1、第九章 平面解析几何第 5 课时 直线与圆的位置关系(对 应 学 生 用 书 （文 ）122 124页（理 ）127 129页 )考情分析 考点新知掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1. 已知圆 O：x 2y 24，则过点 P(2，4)与圆 O 相切的切线方程为_答案：3x4y100 或 x2解析： 点 P(2，4)不在圆 O 上， 切线 PT 的直线方程可设为 yk(x2)4.根据dr ， 2，解得 k ，所以 y (x2) 4 ，即 3
2、x4y100.因为过圆外一| 2k 4|1 k2 34 34点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 x2.2. (必修 2P115 练习 1 改编) 已知圆(x 1) 2(y2) 26 与直线 2xy50 的位置关系是_答案：相交解析：由题意知圆心(1，2)到直线 2xy50 的距离 d ，0d ，故该直线5 6与圆相交但不过圆心3. (必修 2P115 练习 4 改编)若圆 x2y 21 与直线 ykx2 没有公共点，则实数 k 的取值范围是_答案：( ， )3 3解析：由题意知 1，解得 k .21 k2 3 34. 过直线 xy2 0 上点 P 作圆 x2y
3、21 的两条切线，若两条切线的夹角是260，则点 P 的坐标是_答案：( ， )2 2解析：本题主要考查数形结合的思想，设 P(x，y)，则由已知可得 PO(O 为原点)与切线的夹角为 30，则|PO|2 ，由 可得x2 y2 4，x y 22，) x 2，y 2.)5. (必修 2P107 习题 4 改编)以点(2，2) 为圆心并且与圆 x2y 22x4y10 相外切的圆的方程是_答案：(x2) 2(y 2) 29解析：设所求圆的方程为(x 2)2(y2) 2r 2(r0)，此圆与圆x2y 22x4y10，即(x 1) 2(y2) 24 相外切，所以2r，解得 r3.所以所求圆的方程为(x2
4、) 2(y 2) 29.（2 1）2 （ 2 2）21. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点2. 直线与圆的位置关系的判断方法直线 l：AxByC0(A，B 不全为 0)与圆(xa) 2(yb) 2r 2(r0)的位置关系的判断方法：(1)几何方法：圆心(a， b)到直线 AxBy C0 的距离为 d，dr 直线与圆相离(2) 代数方法：由 AxByC0，(xa) 2(y b) 2r 2，消元，得到的一元二次方程的判别式为 ，则0 直线与圆相交；0 直线与圆相切；0)与(xa 2)2(yb 2)2r (r2
5、0)的圆心距为 d，则2dr1r 2 两圆外离；dr 1r 2两圆外切；|r1 r2|r，即 b5 3 时，直线与圆相离10题型 2 直线与圆相交的弦的问题例 2 已知圆 C：x 2(y3) 24，一动直线 l 过 A(1， 0)与圆 C 相交于 P、Q 两点，M 是 PQ 中点， l 与直线 m： x3y60 相交于 N.(1) 求证：当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C；(2) 当 PQ2 时，求直线 l 的方程；3(3) 探索 是否与直线 l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明AM AN 理由(1) 证明： l 与 m 垂直，且 km ，13 k l3.又 kAC3，所
6、以当 l 与 m 垂直时，l 的方程为 y 3(x1)，l 必过圆心 C.(2) 解：当直线 l 与 x 轴垂直时， 易知 x1 符合题意 当直线 l 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0.因为 PQ2 ，所以3CM 1 ，则由 CM 1，得 k ， 直线 l：4x3y40. 从而所求的4 3| k 3|k2 1 43直线 l 的方程为 x1 或 4x3y40.(3) 解： CMMN， ( ) AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC .AN 当 l 与 x 轴垂直时，易得 N ，则 .又 (1，3) ， ( 1， 53) AN (0， 5
7、3) AC 5； 当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，则由AM AN AC AN y k（x 1），x 3y 6 0，)得 N ，则 .( 3k 61 3k， 5k1 3k) AN ( 51 3k， 5k1 3k) 5.AM AN AC AN 51 3k 15k1 3k综上， 与直线 l 的斜率无关，且 5.AM AN AM AN 另解：连结 CA 并延长交 m 于点 B，连结 CM，CN ，由题意知 ACm，又CMl， 四点 M、C、N、B 都在以 CN 为直径的圆上，由相交弦定理，得 |AM|AN|AC| |AB|5. AM AN 备 选 变 式 （教 师 专 享 ）
8、已知圆 C：(x3) 2(y4) 24，直线 l1 过定点 A(1，0)(1) 若 l1 与圆相切，求 l1 的方程；(2) 若 l1 与圆相交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点为 M，又 l1 与 l2：x2y20 的交点为 N，判断 AMAN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由解：(1) 若直线 l1 的斜率不存在，即直线是 x1，符合题意若直线 l1 斜率存在，设直线 l1 为 yk(x1) ，即 kxyk0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2，即 2，解得 k .|3k 4 k|k2 1 34所求直线方程是 x1 或 3x4y30.(2) (解
9、法 1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，可设直线方程为 kxyk0.由 得 N .x 2y 2 0，kx y k 0，) (2k 22k 1， 3k2k 1)又直线 CM 与 l1 垂直，由 得 M .y kx k，y 4 1k（x 3），) (k2 4k 31 k2 ，4k2 2k1 k2) AMAN (k2 4k 31 k2 1)2 (4k2 2k1 k2)2(2k 22k 1 1)2 (3k2k 1)2 6 为定值2|2k 1|1 k2 1 k2 31 k2|2k 1|故 AMAN 是定值，且为 6.(解法 2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，可设直线方程为 kxyk0.
10、由 得 N .x 2y 2 0，kx y k 0，) (2k 22k 1， 3k2k 1)再由 y kx k，（x 3）2 （y 4）2 4，)得(1k 2)x2(2k 28k6)xk 28k210.x 1x 2 ，得 M .2k2 8k 61 k2 (k2 4k 31 k2 ，4k2 2k1 k2)以下同解法 1.(解法 3)用几何法连结 CA 并延长交 l2 于点 B，k AC2，kl 2 ，12CBl 2.如图所示， AMC ABN，则 ，AMAB ACAN可得 AMANACAB2 6，是定值535题型 3 圆的切线问题例 3 求半径为 4，与圆 x2y 24x2y40 相切，且和直线
11、y0 相切的圆的方程解：由题意，设所求圆的方程为圆 C：(xa) 2(y b) 2r 2.圆 C 与直线 y0 相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C1(a，4)或 C2(a，4)又已知圆 x2y 24x2y40 的圆心 A 的坐标为(2 ，1)，半径为 3.若两圆相切，则|CA|437 或|CA|431. 当 C1(a，4)时，有(a2) 2(41) 27 2 或(a2) 2(4 1) 21 2(无解) ，故可得a22 . 所求圆方程为 (x22 )2(y4) 24 2 或(x 22 )2(y4) 24 2.10 10 10 当 C2(a，4)时，(a2) 2(41) 27 2 或(a
12、2) 2( 41) 21 2(无解) ，故a22 .6 所求圆的方程为(x22 )2(y 4) 24 2 或(x 22 )2(y 4) 24 2.6 6备 选 变 式 （教 师 专 享 ）自点 A(3，3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x 2 y24x4y70 相切求：(1) 光线 l 和反射光线所在的直线方程；(2) 光线自 A 到切点所经过的路程解：根据对称关系，首先求出点 A 的对称点 A的坐标为 ，其次设过 A的圆( 3， 3)C 的切线方程为yk 3.(x 3)根据 dr，即求出圆 C 的切线的斜率为 k 或 k ，43 34进一步求出反射
13、光线所在的直线的方程为4x3y30 或 3x4y30.最后根据入射光与反射光关于 x 轴对称，求出入射光所在直线方程为 4x3y30或 3x4y30.光路的距离为 ，可由勾股定理求得|AM| 7.|AM|2 |AC|2 |CM|2 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分 14 分)直线 l 过点(4，0)且与圆(x1) 2(y2) 225 交于 A，B 两点，如果 AB8，求直线 l 的方程学生错解：解：设直线 l 的方程为 yk(x4)，由被圆截得的弦长为 8，可得圆心(1，2)到直线 yk(x 4)的距离为 3，即 3，解得 k ，此时直线方程为|3k 2|1 k2 5125x12y200
14、.审题引导： (1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答： 解：过点( 4，0) 的直线若垂直于 x 轴，经验证符合条件，即方程为x40 满足题意；(4 分)若存在斜率，设其直线方程为 yk(x4) ，由被圆截得的弦长为 8，可得圆心(1，2)到直线 yk(x4)的距离为 3，即 3，解得 k ，(10 分)|3k 2|1 k2 512此时直线方程为 5x12y200，(12 分)综上直线方程为 5x12y200 或 x40.(14 分)错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率 k 一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时
15、，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率 k 是否存在，以避免漏解1. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y 28x150，若直线 ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_答案：43解析： 圆 C 的方程可化为(x4) 2y 21， 圆 C 的圆心为(4，0)，半径为 1.由题意知，直线 ykx2 上至少存在一点 A(x0，kx 02) ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 存在 x0R ，使得 AC11 成立，即 ACmin2. ACmin 即为点 C 到直线 ykx2 的距离 ，|4k 2|k2 1 2
16、，解得 0k . k 的最大值是 .|4k 2|k2 1 43 432. 已知直线 l 过点(2，0)，当直线 l 与圆 x2y 22x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是_答案： ( 24，24)解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是 1，直线 l 的方程是 yk(x 2)，即kxy2k0，根据点到直线的距离公式得 1，即 k2 ，解得 k .|k 2k|k2 1 18 24 243. 直线 ykx3 与圆(x2) 2(y 3) 24 相交于 M，N 两点，若 MN2 ，则 k 的3取值范围是_答案： 33，33解析：设圆心 C(2，3)到直线 ykx3 的距离为 d，若 MN2 ，
17、则3d2r 2 431，即 1，(12MN)2|2k|21 k2解得 k .33 334. 若圆 O：x 2y 25 与圆 O1：(xm) 2y 220(mR )相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长是_答案：4解析：依题意得 OO1 5，且OO 1A 是直角三角形，S5 20OO1A OO1 OAAO1，因此 AB 4.12 AB2 12 2OAAO1OO1 252555. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点 O，右焦点为 F.若 C的右准线 l 的方程为 x4，离心率 e .22(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设点 P
18、 为准线 l 上一动点，且在 x 轴上方圆 M 经过 O、F、P 三点，求当圆心M 到 x 轴的距离最小时圆 M 的方程解：(1) 由题意，设椭圆 C 的标准方程为 1(ab0)，则 解得x2a2 y2b2 a2c 4，ca 22，)a2 ， c2.从而 b2a 2c 24.所以所求椭圆 C 的标准方程为 1.2x28 y24(2) (解法 1)由(1) 知 F(2，0)由题意可设 P(4，t)，t0.线段 OF 的垂直平分线方程为 x1.因为线段 FP 的中点为 ，斜率为 ，(3，t2) t2所以 FP 的垂直平分线方程为 y (x3) ，即 y x .t2 2t 2t 6t t2联立，解得
19、 即圆心 M .x 1，y t2 4t，) (1，t2 4t)因为 t0，所以 2 2 ，当且仅当 ，即 t2 时，圆心 M 到 x 轴的距t2 4t t24t 2 t2 4t 2离最小，此时圆心为 M(1，2 )，半径为 OM3.故所求圆 M 的方程为(x1) 2(y2 )2 229.(解法 2)由(1)知 F(2，0)由题意可设 P(4，t)，t0. 因为圆 M 过原点 O，故可设圆 M的方程为 x2y 2DxEy 0.将点 F、P 的坐标代入得 解得4 2D 0，16 t2 4D tE 0，)D 2，E (t 8t).)所以圆心 M 的坐标为 ，即(1 ， )因为 t0，所以 2 2 ，
20、( D2， E2) t2 4t t2 4t t24t 2当且仅当 ，即 t2 时，圆心 M 到 x 轴的距离最小，此时 E4 .故所求圆 M 的t2 4t 2 2方程为 x2y 22x4 y0.26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成，两相接点 M、N 均在直线 x5 上圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O，半径为 r113；圆弧 C2 过点A(29， 0)(1) 求圆弧 C2 所在圆的方程；(2) 曲线 C 上是否存在点 P，满足 PA PO？若存在，指出有几个这样的点；若不30存在，请说明理由；(3) 已知直线 l：xmy14 0 与曲线
21、C 交于 E、F 两点，当 EF33 时，求坐标原点O 到直线 l 的距离解：(1) 由题意得，圆弧 C1 所在圆的方程为 x2y 2169.令 x5，解得 M(5，12) ，N(5， 12)，又 C2 过点 A(29，0)，设圆弧 C2 所在圆方程为 x2y 2DxEyF0，则 解得52 122 5D 12E F 0，52 122 5D 12E F 0，292 29D F 0. ) D 28，E 0，F 29.)所以圆弧 C2 所在圆的方程为 x2y 228x290.(2) 假设存在这样的点 P(x，y)，则由 PA PO，得(x 29) 2y 230(x 2y 2)，即30x2y 22x2
22、90.由 x2 y2 2x 29 0，x2 y2 169（ 13 x 5），)解得 x70(舍去)；由 x2 y2 2x 29 0，x2 y2 28x 29 0（5 x 29），)解得 x0(舍去)所以这样的点 P 不存在(3) 因为圆弧 C1、C 2 所在圆的半径分别为 r113，r 215，因为 EF2r1，EF2r 2，所以 E、F 两点分别在两个圆弧上设点 O 到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 恒过圆弧 C2 所在圆的圆心(14，0)，所以 EF15 ，132 d2 142 d2即 18，解得 d2 ，所以点 O 到直线 l 的距离为 .132 d2 142 d21 61516
23、1 61541. 已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 的最小值为_PA PB 答案：32 2解析：设APB2，| |x，PO 则 | | |cos2| |2cos2(| |21)(1 2sin 2)PA PB PA PB PA PO (x 2 1) x 221 32 ，当且仅当 x2 ，即 x 时取等号(1 2x2) 2x2 2 2x2 422. 若直线 yxb 与曲线 y3 有公共点，则 b 的取值范围是_4x x2答案：12 ，32解析：y3 变形为(x2) 2(y 3) 24(0 x4 ，1y3)，表示以(2，3) 为4x x2圆心，2 为半径
24、的下半圆，如图所示若直线 yxb 与曲线 y3 有公共点，只需直线 yxb 在图中两直线之4x x2间(包括图中两条直线)，yxb 与下半圆相切时，圆心到直线 yxb 的距离为 2，即2，解得 b12 或 b12 (舍去)，|2 3 b|2 2 2b 的取值范围为 12 b3.23. 已知圆 C 过点 P(1，1)，且与圆 M：(x 2) 2(y2) 2r 2(r0) 关于直线xy20 对称(1) 求圆 C 的方程；(2) 过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由解：(1)
25、设圆心 C(a，b)，则a 22 b 22 2 0，b 2a 2 1， )解得 则圆 C 的方程为 x2y 2r 2，将点 P 的坐标代入得 r22，a 0，b 0，)故圆 C 的方程为 x2y 22.(2) 由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA： y1k(x1)，PB：y 1k(x 1)，由 得(1k 2)x2 2k(1k)x(1 k) 220.y 1 k（x 1），x2 y2 2 )因为点 P 的横坐标 x1 一定是该方程的解，故可得 xA .同理可得 xBk2 2k 11 k2，所以 kAB 1k OP，k2 2k 11 k2 yB yAxB xA k
26、（xB 1） k（xA 1）xB xA 2k k（xB xA）xB xA所以，直线 AB 和 OP 一定平行4. 已知以点 C (tR，t 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A ，与 y 轴交于点(t， 2t)O、B ，其中 O 为原点(1) 求证：AOB 的面积为定值；(2) 设直线 2xy40 与圆 C 交于点 M、N ，若|OM|ON|，求圆 C 的方程；(3) 在(2)的条件下，设 P、Q 分别是直线 l：xy20 和圆 C 的动点，求|PB|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标解：(1) 由题设知，圆 C 的方程为(xt) 2 t 2 ，化简得(y 2t)2 4t2x22txy 2
27、 y0，当 y 0 时，x0 或 2t，则 A(2t，0) ；当 x0 时，y0 或 ，则 B4t 4t， (0，4t) S AOB |OA|OB| |2t| 4 为定值12 12 |4t|(2) |OM|ON|，则原点 O 在 MN 的中垂线上，设 MN 的中点为 H，则CHMN， C、H、O 三点共线，则直线 OC 的斜率 k ， t2 或 t2，2tt 2t2 12 圆心 C(2，1)或 C(2， 1) 圆 C 的方程为(x 2) 2(y1) 25 或(x2) 2(y1)25，由于当圆方程为(x2) 2(y1) 25 时，直线 2xy40 到圆心的距离 dr，此时不满足直线与圆相交，故舍
28、去. 圆 C 的方程为(x2) 2(y1) 25(3) 点 B(0，2)关于直线 xy20 的对称点为 B(4，2) ，则|PB|PQ|PB|PQ|BQ|，又 B到圆上点 Q 的最短距离为|B C|r （ 6）2 32 3 2 . 5 5 5 5所以|PB|PQ| 的最小值 2 ，直线 BC 的方程为 y x，则直线 BC 与直线512xy20 的交点 P 的坐标为 .( 43， 23)1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到2. 圆的弦长的常用求法：(1) 几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 r 2d 2；(12l)2(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB |x1x 2| .1 k2 （1 k2）（x1 x2）2 4x1x2请使用课时训练(B)第 5 课时( 见活页 )
