1、习 题 课 一,返回目录,随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件,样本空间、样本点,内容提要,1. 事件的包含,事件的相等;,2. 事件的和(并);,3. 事件的积(交);,4. 事件的差;,5. 互不相容事件(互斥);,6. 对立事件.,一. 随机事件的概念,事件之间的关系与运算,二. 概率的定义与性质,概率的公理化定义,对于任何互不相容事件序列,1. (非负性),任事件A,2. (规范性),必然事件S,3. (可列可加性),概率的性质,3. A，B 是两个事件，则,5. (加法定理),一般加法公式,(1) 所有可能的试验的结果只有有限个；,(2) 每一个结果出现的可能性相同.,古典概型的
2、特点是:,三. 古典概型的计算(几何概率),例题,例1 设 A、B、C 是三个随机事件,在下列各式中不成立的是( ),例2 设随机事件A、B、C 两两互不相容,且,B,例3 一袋内装有6个球,4 个是白球,2 个红球,从中任取两个球,每次取一个,求:,(1) 取到两个白球的概率;,(2) 取到两个颜色相同的球的概率;,(3) 取到两个中至少有一个白球的概率.,古典概型的计算,1. 摸球模型,解: 设 A =“取到二个白球”,B =“取到二个红球”,A与B互不相容,1* 重复抽样(有放回抽样),2* 不重复抽样(无放回抽样),3* 一次取二个,例4 某袋中有a +b 只球,其中 a 只白球,b
3、只黑球,现有a +b 个人依次从袋中取出一球,每个人观察球的颜色后将球放回袋中(有放回取球),求第 k 个人取到白球的概率.,解: 设,= “第 k 个人取到白球”,例5 每个人取球后不再放回,(无放回取球),求第 k 个人取到白球的概率.,2. 盒子模型,例6 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄,求: (1) 第3个邮筒恰好投入1封信的概率;,(2) 有两个邮筒各有1 封信的概率.,解: 设 A = “ 第3个邮筒恰好投入1封信”,B = “ 有两个邮筒各有1 封信”,(1)第一个盒子是空盒(事件A)的概率；,(2)n 个球落在 n只不同的盒子(事件B)的概率；,例7 将 n
4、个不同的球随机地放入编号为 的 k 只盒子中去 ,试求：,(3)第一盒或第二盒中至少有一只是空盒(事件C)的概率.,解：,例8 10个晶体管,4个是次品,6个正品,随机地抽一个检查,到4个次品都找到为止,求第4个次品在第5次测试中发现的概率.,* 对复杂的问题用乘法原理,把问题分成若干个阶段,每个阶段用上述方法,然后再相乘.,解:,* 更复杂的问题,先用概率性质化简,例9 从12000中任取一个整数,问取到的整数不能被6 和 8 除尽的概率.,解: 设 A = “ 能被6整除”,B = “ 能被8整除”,例10 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去, 这15名新生中有3名优秀生.问 (1)
5、 每个班级各分到一名优秀生的概率是多少? (2) 3名优秀生分在同一个班级的概率是多少?,解:,15名新生随机地平均分配到三个班级的分法有,(1) 每个班级各分到一名优秀生的分法有,(2) 3名优秀生分在同一个班级的分法有,几何概率,例11 把长度为 a 的棒折成三段,求它可以构成一个三角形的概率.,解: 设其中两段的长度分别为 x , y ,B = “构成一个三角形”,例12 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中的任何一艘船都不需等候码头空出的概率.,解: 设甲、乙两艘轮船到达码头的
6、时间分别为 x , y ,练习题,1.某人对事件 A,B 及 AB 分别给出主观概率如下：,问给得恰当吗？,2.如果( )成立,则事件A与B为对立事件.,3. 设随机事件 A 和 B 互不相容,则 A 和 B 恰有一个发生的概率是（ ）,4. 若随机事件A与B 都不发生的概率为p,则下列结论正确的是（ ）,(A) A 与 B 都发生的概率为 1- p ; (B) A 与 B 只有一个发生的概率为 1- p ; (C) A 与 B 至少有一个发生的概率为 1- p ; (D) A 发生 B 不发生的概率为 1- p .,5. 事件 A、B 、C 中至多有一个发生可表示为( ),8. 6本中文书和
7、4本外文书任意往书架上放,4本外文书放在一起的概率是( ),7. 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为( ),9. 有4个球,其中2个红球,2个绿球,把它们任意放入两个盒子中,每个盒子中各放入2个球,一个盒中全是红球,另一盒中全是绿球的概率是( ),10. 袋中有n个号码牌,号码分别为 从中任意摸出k个,摸出的最大号码为 的概率为( ),11. 箱中有10件产品,其中有一件次品,在9件合格品中有6件一等品,3件二等品,现从箱中任抽3件,试求：,(1) 取得的3件都是合格品,但仅有一件是一等品的概率; (2) 取得的3件中至少有2件是一等品的概率.,
8、12. 一幢10 层楼的楼房中有一架电梯,电梯中有7位乘客.求没有两位在同一层离开的概率.,14. 将3个球随机地放入4个杯中去,杯中球的最多数目为 1,2,3 的概率分别是多少？,13. 有一个体育竞猜活动,要求参加者在49个运动项目中选其中的 6 个.若全部选对,则该参加者全胜;若选对的不少于 3 个,则该参加者有奖. 求参加者全胜的概率及有奖的概率.,15. 有9位乘客随机地进入地铁的三个车厢,试求:,(1) 第一个车厢进入3位乘客的概率;,(2) 每一个车厢进入3位乘客的概率;,(3) 每一个车厢分别进入4、3、2位乘客的概率.,17. 从 5 双不同型号的鞋中任取 4 只鞋,求其中至
9、少有两只鞋配成一双的概率.,16. 任取一个正整数,求：(1) 既不能被 2又不能被 3 整除的概率；(2) 不能被 2 或 3 整除的概率.,18. 在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度大于R 的概率.,19. 三对夫妇排成一行,求没有一个丈夫与他的妻子相邻的概率.,参考答案,1.主观概率给得不恰当.,6. (B) ; 7. (A) ; 8. (B) ; 9. (C) ; 10. (C) ;,11. (1) 0.15, (2) 2/3;,2. (C) ; 3. (A) ; 4. (C) ; 5. (C) ;,16. (1) 1/3 (2) 5/6 17. 13/21,14. 3/8，9/16，1/16,18.,所求的概率为:,
