1、学优中考网 专题六：图形与变换孙法光一、考点综述考点内容：（1） 图形的轴对称（2） 图形的平移（3） 图形的旋转（4） 图形相似变换考纲要求： 1 理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；2 掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。3 理解图形的平移性质；4 会按要求画出平移图形；5 会利用平移进行图案设计。6 理解图形旋转的有关性质；7 掌握基本中心对称图形；8 会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计9 掌握按要求作出简单平面图形经相似变换后的图形。考查方式及分值：近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题.这些试题以新课程标准的内容和要求为依据，注重对数学知识的理解，
2、技能的掌握综合应用能力的检测，积极推进素质教育和数学创新思维培养，中考中考查的内容丰富，形式多样，题型涉及选择题、填空题、作图题和解答题等，其中尤以选择题居多，填空题相对较少，所占分值在 310分在选择、填空、解答题中都有出现，图案的设计常在作图题中出现。备考策略：加强了对学生实验操作、读图作图、合情推理等能力的要求，强化对图形变换的训练，适当渗透空间观念，侧重数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力。二、例题精析例 1、如图 1，在直线 l上摆放有ABC 和直角梯形 DEFG，且 CD6；在ABC 中：C90 O，A30 0，AB4；在直角梯形 DEFG 中：EF/DG，DGF90 O
3、,DG6，DE4，EDG60 0。解答下列问题：（1）旋转：将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 900，请你在图中作出旋转后的对应图形A 1B1C，并求出 AB1的长度；（2）翻折：将A 1B1C 沿过点 B1且与直线 l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形A 2B1C1，试判定四边形 A2B1DE 的形状？并说明理由；（3）平移：将A 2B1C1沿直线 l向右平移至A 3B2C2，若设平移的距离为，A 3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为，当等于ABC 面积的一半时,的值是多少？解题思路：运用旋转、翻折、平移的性质，旋转注意旋转中心和旋转角度，翻折利用轴对称的性质。平移前后对应线段平行且相等
4、。解析：（1）在ABC 中由已知得：BC=2，ACABcos30= 32，AB 1=AC+C B1=AC+CB= 32.(2)四边形 A2B1DE 为平行四边形.理由如下：EDG60，A 2B1C1A 1B1CABC60，A 2B1DE又 A2B1A 1B1AB4，DE4，A 2B1DE,故结论成立.（3）由题意可知：SABC = 3， 当 20x或 10时，0此时重叠部分的面积不会等于ABC 的面积的一半当 4时，直角边 B2C2与等腰梯形的下底边 DG 重叠的长度为 DC2=C1C2-DC1=（2），则 2321xx,当= SABC = 3时，即 2，解得 2x（舍）或 x.当 时，重叠部
5、分的面积等于ABC 的面积的一半.当 84x时，A 3B2C2完全与等腰梯形重叠，即 32y当 10时,B 2G=B2C2-GC2=2( x8)=10-ABC DE FG图 1l学优中考网 则 21031021xx,当= SABC = 3时，即 22，解得 10x,或 10x(舍去).当 时，重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半.由以上知,当 2x或 2x时, 重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半.规律总结：注意运用图形变换中旋转、轴对称、平移的性质，认真把握题目所给条件的脉搏。例 2、如图 2，桌面内，直线 l 上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为 6cm，较小锐角的
6、度数为 30（1）将 ECD 沿直线 AC 翻折到如图 2-1 的位置， DE与 AB 相交于点 F，请证明：DFA；（2）将 ECD 沿直线 l 向左平移到图 2-2 的位置，使 E 点落在 AB 上，你可以求出平移的距离，试试看；（3）将 ECD 绕点 C 逆时针方向旋转到图 2-3 的位置，使 E 点落在 AB 上，请求出旋转角的度数图 2 图 2-1 图 2-2 图 2-3解题思路：（1）中线段相等可利用三角形全等；（2）中利用直角三角形可以求出平移的距离；（3）中旋转后的图形可以判断 BCE为等边三角形，从而求出旋转角度解析：（1）根据轴对称的性质可知，在 AFE 与 D FB 中，
7、 A= D， AE=BD， AFE= D FB， AFE D FB F（2）根据平移的性质可知 CC为平移的距离在 Rt E BC中， 23BC，所以 63C（3）根据旋转的性质可知， BCE为等边三角形， 为旋转角旋转角E为 30规律总结：解决平移与旋转的综合变换问题时，常常既可以先旋转后平移也可以先平移后旋转只要把握好平移和旋转变换的各自的几要素就可以很好地解决问题例 3、如图 3，在平面直角坐标系中， ABC 和 A1B1C1关于点 E 成中心对称图 3（1）画出对称中心 E，并写出点 E、 A、 C 的坐标；（2） P（ a， b）是 ABC 的边 AC 上一点， ABC 经平移后点
8、P 的对应点为 P2（ a+6， b+2） ，请画出上述平移后的 A2B2C2，并写出点 A2、 C2的坐标；（3）判断 A2B2C2和 A1B1C1的位置关系（直接写出结果） 解题思路：根据中心对称图形的对应点连线经过对称中心，可以确定点 E 位置；通过P 点的平移规律可知， ABC 向上平移了 6 个单位，向右平移了 2 个单位解析：（1）如图 3-1， E（3，1） ， A（3，2） ， C（2，0） ；（2）如图， A2（3，4） ， C2（4，2） ；（3） A2B2C2与 A1B1C1关于原点 O 成中心对称图 3-1规律总结：本题将图形与坐标、平移有机的结合起来，考查学生能按照要
9、求作出简单学优中考网 平面图形旋转、平移后的图形，在一定程度上也考查学生切实理解运动变换及数形结合思想方法的程度例 4 如图 4-1，将矩形纸片 ABCD（图）按如下步骤操作：（1）以过点 A 的直线为折痕折叠纸片，使点 B 恰好落在 AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E（如图） ；（2）以过点 E的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上 A1，折痕 EF 交 AD 边于点 F（如图） ；（3）将纸片收展平，那么 AFE 的度数为（ ） 图 4-1A60 B67.5 C72 D75解题思路：设 A 点落在 BC 边上 A1处，如图 4-2 由折叠过程可知，AEF A1EF， AEF=
10、 A1EF， AEB=67.5，所以 AFE=67.5图 4-2解：选 B规律总结：为了能清楚的理解问题，一定要让学生实行实际操作，对于基础较好的同学可以根据操作结果进行分析计算，而一些基础不好的同学完全可以实际操作的结果进行测量，得出正确结果另外，要让学生明确折叠即意味着图形轴对称，意味着全等图形的存在例 5 如图 5，在 Rt ABC 中， AB=AC， D、 E 是斜边 BC 上两点，且 DAE=45，将 ADC绕点 A 顺时针旋转 90后，得到 AFB，连接 EF，下列结论：A1图 5 AED AEF； ABE ACD； BEDC； 22BEDC其中正确的是（ ）A B C D解题思路
11、：由题意 ADC AFB；得到 ABF=45， FBE=90 FAE= FAB+ BAE= DAC+ BAE=45，所以 AED AEF，从而 BF=DC解析：选 B规律总结：本题考查学生运用旋转的性质，结合等腰直角三角形和全等三角形的有关知识，要求学生在图形变换的过程中全面寻找图形旋转过程中的不变量三、综合训练一、选择题1如图的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（ ）1 题图 A B C D2将一正方体纸盒沿下右图所示的线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（ ）3将一张纸第一次翻折，折痕为 AB（如图 1） ，第二次翻折，折痕为 PQ（如图 2） ，第三次翻折使 P
12、A 与 PQ 重合，折痕为 PC（如图 3） ，第四次翻折使 PB 与 PA 重合，折痕为PD（如图 4） 此时，如果将纸复原到图 1 的形状，则 CPD 的大小是（ ）学优中考网 第 3 题图A 120 B 90 C 60 D 454直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将 ABC 如图那样折叠，使点与点 重合，折痕为 DE，则 tanB的值是（ ）第 4 题图A247B73C72D135如图， Rt 中， 90A， 0AB， 2C， OH， 分别为边BC，的中点，将 绕点 顺时针旋转 1到 1 的位置，则整个旋转过程中线段 OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）第 5 题图A
13、738B4738C D436 如 图 ， ABC 的 内 部 有 一 点 P， 且 D、 E、 F 是 P 分 别 以 AB、 BC、 AC 为 对 称 轴 的 对称 点 若 ABC 的 内 角 A=70， B=60， C=50， 则 ADB+BEC+CFA=（ ）第 6 题 图A180 B270 C360 D4807如图，在平面直角坐标系中， OABC 是正方形，点 A 的坐标是（4，0） ，点 P 为边 AB上一点， CPB=60，沿 CP 折叠正方形，折叠后，点 B 落在平面内点 B处，则 B点的坐标为（ ） 第 7 题图A （2， 3） B （ 2， 3） C （2， 43） D （
14、2， 43）二、填空题8 如图，菱形 ABCD 中， BAD=60 ， M 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，若 PM+PB 的最小值是 3，则 AB 长为 第 8 题图9在如图所示的单位正方形网格中，将 ABC 向右平移 3 个单位后得到ABC（其中 ， ， 的对应点分别为 ， ， ） ，则 A的度数是 学优中考网 第 9 题图10如图，将边长为 1 的正三角形 OAP沿 x轴正方向连续翻转 2008 次，点 P依次落在点 123208P， ， ， ， 的位置，则点 208的横坐标为 第 10 题图11如图，矩形纸片 ABCD 中， AD=9， AB=3，将其折叠，使点
15、D 与点 B 重合，折痕为EF，那么折痕 EF 的长为_第 11 题图12如图，水平地面上有一面积为 230cm的扇形 AOB，半径 OA=6cm，且 OA 与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至 OB 与地面垂直为止，则 O 点移动的距离为 第 12 题图13如图，直角梯形纸片 ABCD， AD AB， AB=8， AD=CD=4，点 E、 F 分别在线段 AB、 AD上，将 AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P（1）当 AE=5， P 落在线段 CD 上时， PD= ；（2）当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时， PD 的最小值等于 第 13 题图三、解答题14如图，矩
16、形纸片 ABCD中， 8，将纸片折叠，使顶点 B落在边 AD的 E点上，折痕的一端 G点在边 上， 10G（1）当折痕的另一端 F在 边上时，如图 14-1，求 EFG 的面积；（2）当折痕的另一端 在 A边上时，如图 14-2，证明四边形 B为菱形，并求出折痕 F的长如图 14-1 如图 14-215两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中 A=60， AC=1固定 ABC不动，将 DEF 进行如下操作：（1）如图， DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动） ，连结DC、 CF、 FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其
17、面积学优中考网 第 15 题图-1（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形 CDBF 的形状，并说明理由第 15 题图-2（3）如图， DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转 DEF，使DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连结 AE，请你求出 sin 的值第 15 题图-316已知：如图图-1，在 RtACB 中， 90， 4cmAC， 3cB，点P由 B出发沿 A方向向点 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q由 出发沿 方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 (s)t（ 2t） ，解答下列问题：
18、（1）当 t为何值时， BC ？（2）设 AP 的面积为 y（ 2cm） ，求 y与 t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使线段 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若PQ存在，求出此时 t的值；若不存在，说明理由；（4）如图-2，连接 C，并把 沿 翻折，得到四边形 PQ，那么是否存在某一时刻 t，使四边形 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由第 16 题图-1 第 16 题图-2学优中考网 参考答案一、选择题1D 2B 3B 4C 5C 6C 7C二、填空题8 945 102008 11 12 10cm13 （1）2 （2） 458 三、解答题14 （1）25 （2） 15解：（1） S 梯形 CDBF=S ABC= 132（2）菱形（3）sin= 321()47DHE或16解：（1）t= 10（2）y= AQPH= 2t( )= 235t2t（3）若 PQ 把 ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ )24(32)5(ttt，解得： 1若 PQ 把 ABC 面积平分，则 ，即 +3t=312APQABCS 235t t =1 代入上面方程不成立，不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 Rt ACB 的周长和面积同时平分（4）当 时，四边形 PQP C 是菱形 109t509学%优)中$考，网
