案】解：设圆心为点 ，连结 ， ， 交线段 于点 OOD ， 。 ，且 。ABAB 120BC由题意， ，设 米， 5Dx在 中， ，即 ，RtBO 22BD2510x 。14.x答：滴水湖的半径为 米。14.5【考点】弦径定理，勾股定理。【分析】由已知条件，根据弦径定理和勾股定理即可求出滴水湖的半径。4.（
17、上海市 2006 年 14 分）已知点 在线段 上，点 在线段 延PABOAB长线上以点 为圆心， 为半径作圆，点 是圆 上的一点OC（1）如图，如果 ， 求证：2AB（4 分）；C / 129（2）如果 （ 是常数，且 ）， ， 是 ， 的比例中项当APm1BPOAB点 在圆 上运动时，求 的值（结果用含 的式子表示）（7 分）；CO:Cm（3）在（2）的条件下，讨论以 为半径的圆 和以 为半径的圆 的位置关系，并C写出相应 的取值范围（3 分）。【答案】解：（1）证明： ， 。2APBOP2AO。2APOB ， 。OC ， 。AB CAB （2）设 ，则 ， 。Px1xxm 是 ， 的比例
18、中项， ，得 ，即 。 21OP。1OBm 是 ， 的比例中项，即 ，OPABAB ， 。CO设圆 与线段 的延长线相交于点 ，当点 与点 ，点QCP不重合时，Q ， 。ACB AB 即 ，OOPm当点 与点 或点 重合时，可得 。PQC当点 在圆 上运动时， 。C:AB（3）由（2）得， ，且 ，1，圆 和圆 的圆心距 。1ACBmBdC显然 ，圆 和圆 的位置关系只可能相交、内切或1CB内含。 来源:学优中考网 xYzkw当圆 与圆 相交时， ，得B11mCBC，02m ， 。12m当圆 与圆 内切时， ，得 。BC1BC2m当圆 与圆 内含时， ，得 。【考点】圆的性质，相似三角形的判定
19、和性质，比例中项的性质，两圆的位置关系。【分析】（1）由已知，可得 且 ，根据三角形的判定定理得COAB OC证。 （2）由 是 ， 的比例中项，可求出 且 ，PABCOB 从而 ，从而 。CAOB :ABm（3）根据两圆的位置关系的判定，分别求出圆 与圆 相交、内切或内含的情况。5.（上海市 2009 年 12 分）在直角坐标平面内， 为原点，点 的坐标为 ，点 的坐OA(10)， C标为 ，直线 轴（如图所示）点 与点 关于原点对称，直线 （(04)， CMx Byxb为常数）经过点 ，且与直线 相交于点 ，联结 bBD（1）求 的值和点 的坐标；D（2）设点 在 轴的正半轴上，若 是等腰
20、三角形，求点 的坐标；PxPO P（3）在（2）的条件下，如果以 为半径的圆 与圆 外切，求圆 的半径O【答案】解：（1）点 的坐标为 ，点 与点 关于原点对称，点 （1，0）。A(10)， BAB 点 在直线 上，将点 （yxb1，0），代入 得到 。yxb=1直线 ： 。BDyx将 代入 ，得 。 点4=3（ 3， 4）。D（2）点 （3，4）， 。5O点 在 轴的正半轴上， 是等腰三角形，PxPD/ 1211 是等腰三角形的情况有 、 和 。POD OPDPOD情况 1： ，则点 （5，0）。情况 2： ，由点 （3，4）得 ， 则点236（6， 0）。P情况 3： ， 设 ，由 D（3
21、，4）POD,0Px根据勾股定理得 ，解得 。2=3x25=6x则点 。25 06，综上所述，若 是等腰三角形，点 的坐标为（ 5，0），POD P（6，0）， 。25 06，（3）设圆 的半径为 ，r情况 1： 时，由 两点坐标得，=5OPDP，。2=54=PD以 为半径的圆 与圆 外切，圆心距 。5=2OPr。2r情况 2： 时， 由 两点坐标得，5ODP6D，。2=634=5PD以 为半径的圆 与圆 外切，圆心距 。=65OPr 。 来源:学优中考网1r情况 3： 时，不存在圆 ，使以 为半径的圆 与圆25=6PODD外切。O【考点】关于原点对称的点的性质，直线上点的坐标与方程的关系，等
22、腰三角形的性质，勾股定理，两圆外切的性质。【分析】（1）由关于原点对称的点的性质求出点 的坐标，根据点在直线上，点的坐标B满足方程的关系求出 的值和点 的坐标。来源:xYzkW.CombD（2）根据等腰三角形的性质，分 、 和 三种情况讨OPDPOD论即可。（3）根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和的性质，结合（2）的三种情况分别讨论即可。6.（上海市 2011 年 10 分）如图，点 C、D 分别在扇形 AOB 的半径OA、OB 的延长线上，且 OA3，AC2，CD 平行于 AB，并与弧 AB 相交于点 M、N（1）求线段 OD 的长；（2）若 ，求弦 MN 的长 1tanC2【答案】解：（
23、1）CDAB， OAB OCD。OABD又OA=OB=3，AC=2， ，OD=5。 32OD（2）过 O 作 OECD，连接 OM，则 ME= MN，1tanC= ，设 OE= ，则 CE=2 。12xx在 Rt OEC 中， OC2=OE2+CE2，即 52= 2+（2 ） 2，解得 = 。x5在 Rt OME 中，OM 2=OE2+ME2，即 32=（ ） 2+ME2，解得 ME=2。MN=4。【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）根据 CDAB 可知，OABOCD ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 OD 的长。（2）过 O 作 OECD，连接 OM，由垂径定理可知 ME= MN，再根据 tanC= 12可求出 OE 的长，利用勾股定理即可求出 ME 的长，从而求出答案。1/ 1213
