1、中档题型训练(六) 直角三角形的应用解直角三角形的应用是河北中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解仰角、俯角问题【例1】(2016张家口二模)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C 处安置测倾器，测得此时山顶A 的仰角 AFH30；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C
2、，D 与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角EGH45；来源:学优高考网gkstk(3)测得测倾器的高度CFDG1.5 m ，并测得CD之间的距离为 288 m；已知红军亭高度为12 m，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.( 取1.732，结果保留整数)3【思路分析】 首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案【学生解答】解：设AHx m, 在RtEHG 中，EGH45， GHEHAEAH (x12)m .易知 GF CD288 m, HFGHGF x12 288(x300
3、)m . 在Rt AFH 中，AFH30， AHHFtanAFH ，即x(x 300) ， 解得x150( 1)，ABAHBH409.81.5411.3411(m). 33 3答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411 m.1(2016张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB ，且点A，B ，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30 ，然后他正对建筑物的方向前进了20 m到达地面的E处，又测得旗杆顶端 B的仰角为60，已知建筑物的高度AC12 m，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据： 1.73， 1.41)3 2解：由题意得DBEBECBDE60303
4、0 BDE，BE DE 20.在RtBEC 中，BCBEsin6020 10 17.3(m)，ABBCAC 17.3125.3(m)32 3答：旗杆的高度是5.3 m.2(2016随州中考)某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30，山高857.5尺，组员从山脚D 处沿山坡向着雕像方向前进1 620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A 的仰角为60，求雕像AB的高度来源:学优高考网gkstk解：过点E作EFAC于点F，EGCD于点G, 在Rt DEG 中，DE1 620，D30， EG DEsin301 620 810，又BC857.5，C
5、FEG, BFBC CF47.5, 12在Rt BEF 中，tanBEF tan30， EF BF, 在Rt AEF中，AEF60，设ABx, tanAEFBFEF 3， AFEFtanAEF, AF3BF，x47.5347.5, x95. AFEF答：雕像AB的高度为95尺方位角问题【例2】(2016石家庄二十八中二模 )如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西 60的方向一艘游船从港口 O出发，沿OA方向(北偏西30) 以v km/h的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛 C用1 h加装补
6、给物资后，立即按原来的速度给游船送去(1)快艇从港口B 到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离【思路分析】(1)先由题意求得BCO90，解Rt OBC，求得BC的长，从而求得时间；(2)过点C作CDOA于点D.设相遇处为E，在Rt CDE中，用勾股定理得v的方程，解得两个v值，分别求出OE 的长【学生解答】解：(1)BOC906030，CBO903060，BCO90，BCOBcos 60120 60( km)，快艇从港口B到小岛C 需要的时间为 1(h) ；(2)如图，过点C作CDOA于点12 6060D，设相遇处为点E，则OC O
7、Bcos3060 (km)在RtCDO中COD30，CD OC30 312 3km，ODOC cos3090(km) DE (903v)km ，CE60 km，CD 2DE 2CE 2，即(30 )2(903v) 260 2，解得v20或v40，当v20时，OE32060(km )；3当v40时，OE340120(km)3(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏西60方向，距离灯塔 20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45 方向上的B 处？(参考数据： 1.732，结果精确到0.1)3解：过点P作PCAB，交AB的延长线于点C，在RtACP中，ACP90，APC 60，PA2
8、0.cosAPC ，PCPAsinAPC ，PCPAcos6020 10，ACPAsin 6020 10 ，在RtBCP中，BCPACPA 12 32 390，BPC45，BCPC10，ABACBC10 10101.732107.3.3答：轮船向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处 来源:学优高考网gkstk4(2016乐山中考)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦
9、截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时. 由题意，得ABC 4575120，AB12，BC 10x，AC14x，过点A 作ADCB的延长线于点D，在 RtABD 中，AB12，ABD 60， BD 6，AD6 ，CD 10x6.在RtACD中，由勾股定理得：(14x) 2(10x6) 2(6 )2，解此方程得x 13 32，x 2 (不合题意舍去)来源:学优高考网gkstk34答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时坡度、坡比问题【例3】(2016巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶BC 宽6 m，坝高20 m，斜坡
10、AB的坡度i12.5，斜坡CD的坡角为30，求坝底AD的长度( 精确到0.1m，参考数据： 1.414，2 1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)3【思路分析】分别过点B，C作BEAD，CFAD，垂足分别为 E，F将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形【学生解答】解：如图，分别过点B，C 作BEAD，CFAD ，垂足分别为点E，F，由题意知BE CF20，BCEF 6， D30，在Rt ABE中，i ，即 ，AE50，在RtCDF中，tan30 ，BEAE 12.5 20AE 12.5 CFDF即 ，DF 20 34.6 ，ADAE EF FD50634.690.6(m) 20
11、DF 33 3答：坝底AD的长度为90.6 m.来源:gkstk.Com5(2016石家庄二十八中二模 )为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB 长60 2m，坡角( 即BAC)为45，BCAC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两个小题结果都保留根号 )(1)若修建的斜坡BE 的坡比为 1，求休闲平台DE 的长是多少米？3(2)一座建筑物GH距离A点33 m远(即AG33 m)，小亮在D 点测得建筑物顶部H的仰角(即HDM)为30.点B，C ，A ，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一
12、条直线上，且HGCG，建筑物GH高为多少米？ 解：(1)FMCG，BDFBAC45，斜坡AB长60 m，D 是AB的中点，BD 30 m，DFB2 2DcosBDF30 30( m)，BFDF 30 m斜坡BE的坡比为 1， ，解得EF10 222 3 BFEF 31 3m，DE DF EF(3010 )m.答：休闲平台DE的长是 (3010 )m；3 3(2)设GHx m，则MHGHGM(x30)m ，DMAGAP333063(m )，在RtDMH中，tan30，即 ，解得x30 21 ，建筑物GH高为(30 21 )m.MHDM x 3063 33 3 36(2015重庆中考)某水库大坝的
13、横截面是如图所示的四边形 ABCD，其中AB CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P 处观测到渔船M的俯角为31，渔船N的俯角为45.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，且PE长为30 m.(1)求两渔船M ， N之间的距离；(结果精确到1 m)(2)已知坝高24 m，坝长100 m，背水坡AD的坡度i10.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i11.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前2
14、0天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据： tan310.60，sin31 0.52)解：(1)在直角PEN 中，ENPE 30 m，ME 50 PEtan31m，则MN EMEN20(m )答：两渔船M、N之间的距离是20 m；(2)过点D作 DNAH于点N. 由题意得：tan DAB4 ，tan H .在Rt DAN中，AN 6(47 DNtan DAB 244m)，在 RtDHN中，HN 42( m)故AHHNAN42636(m )S ADH AHDN432(DNtanH 2447 12m2)故需要填筑的土石方是V SL43210043 200(m3)设原计划平均每天填筑x m3，则原计划 天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2x m3.根据题意，得：10x43 200x2x43 200，解得x864.经检验，x864是原方程的解(43 200x 10 20)答：施工队原计划平均每天填筑土石方864 m 3.
