1、题型四 几何图形的折叠与动点问题针对演练1. 如图,在 ABC 中,ACB90,A30 ,AB6 ,点 E 是 AB 上的动点,点 F在 BC 上,沿 EF 将B 翻折,使顶点 B 落在边 AC 上的点 B处,则 AE 的最大值为_第 1 题图 第 2 题图2. 如图,在平行四边形 ABCD 中,BCD30,BC4,CD3 ,M 是 AD 边的中3点,N 是 AB 边上的一动点,将 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN,连接 AC,则AC 长度的最小值是 _3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB3,AD 1,点 P 在线段 AB 上运动,设 APx ,现将纸片折叠,使点 D 与点 P 重合
2、,得折痕 EF(点 E、F 为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原 .那么使得四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围是_ 来源:gkstk.Com第 3 题图 第 4 题图4. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,ACB 90 ,AC3 ,点 P 为线段 AC 上一2个动点,过点 P 作 PDAC 交 AB 于点 D,将APD 沿直线 PD 折叠,点 A 的对应点为E,连接 DE, BE 当DEB 的两直角边之比为 时,AP 的长为_来源:gkstk.Com125. (2015 洛阳模拟) 如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中, M 为 BC 的中点,E、F 分别为 AB、CD 边上的
3、动点在点 E、F 运动的过程中始终保持EMF 为直角三角形,其中EMF 90. 则直角三角形的斜边 EF 的取值范围是_来源:gkstk.Com第 5 题图 第 6 题图6. 如图,矩形 ABCD 中,AB8,AD10,E 是 CD 上的点,将ADE 沿折痕 AE 折叠,使点 D 落在 BC 边上的点 F 处,点 P 是线段 CB 延长线上的动点,连接 PA,若PAF是等腰三角形,则 PB 的长为_来源:学优高考网 gkstk7. 如图,正ABC 中,AB 6,BD AC 于点 D,点 E、F 分别是 BC、DC 上的动点,沿 EF 所在直线折叠CEF ,使点 C 落在 BD 上的点 C处,当
4、 BEC是直角三角形时,BC的值为_第 7 题图 第 8 题图8. (2015 商丘模拟)如图,在 RtABC 中,ACB90,AC4,BC 3,点 E 是 AB边上一动点,过点 E 作 DE AB 交 AC 边于点 D,将A 沿直线 DE 翻折,点 A 落在线段AB 上的点 F 处,当 BCF 为等腰三角形时,AE 的长为_9. (2015 绥化 )在矩形纸片 ABCD 中,AB4,BC 3,点 P 在 AB 上,若将DAP 沿DP 折叠,使点 A 落在矩形对角线上的点 A处,则 AP 的长为_ 来源:gkstk.Com10. (2015 随州 )在ABCD 中, ABBC ,已知B30 ,
5、AB2 ,将ABC 沿 AC 翻3折至ABC,使点 B落在ABCD 所在的平面内,连接 BD.若ABD 是直角三角形,则 BC的长为_11. 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,A 60,点 P 为射线 AB 上一个动点,过点 P 作 PEAB 交射线 AD 于点 E,将AEP 沿直线 PE 折叠,点 A 的对应点为 F,连接FD、FC ,若FDC 为直角三角形时,AP 的长为_来源:gkstk.Com第 11 题图 第 12 题图 12. 如图,矩形 ABCD,AB 2,BC4,F 为线段 BC 上的一动点,且不和 B、C 重合,连接 FA,过点 F 作 FEFA 交 CD 所在直线于
6、 E,将FEC 沿 FE 翻折到FEG 位置,使点 G 落到 AD 上,则 BF_ 13. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O, AC2AB4,E 是 AD 边的中点,点 P 是 CD 边上一动点,则OEP 的周长最小值是_ 第 13 题图14. 如图,在正方形 ABCD 中,AB ,点 P 为边 AB 上一个动点(不与 A、B 重合),2过 A、P 在正方形内部作正方形 APEF,交边 AD 于 F 点,连接 DE、EC ,当CDE 为等腰三角形时,AP _第 14 题图 第 15 题图15. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,BC40 cm ,AB 16 cm, M
7、点为 BC 边上的中点,点G 沿 BAD 运动 (不含端点),将矩形纸片沿直线 MG 翻折,使得点 B 落在 AD 边上,则折痕长度为_【答案】针对演练1. 4 【解析】沿 EF 将EBF 翻折,使顶点 B 落在 AC 上, EB EB,当 BE 最小时,即 EB最小,此时 AE 最大,即 EBAC,C 90,EBBC ,A30 ,AB 6,EB AE,BE AE,AE AE6, AE4.12 12 122. 5 【解析】如解图,连接 MC;过点 M 作 MECD,交 CD 的延长线于点 E;四边形 ABCD 为平行四边形,ADBC,ADBC4,点 M 为 AD 的中点,BCD30,DM MA
8、2,MDE BCD30,ME DM 1,DE ,CECDDE412 3,由勾股定理得:CM 2ME 2CE 2,CM7;由翻折变换的性质得:MAMA2,3显然,当折线 MAC 与线段 MC 重合时,线段 AC 的长度最短,此时 AC725.来源: 学优高考网第 2 题解图 第 3 题解图3. 1x3 【 解析】四边形 EPFD 为菱形,DE EPPFDF ,如解图所示,当点 E 与点 A 重合时,AP 的值最小,AP AD 1;如解图 所示,当点 P 与点 B 重合时,AP 的值最大, APAB3, 当四边形 EPFD 为菱形时, x 的取值范围是 1x3.4. 或 2 【解析】AC3 ,AB
9、6,根据题意分两种情况考虑: (1)当 2 2 2DEDB时,如解图,ADDE, ,即 ,AD2 ,在等腰直角三角形 ADP 中,12 DEDB 12 ADDB 12AP ;(2) 当 时,如解图 ,ADDE , ,即 ,AD4,在等腰直2DBDE 12 DBDE 12 DBAD 12角三角形 ADP 中,AP 2 .2第 4 题解图5. 4EF5 【解析】点 M 为 BC 的中点,正方形 ABCD 的边长为4,BMCM 2,EMF 90,BMECMF 90,CFMCMF90,BME CFM,又B C90,BME CFM, ,BE CFBMCM224,CF 最大时为 4,此时 BE1,BE 最
10、BMCF BECM大时为 4,此时 CF1,0|CFBE |3,过点 E 作 EGCD 于点 G,则 EGBC4,在RtEFG 中,EF 2EG 2FG 216(CF BE) 2,16EF 2169,4EF5.第 5 题解图 第 7 题解图6. 6 或 4 或 【解析】四边形 ABCD 是矩形,由折叠对称性得:73AF AD10, FEDE.在 RtABF 中,BF 6,FC 4,要使PAF 为等腰102 82三角形,分三种情形讨论:(1)若 APAF,ABPF ,PBBF6;(2)若 PFAF ,则PB 610,解得 PB4;(3)若 APPF ,在 RtAPB 中, AP2PB 2AB 2
11、,即(PB6)2PB 28 2,解得 PB ,综上得 PB 为 6 或 4 或 .来源 :学优高考网 gkstk73 737. 6 6 或 2 【解析】ABC 是等边三角形,BD AC 于点 D,CBD30.3 3C EF 是由CEF 折叠得到,CECE,当BEC 90,如解图所示,设CE x,在 RtBEC中,BC2x,BE6x,由勾股定理得 CB2C E2BE 2,即4x2x 2(6x )2,解得 x3 3,BC6 6;当BCE90,如解图3 3,BE2C E,C ECE,3C EBC 6,解得 CE2.在 RtBEC,BC CE23.来源:gkstk.Com38. 1 或 或 【解析】本
12、题考查三角形的54 710折叠,等腰三角形的性质求线段的长在 RtABC 中,AC4,BC3,由勾股定理得 AB 5.由折叠性质得 AEEF,在BCF 中,当 BFBC 时,有AC2 BC2BF ABAF AB 2AE3,则 AE1; 当 BFCF 时,过 BC 中点作 AC 的平行线,交AB 于点 F,此时 F 点满足题意,且 AFBF ,则 AE ; 当 CFCB 时,如解图,过52 54C 作 CNAB 于点 N.由等面积法得 CN .由 BCNBAC 得 ,则ACBCAB 125 BNBC BCABBN .由等腰三角形三线合一性质得 FNBN ,则 AE AF (ABBF) (5 )9
13、5 95 12 12 12 185.710第 8 题解图 第 9 题解图 第 10 题解图9. 或 【解析】点 A 落在矩形对角线 BD 上,如解图32 94,AB4, BC3,BD5,根据折叠的性质,ADA D3,AP A P,APA D90,BA2,设 APx,则BP 4x,BP 2BA 2PA 2,(4 x) 2x 22 2,解得:x ,AP ;点 A 落在32 32矩形对角线 AC 上,如解图 ,根据折叠的性质可知 DPAC,DAPABC, ,AP .ADAP ABBC ADBCAB 334 9410. 4 或 6 【解析】如解图,由于 ABBC ,若ABD 是直角三角形,则ADB0.
14、由折叠的性质可得ABC BCDA,AFBCFD ,ABCD,AFB CFD,FB FD,AFCF ,FBDFD B.若ABD 是直角三角形,分两种情况,当B AD90时,ABF 30,ABAB2 ,AF 32,B F4,ADBC6;当ABD 90时,ABF 30, F B D60,AD B 60,AB2 ,AF 2,B F4,ADBCABsin 604.311. 或 【解析】根据题意可得FDC 为直角三角形时分三种情况考虑:(1) 如解图12 32,当FDC90时,DFAB,在AFD 中,A60 ,AD2,AF1,AP ;(2) 如12解图,当DCF90时, CFAB,在CFB 中,CBF60
15、,BC2,BF 1,AF 3,AP ;(3)当DFC90,不存在综上可知 AP 的值为 或 .32 12 32第 11 题解图 第 12 题解图 第 13 题解图12. 或 2 【解析】作 FHAD 于 H,如解图,设 BFx,则23CF4x, FEFA,2390,而1290,13,Rt ABFRtFCE, ,即 ,CE ,FEC 沿 FE 翻折到ABFC BFCE 24 x xCE x(4 x)2FEG 位置,使点 G 落到 AD 上,EG CE ,FG FC4x,FGE C90,DEDCCE2x(4 x)2,5690,而 4690 ,5 4,Rt FHG Rt GDE ,x(4 x)2 ,
16、即 , GDx,在 RtDGE 中,DE 2DG 2GE 2,2FHGD FGGE 2GD 4 xx(4 x)22x 2 2,整理得 3x28x 40,解得 x1 ,x 22,即 BF 的长为 或x(4 x)2 x(4 x)2 23 232.13. 1 【解析】2AB4,AB2,四边形 ABCD 是矩形,ADC90 ,13CDAB2, AOCO , 在 RtACD 中,AC4,CD2,根据勾股定理,得AD 2 , E 是 AD 的中点,AEDE ,又AOCO,OE 是ACD42 22 3 3的中位线,OE CD1, OECD,OED90,OPE 的周长12OE OPEP1OPEP,求OPE 的
17、周长的最小值就是求 OPEP 的最小值如解图,延长 ED 至 E,使 DEDE,连接 OE,交 CD 于点 P,此时OPEP OP E POE,即 OE为 OPEP 的最小值,在 RtOEE中,OE1, EE2ED2 ,根据勾股定理,得 OE ,即 OPEP 的最3 12 (23)2 13小值为 ,OPE 的周长的最小值为 1 .13 1314. 1 或 【解析】如解图,延长 FE 交 BC 于 G,四边形 ABCD 是正方形,222AB BCCDDA,A BBCDCDA90, 四边形 APEF 是正方形, AP PEEF FA , AAPEPEFEFA90.当 DCCE 时,A B EFA9
18、0, 四边形 ABGF 是矩形,同理四边形 PBGE 是矩形,FG AB,EGPB,FGFEBCBG ,即 CGEG, ECG 为等腰直角三角形,在RtECG 中, EGCE cos45 1,APAB PBABEG 1;当222 2DECE 时,在 RtDFE 和 RtCGE 中,ADAFBCBG,即 DFCG,RtDFERt CGE, FE EG AP AB ;当 DEDC 时,在 RtDFE 中,设正方形12 22APEF 长为 x,则 FEx ,DF x,DE ,DF 2FE 2DE 2,即 x2( x) 2( )2 2 2 22,解得 x10, x2 ,点 P 不与 A,B 重合,所以
19、此种情况不存在,故舍去来源:学2优高考网 gkstk第 14 题解图 第 15 题解图15. 10 或 8 【解析】分两种情况考虑:如解图所示,过 M 作 MEAD 于5 5E,G 在 AB 上, B落在 AE 上,可得四边形 ABME 为矩形, EMAB16,AEBM,又BC40,M 为 BC 的中点, 由折叠可得:B MBM BC20,在 RtEMB中,根据12勾股定理得:B E 12,ABAEBE20128,设 AGx ,则有BM2 EM2GBGB16x ,在 RtAGB中,根据勾股定理得:GB 2AG 2AB 2,即(16x)2x 28 2,解得: x6,GB16610,在 RtGBM
20、 中,根据勾股定理得:GM10 ;如解图 所示,过 M 作 MEAD 于 E,G 在 AE 上,B落在 ED 上,GB2 BM2 5可得四边形 ABME 为矩形, EMAB16,AEBM,又 BC40,M 为 BC 的中点,由折叠可得:B MBM BC20,在 RtEMB中,根据勾股定理得:BE1212,ABAEBE201232,设 AGAG y,则BM2 EM2GBAB AGAEEB AG 32y,ABAB16,在 RtABG 中,根据勾股定理得:AG2AB 2GB 2,即 y216 2(32 y )2,解得:y12,AG 12,GEAE AG 20128,在 RtGEM 中,根据勾股定理得:GM 8 ,综上可知折痕的长度为 10 或 8 .GE2 EM2 5 5 5