1、专题三 动态变化问题专 题 命 题 规 律1动态问题为河北中考的常考点，近8年共考查8次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且都是以解答题形式出现，分值为912分来源:学优高考网2考查类型：(1)几何图形中的动点问题(2012 年25题，2010年25题，2009年26题)；(2)一次函数中的动点问题(2013年 23题) ； (3)二次函数中的动点问题(2011年26题) 2017预 测预计2017年河北中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低,中考重难点突破)一次函数中
2、的动点问题【经典导例】【例1】(2013河北中考)如图，A(0 ，1) ，M(3 ，2)，N(4 ，4)动点P从点A 出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：yxb也随之移动，设移动时间为 t秒(1)当t3时，求l的解析式；(2)若点M ，N位于l的异侧，确定 t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l 的对称点落在坐标轴上【解析】(1)，(2) 求出直线与y轴的交点，以及P 点坐标与t 之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3) 过点M 作l的垂线，求出直线与坐标轴的交点，然后再来计算即可【学生解答】(1)直线yxb交y轴于点P(0，b)
3、 ，由题意，得b0，t 0，b1t，当t3时，b4.yx4；(2)当直线yxb过M(3 ，2)时，23b，解得b5，51t，t 4.当直线yxb过N(4 ，4)时，4 4b，解得b8. 81t，t 7.当点M，N位于l的异侧时，4t 7；(3)t 1时，落在y轴上；t2时，落在x轴上【方法指导】k、b对一次函数图象ykxb的影响：当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小；k决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越大，其图象与 x轴的夹角就越大；b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴；直线ykxb可以看作由直线ykx平移|b|个单
4、位长度得到( 当b0时，向上平移；当 b0时，向下平移)；直线yk 1xb 1、yk 2xb 2的几种位置关系：平行：k 1k 2，b 1b 2；重合：k 1k 2，b 1b 2；关于y轴对称：k 1k 20，b 1b 2；关于x轴对称：k 1k 20，b 1b 20；垂直：k 1k21.1(2016邯郸二十五中一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点A，B ，C的坐标分别为(0，5), (0，2)，(4 ，2)，直线l的解析式为y kx54k(k 0) (1)当直线l经过点B时，求一次函数的解析式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D; (3)直线l与y轴交于点M
5、，点N 是线段DM上的一点， 且NBD为等腰三角形，试探究： 当函数y kx54k为正比例函数时，点N 的个数有_个； 点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围来源:学优高考网gkstk解：(1)将点B(0，2)代入ykx 54k，得k .直线l 的解析式为 y x2；34 34(2)由题意可得，点D坐标为(4，5) ，把x4代入ykx54k，得y5，不论k为何值，直线l总经过点D；(3)2；当k2时，有3个点；当 0，则开口向上，在x 1取最大值y maxa( 1) 24a( 1) 3a(106 )a2 2 2 2
6、 2 2，又y max 2 2，(106 )a2 2. 解得a .若a0两种情况讨论a 的取值范围为a .13 4 1545(2016河北中考)如图，抛物线L：y (xt)(xt 4)(常数t0)与x轴从左到右的交点为B，A, 12过线段OA的中点M作MPx 轴，交双曲线y (k0，x0) 于点P，且OAMP 12.kx(1)求k值；(2)当t1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；(3)把L在直线 MP左侧部分的图象 (含与直线MP的交点) 记为G，用t表示图象G最高点的坐标；(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4x 06 ，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值
7、范围解：(1)设点P(x，y) ，则MPy，由OA的中点为M知OA 2x，代入OAMP 12，得2xy12，即xy6，kxy6；(2)当t1时，令y0，0 (x1)(x3) ，x 11，x 23，由B在A左边，得B(3，0)，A(1 ，0)，12AB4. L 的对称轴为x1，而M为( ，0) ，MP与L对称轴的距离为 ；12 32(3)A(t ，0)，B(t4，0)，L的对称轴为xt 2，又MP为x .当t 2 ，即t4时，顶点(t2，2)就是Gt2 t2的最高点；当t2 即t4 时， L与MP 的交点( ， t2t)就是G 的最高点；(4)5t8 或7t8 .t2 t2 18 2 2与图形中
8、的动态问题【经典导例】【例3】(2016河北中考)如图，A(5，0) ，B(3，0)点 C在y轴的正半轴上，CBO45，CDAB，CDA90.点P 从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒(1)求点C的坐标；(2)当BCP15 时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的P 随点P 的运动而变化，当P与四边形ABCD的边( 或边所在的直线) 相切时，求t的值【学生解答】(1)BCO CBO 45，OCOB3.又点C在y轴的正半轴上，点C 的坐标为(0 ，3)；(2)当点P在点B右侧时，如答图.若BCP15，得PCO30. OP OCtan 30 ，此时t 4
9、 .当点P在点B左侧时，如答图 ，由BCP15，得PCO60，t3 3的值为4 或43 ；3 3(3)由题意知，若P 与四边形 ABCD的边相切，有以下三种情况：当P与BC相切于点C 时，有BCP 90，从而OCP45，得到 OP3，此时t 1.当P与 CD相切于点C时，有PCCD，即点P 与点O 重合， 此时t 4.当P 与AD 相切时，由题意，DAO90， 点A为切点PC 2PA 2(9 t) 2，PO 2(t4) 2，于是(9t) 2(t 4) 23 2，解得t5.6，t的值为1或4或5.6. 【方法指导】本题涉及到的知识有矩形的性质、锐角三角函数、圆的切线的相关知识，需要学生根据题目的
10、条件进行分类讨论，从而确定问题的完整答案6(2016石家庄四十一中二模 )如图，已知MON90，A是MON 内部的一点，过点A作ABON ，垂足为点B，AB 3 cm，OB4 cm，动点E，F 同时从O 点出发，点E以1.5 cm/s的速度沿ON 方向运动，点F以2 cm/s的速度沿 OM方向运动， EF与OA交于点C，连接AE，当点 E到达点B 时，点F随之停止运动设运动时间为t s(t0)(1)当t1 s时，EOF与ABO是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF OA.为什么？(3)连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得S AEF S四边形AEOF
11、？若存在，请求出此时t的值；若不12存在，请说明理由解：(1)相似理由如下：当t1，OE1.5 cm，OF2 cm，则OE OF34.ABOB34，OEOF ABOB.FOEABO90，EOFABO；(2)无论t为何值，在运动过程中，EOFABO ，则 FEOOAB.AOB OAB90，则AOBFEO 90，OCE90，即EF OA；(3)存在S 四边形AEOF S AEF S EOF ，S AEF S EOF .EFOA，S EOF EFOC，S AEF EFAC12 12，OC AC ， EF 垂直平分OA，OEAE. OE t，BE4 t，在RtABE中，AB 2BE 2AE 2，3 2
12、32 32(4 t)2 t2，解得t ， 当t 时，S AEF S四边形 AEOF.32 94 2512 2512 127(2016广东中考)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 RtABC与RtADC拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，ABC ADC90，CAD30， ABBC4 cm.(1) 填空：AD_cm ， DC_cm；(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A D, CB 的方向运动，当N点运动到 B点时，M，N 两点同时停止运动，连接MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离；(用含x的式子
13、表示)(3) 在(2)的条件下，取DC 中点P ，连接MP，NP，设PMN的面积为y(cm 2)，在整个运动过程中，PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值. ( 参考数据：sin75 ，sin 15 )6 24 6 24解：(1)2 ；2 .6 2(2)过点N作NEAD于点E，作NFDC的延长线于点F ，则NE DF. ACD 60，ACB45，NCF75 ， CNF15，FC x，NEDF x2 ，点N到AD的距离为( x2 )c6 24 6 24 2 6 24 2m；(3)sin 75 ，FN x，PDCP ，PF x ，S PMN S 梯形FNMD S MPD S NPF ，FNNC
14、 6 24 2 6 24 2y ( x2 x)( x2 ) (2 x) ( x )( x)即y x212 6 24 6 6 24 2 12 6 2 12 6 24 2 6 24 2 68x 2 ，即y是x的二次函数： 0，当x 时，y 最大值 7 3 224 3 2 687 3 22422 68 7 3 226 2.66 73 102 3042 46二次函数与几何图形【经典导例】【例4】(2016益阳中考)如图，顶点为A( ，1)的抛物线经过坐标原点 O，与x轴交于点B.3(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过B作 OA的平行线交y轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：OCDOAB；(3
15、)在x轴上找一点P ，使得 PCD的周长最小，求出P点的坐标【解析】(1)可设顶点求解析式；(2)可先利用函数分别求出C ，D 坐标，从而利用SSS来证明两三角形全等；(3)可利用轴对称求出C点关于x轴的对称点，再利用相似或直线CD与x轴交点，求出P 点坐标来源:gkstk.Com【学生解答】解：(1)抛物线顶点为A( ，1) ，设抛物线对应的二次函数的解析式为ya(x )21，将原3 3点坐标(0 ，0) 代入解析式，得a ，抛物线对应的二次函数的解析式为：y x2 x；(2)将y0代入y13 13 233 x2 x中，得B点坐标为(2 ，0) ，设直线OA对应的一次函数的解析式为ykx，将
16、A( ，1)代入解析式yk13 233 3 3x中，得k ，直线OA对应的一次函数的解析式为 y x.BDAO ，设直线BD对应的一次函数的解析式为 y33 33 x b，将B(2 ，0)代入 y xb中，得b2，直线BD对应的一次函数的解析式为y x2.由33 3 33 33得交点D 的坐标为( ，3)，将x 0代入y x2中，得C 点的坐标为(0 ，2)，由勾股定y 33x 2，y 13x2 233x， ) 3 33理，得：OA2OC，AB2CD，OB2 OD.在OAB与OCD中， OABOCD；(3)3 OA OC，AB CD，OB OD， )点C 关于 x轴的对称点C的坐标为 (0，2
17、)，则CD与x轴的交点即为点P，它使得PCD 的周长最小过点D 作DQy轴，垂足为点Q，则PODQ ，C POCDQ， ，即 ，PO ，点P的坐标为(PODQ C OC Q PO3 25 235， 0)2358(2016张家口九中二模)如图，已知抛物线yx 2bx c与x轴交于点A，B，AB2，与y轴交于点C ，对称轴为直线x2.(1)求抛物线的函数解析式；(2)设P为对称轴上一动点，求 APC 周长的最值解：(1)AB 2，对称轴为直线 x2，A(1 ，0)，B(3，0)抛物线yx 2bxc与x轴交于点A ，B ，1，3是方程x 2bxc0的两个根由根与系数的关系，得13b，13c，b4，c
18、3，抛物数的函数解析式为yx 24x3；(2)连接AC ，BC，BC交对称轴于点P，连接PA.由(1) 知抛物线的函数解析式为 yx 24x3，点A，B的坐标分别为(1 ，0) ， (3，0)，点 C的坐标为(0 ，3)，BC 3 ，AC .点A，B关于对称轴32 32 2 32 12 10x2对称，PA PB，PAPCPBPC，此时，PB PC BC，当P点在对称轴上运动时，PAPC 的最小值等于BC， APC周长的最小值为ACAPPCACBC 3 .2 10直角三角形、等腰三角形、特殊四边形性质问题【经典导例】【例5】(2016漳州中考)如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于点A和点B(3，
19、0)，与 y轴交于点C(0，3) (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线在 x轴下方上的动点，过点 M作MN/y轴交直线BC于点N，求线MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)可利用待定系数法求二次函数解析式；(2)要先求出MN关于x的函数解析式，利用函数性质求出MN的最大值；(3) 注意要分类讨论各种情况【学生解答】(1)点B(3，0) ，C(0，3)，在抛物线yx 2bxc上，抛物线的解析式yx 24x3；(2)令x 24x30，则x 11，
20、x 23，设直线BC的解析式ykxb.点B(3，0)，C(0，3) 在直线BC 上，直线BC的解析式 yx3，设N(x，x3)，则M(x ，x 2 4x3)(1x3)，MNx3(x 24x3) (x 32)2 ，当x 时，MN的最大值为 ；(3)存在所有点P的坐标分别是：P 1 ，P 2 ，P 394 32 94 (2， 3 172 ) (2， 3 172 )，P 4 ，P 5 .(2，142) (2， 142) (2， 12)9(2016石家庄四十二中模拟 )如图，已知二次函数的图象过点 A(0，3)，B( ， )，对称轴为直线x3 312，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM x轴于点
21、M ，PN y轴于点N ，在四边形PMON上分别截取PC MP13，MD OM， OE ON，NF NP.13 13 13(1)求此二次函数的解析式；(2)求证：以C，D，E ，F 为顶点的四边形 CDEF是平行四边形；(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)二次函数图象的对称轴为直线y ，设二次函数的解析式为 ya(x )2k.点A(0，3) ，B(12 12， )在抛物线上， 解得 抛物线的解解析式为y(x )2 ，即yx 2x3 314a k 3，a（3 12）2 k 3， ) a 1，k 134.
22、) 12 1343；(2)连接CD ，DE，EF ，FC. PM x轴于点M，PNy轴于点 N，四边形PMON为矩形，PMON，PNOM.PC MP，OE ON，PCOE.MD OM， NF NP，MDNF，PF OD. 在PCF与OED中13 13 13 13， PCFOED(SAS)，CF DE，同理可证：CDMEFN，CDEF. CFPC OE， FPC DOE 90，PF OD. )DE， CDEF，四边形CDEF是平行四边形；(3) 假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形，设矩形PMON的边长PMON m，PNOM n，则PC m，MC m，MD n，PF n.若四边形CDEF为
23、矩形，则DCF13 23 13 2390，易证PCFMDC， ，即 ，化简得 m2n 2，mn，即矩形PMON为正方形，点PPCMD PFMC13m13n23n23m为抛物线yx 2x3与坐标象限角平分线yx或yx的交点将yx代入yx 2x3，解得x 1 ，x 23 3，P 1( ， )，P 2( ， )将yx代入yx 2x3，解得x 13，x 21，P 3(3，3)，P 4(1，1)，3 3 3 3抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形，这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P 1( 3， )，P 2( ， )，P 3(3，3)，P 4(1，1)3 3 310(2016唐山
24、模拟)如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y x2经过点B(x，1)与x12轴，y轴分别交于点H，F ，抛物线yx 2bxc 的顶点 E在直线l上(1)求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D 两点时的解析式； (2)当抛物线的顶点E(m，n)在直线l上运动时，连接EA，ED，试求EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)设抛物线与y轴交于Q点，当抛物线顶点 E在直线l 上运动时，以 A，C ，E，Q 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1)直线l ：y x2经过点B(x，1)，1 x2，解得 x2，B(2
25、，1) ，A(2，0)，D( 3，012 12)抛物线经过A，D两点， 解得， 抛物线经过A ，D两点时的解析式为y 4 2b c 0， 9 3b c 0， ) b 5，c 6， )x 25x6；(2)连接EA，ED，顶点E(m，n)在直线l上，n m2，S 1( m2) m1，即S12 12 12 14 14m1(m4) ；(3)如图，若以A ，C ，E，Q 为顶点的四边形能成为平行四边形，则ACEQ，ACEQ，作EMy轴交过Q点平行于x轴的直线于点 M，则EMQM ，EMQCDA，QMAD1，点E的横坐标为1.顶点E在直线l上，y (1) 2 ，或y 12 ，E( 1， )或(1， )又当
26、点E坐标为(1 ， )时，以A，12 32 12 52 32 52 52C，E，Q为顶点的四边形不能成为平行四边形，E点坐标为(1， )3211(2016潍坊中考)如图，已知抛物线y x2bxc经过ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)13，AC x轴，点P 是直线AC下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；来源:学优高考网(2)过点P且与y轴平行的直线 l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线 AC上是否存在点Q ，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明
27、理由解：(1)把点A(0，1)，B(9，10)的坐标代入y x2bx c，得 解得 所以13 1 c，10 13（ 9）2 9b c.) b 2，c 1. )，抛物线的解析式是y x22x1；(2)ACx轴，A(0，1)，由 x22x11，解得x 16，x 20，C( 613 13，1)，设直线AB的解析式是 ykxb(k 0)，由 解得 则直线AB的解析式是yx1.设1 b，10 9k b.) k 1，b 1. )点P的坐标为(m， m22m1) ，则点E 为坐标为(m，m1)则EPm 1( m22m1) m23m.A13 13 13CEP，AC 6，S 四边形AECP S AEC S AP
28、C ACEF ACPF AC(EFPF) ACEP 6(12 12 12 12 12 13m23m) m 29m(m )2 .又6m0，则当m 时，四边形AECP面积的最大值是 ，此时点P92 814 94 814的坐标是( ， )；(3)由y x22x1 (x3) 22，得顶点 P的坐标是( 3，2)，此时PFy Fy P3，CF92 54 13 13x Fx C3，则在RtCFP中， PFCF，PCF45，同理可求EAF45，PCF EAF，在直线AC上存在满足条件的点Q，使 CPQ 1ABC或CQ 2PABC.可求AB9 ，AC6，CP 3 ，当C2 2PQ1ABC时，设Q 1(t1，1) ，由 ，得 ，解得t 14.当CQ 2PABC时，设Q 2(t2，1) ，由CQ1AC CPAB t1 66 3292 ，得 ，解得 t23.综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q 1(4，1)或Q 2(3，1)CQ2AB CPAC t2 692 326
