1、2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(一)例 1 如图 1，已知正方形 OABC的边长为 2，顶点 A、 C分别在 x、 y轴的正半轴上， M是 BC的中点 P(0,m)是线段 OC上一动点（ C点除外），直线 PM交 AB的延长线于点 D（1）求点 D的坐标（用含 m的代数式表示）；来源:xYzkW.Com（2）当 APD是等腰三角形时，求 m的值；（3）设过 P、 M、 B三点的抛物线与 x轴正半轴交于点 E，过点 O作直线 ME的垂线，垂足为 H（如图 2）当点 P从 O向 C运动时，点 H也随之运动请直接写出点 H所经过的路长（不必写解答过程）来源:学优中考网 xYzKw图 1 图
2、 2解析（1）因为 PC/DB，所以 因此 PM DM， CP BD2 m所以CPMBDAD4 m于是得到点 D的坐标为(2，4 m)（2）在 APD中， ， ， 22(A24A22()4()PDM当 AP AD时， 解得 （如图 3） 来源:xYzKw.Com)当 PA PD时， 解得 （如图 4）或 （不合题意，22()舍去）当 DA DP时， 解得 （如图 5）或 （不合题意，2(4)m2()3m2舍去）综上所述，当 APD为等腰三角形时， m的值为 ， 或 4来源:学优中考网 xYzkw图 3 图 4 图 5（3）点 H所经过的路径长为 5考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用
3、几何说理的方法，计算更简单：/ 32如图 3，当 AP AD时， AM垂直平分 PD，那么 PCM MBA所以 因此 ， 12PCMBA12PC3m如图 4，当 PA PD时， P在 AD的垂直平分线上所以 DA2 PO因此 解得 m3第（2）题的思路是这样的：如图 6，在 Rt OHM中，斜边 OM为定值，因此以 OM为直径的 G经过点 H，也就是说点 H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图 7， P与 O重合时，是点 H运动的起点， COH45， CGH90图 6 图 7例 2 如图 1，已知一次函数 y x7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x轴交43yx于点 B（ 1） 求
4、点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 AC y轴于点 C，过点 B 作直线 l/y轴动点 P从点 O 出发，以每秒 1个单位长的速度，沿OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ； 同时直线 l从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l交 x 轴于点R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 ， 点P 和 直 线 l都 停 止 运 动 在 运 动 过 程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的时 间 为 t秒 当 t为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求
5、t的值；若不存在，请说明理由图 1 解析（1）解方程组 得 所以点 A的坐标是(3，4)7,43yx3,4.y令 ，得 所以点 B的坐标是(7，0)0yx（2）如图 2，当 P在 OC上运动时，0 t4由 ，8APRACPOROSS 梯 形得 整理，得 解得 t2 或113+7)4()(7)8tt（ 2810tt6（舍去）如图 3，当 P在 CA上运动时， APR的最大面积为 6因此，当 t2 时，以 A、 P、 R为顶点的三角形的面积为 8图 2 图 3 图 4我们先讨论 P在 OC上运动时的情形，0 t4如图 1，在 AOB中， B45， AOB45， OB7， ，所以2ABOB AB因此
6、 OAB AOB B如图 4，点 P由 O向 C运动的过程中， OP BR RQ，所以 PQ/x轴因此 AQP45保持不变， PAQ越来越大，所以只存在 APQ AQP的情况此时点 A在 PQ的垂直平分线上， OR2 CA6所以 BR1， t1我们再来讨论 P在 CA上运动时的情形，4 t7在 APQ中， 为定值， ， 3cos5AP5203QOARt如图 5，当 AP AQ时，解方程 ，得 073t48t如图 6，当 QP QA时，点 Q在 PA的垂直平分线上， AP2( OR OP)解方程，得 72()4ttt如 7，当 PA PQ时，那么 因此 解方程12cosAP2cosQAP，得 5032()35tt64t综上所述， t1 或 或 5或 时， APQ是等腰三角形 83来源:学优中考网图 5 图 6 图 7考点伸展当 P在 CA上， QP QA时，也可以用 来求解2cosAPQ/ 32
