1、第 四 章 三 角 形第五节 锐角三角函数及其应用玩转河南 8 年中招真题(20082015 年)命题点 1 锐角三角函数(近 8 年未考查)命题点 2 直角三角形的边角关系(近 8 年未考查)命题点 3 (高频)锐 角 三 角 函 数 的 实 际 应 用类型一 仰角、俯角问题1. (2015 河南 20 题 9 分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48.若坡角 FAE30，求大树的高度(结果保留整数参考数据：sin480.74，co
2、s480.67，tan481.11， 1.73)来源:3gkstk.Com来源:学优高考网 gkstk第 1 题图【拓展猜押】如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋高楼顶部 B 的仰角为 30，看这栋高楼底部 C 的俯角为 65，热气球与高楼的水平距离 AD 为 120 m求这栋高楼的高度. (结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)来源:学优高考网拓展猜押题图2. (2014 河南 19 题 9 分)在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为 30，位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为 68.试根据以上数据求出潜
3、艇 C 离开海平面的下潜深度(结果保留整数参考数据：sin680.9，cos680.4，tan682.5， 1.7)3第 2 题图3. (2012 河南 20 题 9 分)某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅如图所示，一条幅从楼顶 A 处放下，在楼前点 C 处拉直固定小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前 D 处测得楼顶 A 点的仰角为 31，再沿 DB 方向前进 16 米到达 E 处，测得点 A 的仰角为45.已知点 C 到大厦的距离 BC7 米， ABD90.请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数参考数据：tan310.60，sin310.52，cos310.86)第 3 题图4.
4、(2011 河南 19 题 9 分)如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第一高钢塔小明所在的课外活动小组在距地面 268 米高的室外观光层的点 D 处，测得地面上点 B的俯角 为 45，点 D 到 AO 的距离 DG 为 10 米；从地面上的点 B 沿 BO 方向走 50 米到达点 C 处，测得塔尖 A 的仰角 为 60.请你根据以上数据计算塔高 AO，并求出计算结果与实际塔高 388 米之间的误差(参考数据： 1.732， 1.414.结果精确到 0.1 米)3 2第 4 题图来源:学优高考网 gkstk类型二 坡度、坡角问题来源:学优高考网 gkstk5. (2013 河南 19 题
5、 9 分)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水坡坡角 BAE68，新坝体的高为 DE，背水坡坡角 DCE60. 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC(结果精确到 0.1 米参考数据：sin680.93，cos680.37，tan682.50， 1.73)3第 5 题图类型三 测量问题6. (2009 河南 20 题 9 分)如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2.90 m 的顶灯已知梯子由两
6、个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1 m，矩形面与地面所成的角 为 78.李师傅的身高为 1.78 m，当他攀升到头顶距天花板 0.050.20 m 时，安装起来比较方便他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？(参考数据：sin780.98，cos780.21，tan784.70)来源:gkstk.Com第 6 题图7. (2008 河南 20 题 9 分)如图所示， A、 B 两地之间有条河，原来从 A 地到 B 地需要经过桥 DC，沿折线 A D C B 到达现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从 A 地到达
7、B地已知 BC11 km， A45， B37，桥 DC 和 AB 平行，则现在从 A 地到 B 地可比原来少走多少路程？(结果精确到 0.1km.参考数据： 1.41，sin3720.60，cos370.80)第 7 题图【答案】命题点 1 锐角三角函数命题点 2 直角三角形的边角关系命题点 3 锐角三角函数的实际应用类型一 仰角、俯角问题1. 解：延长 BD 交 AE 于点 G，过点 D 作 DH AE 于点 H.由题意知： DAE BGA BDN30， DA6， GD6， GH AH DAcos306 3 . GA2 GH6 .(2 分)32 3 3设 BC 的长为 x 米，在 Rt GB
8、C 中， GC x，(4 分)BCtan BGC xtan30 3在 Rt ABC 中， AC .(6 分)BCtan BAC xtan48 GC AC GA， x 6 ，(8 分)3xtan48 3 x13，即大树的高度约为 13 米(9 分)第 1 题解图 第 2 题解图来源:学优高考网2. 解：如解图，过点 C 作 CD AB，交 BA 的延长线于点 D，则 AD 即为潜艇 C 的下潜深度，根据题意得 ACD30， BCD68.来源:学优高考网设 AD x，则 BD BA AD1000 x.在 Rt ACD 中， CD x(4 分)ADtan ACD xtan30 3在 Rt BCD 中
9、， BD CDtan68.1000 x xtan68，(7 分)3 x 308.(9 分)10003tan68 1 10001.72.5 1潜艇 C 离开海平面的下潜深度约为 308 米3. 解：设 AB x 米， AEB45， ABE90， BE AB x，(2 分)在 Rt ABD 中，tan D ，即 tan31 ，ABBD xx 16 x 24，来源:学优高考网 gkstk16tan311 tan31160.61 0.6即 AB24 米(6 分)在 Rt ABC 中，AC 25.(8 分)BC2 AB2 72 242即条幅的长度约为 25 米(9 分)4. 解： DE BO， 45，来
10、源:学优高考网 DBF 45.在 Rt DBF 中， BF DF268.(2 分) BC50， CF BF BC26850218.由题意知四边形 DFOG 是矩形， FO DG10. CO CF FO21810228.(5 分)在 Rt ACO 中， 60， AO COtan602281.732394.896，(7 分)误差为 394.8963886.8966.9(米)即计算结果与实际高度的误差约为 6.9 米(9 分)类型二 坡度、坡角问题5. 解：在 Rt ABE 中，tan68 ，则 AE 64.8，(2 分)BEAE BEtan681622.50在 RtCDE 中， tan60 ，则
11、CE 102.08，(6 分)DECE DEtan60176.63 176.61.73三点 C、A、E 在同一条直线上，CACEAE102.0864.837.2837.3(米)(8 分)答： 工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC 约为 37.3 米(9 分)类型三 测量问题6. 解：如解图，过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 D 作 DFBC 于点 F.ABAC，CE BC0.5，(2 分)12在 RtAEC 和 RtDFC 中， tan78 ，AEECAEEC tan780.54.702.35，(4 分)又 sin ，AEAC DFDCDF AE AE1.007，(7 分)DCA
12、C 37李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面的高度约为：10071.782.787( m)，头顶与天花板的距离约为：2.902.7870.11( m)，0.050.110.20，他安装比较方便(9 分)第 6 题解图 第 7 题解图7. 解：如解图，过点 D 作 DHAB 于 H，DGCB 交 AB 于 G.DCAB，DGCB，四边形 DCBG 为平行四边形，DCGB，GDBC11，两条路程之差为 ADDGAG.(3 分)在 RtDGH 中，DHDG sin37110.606.60，GHDG cos37110.808.80，(5 分)在 RtADH 中，AD DH1.416.609.31，2AHDH6.60，ADDGAG(9.3111)(6.608.80)4.9( km)即现在从 A 到 B 地可比原来少走约 4.9 km.(9 分)【拓展猜押】解：在 RtABD 中， tanBAD ，BDADBDAD tan30120 40 .33 3在 RtACD 中， tanDAC ，CDADCD120 tan65 ，BCBDCD40 120 tan65.3答：这栋高楼的高度为(40 120 tan65)米3
