1、2013 中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(三)例 5 如图 1，等边 ABC 的边长为 4， E 是边 BC 上的动点， EH AC 于 H，过 E 作 EF AC，交线段 AB 于点 F，在线段 AC 上取点 P，使 PE EB设 EC x（0 x2）（1）请直接写出图中与线段 EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2） Q 是线段 AC 上的动点，当四边形 EFPQ 是平行四边形时，求平行四边形 EFPQ 的面积（用含 x的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形 EFPQ 面积最大值时，以 E 为圆心， r 为半径作圆，根据 E 与此时平行四边形 EFPQ 四条边交
2、点的总个数，求相应的 r 的取值范围图 1解析（1） BE、 PE、 BF 三条线段中任选两条（2）如图 2，在 Rt CEH 中， C60， EC x，所以 xEH23因为PQ FE BE4 x，所以 PQSEF)4(23平 行 四 边 形 （3）因为 xEFPQ23平 行 四 边 形 32）（ ，所以当 x2 时，平行四边形 EFPQ 的面积最大此时 E、 F、 P 分别为 ABC 的三边 BC、 AB、 AC 的中点，且 C、 Q 重合，四边形 EFPQ 是边长为 2 的菱形（如图 3）图 2 图 3过点 E 点作 ED FP 于 D，则 ED EH 3如图 4，当 E 与平行四边形 E
3、FPQ 的四条边交点的总个数是 2 个时，0 r 3；如图 5，当 E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 4 个时， r 3； 如图 6，当 E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 6 个时， r2；如图 7，当 E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 3 个时， r2 时；如图 8，当 E 与平行四边形 EFPQ 的四条边交点的总个数是 0 个时， r2 时图 4 图 5 图 6图 7 图 8考点伸展本题中 E 是边 BC 上的动点，设 EC x，如果没有限定 0 x2，那么平行四边形 EFPQ的面积是如何随 x 的变化而变化的？事实上，当 x2 时，点
4、 P 就不存在了，平行四边形 EFPQ 也就不存在了因此平行四边形 EFPQ 的面积随 x 的增大而增大例 6 如图 1，抛物线 32y与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴相交于点 C，顶点为 D（1）直接写出 A、 B、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作PF/DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？设 BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系图 1解析（1
5、）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是 x1（2）直线 BC 的解析式为 y x3把 x1 代入 y x3，得 y2所以点 E 的坐标为（1，2）把 x1 代入 2，得 y4所以点 D 的坐标为（1，4）因此 DE=2因为 PF/DE，点 P 的横坐标为 m，设点 P 的坐标为 )3,(m，点 F 的坐标为)32,0(m，因此 F)32( 2当四边形 PEDF 是平行四边形时， DE=FP于是得到 解得 21，12（与点 E 重合，舍去）因此，当 m=2 时，四边形 PEDF 是平行四边形时设直线 PF 与 x 轴交于点 M，那么 OM+BM=OB=3因此 BMFPOSSC
6、PFBCF 21m923)(21m 的变化范围是 0 m3图 2 图 3考点伸展在本题条件下，四边形 PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能，求 m 的值；如果不可能，请说明理由如图 4，如果四边形 PEDF 是等腰梯形，那么 DG=EH，因此 EPFDyy于是 2)3()2(m解得 01（与点 CE 重合，舍去），12m（与点 E 重合，舍去）因此四边形 PEDF 不可能成为等腰梯形图 4例 7 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1yx与 3x交于点 A，分别交 x轴于点 B 和点 C，点 D 是直线 AC 上的一个动点（1）求点 A、 B、 C 的坐标（2）当 CBD 为等腰三角形时
7、，求点 D的坐标（3）在直线 AB 上是否存在点 E，使得以点 E、 D、 O、 A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出 的值；如果不存在，请说明理由图 1解析（1）在 1yx中，当 0y时， x，所以点 B的坐标为 (1,0)在34yx中，当 0y时， 4x，所以点 C的坐标为（4，0）解方程组1,得 87， 15 所以 点 A的坐标为 815,7（2）因为点 D 在直线 34yx上，设点 D 的坐标为 3(,)4x当 CBD 为等腰三角形时，有以下三种情况：如图 2，当 DB DC 时，设底边 BC 上的高为 DM在 Rt CDM 中，15CMB，所以 31548MC这时点 D
8、 的坐标为 315,28如图 3，当 CD CB5 时，点 D 恰好落在 y 轴上，此时点 D 的坐标为（0，3）根据对称性，点 D 关于点 C 对称的点 D的坐标为（8，3）如图 4，当 BC BD 时，设 BC、 DC 边上的高分别为 DM、 BN在 Rt BCN 中， BC5，所以 CN4，因此 DC8在 Rt DCM 中， DC8，所以 245MC，325M这时点 D 的坐标为 124,5综上所述，当 CBD 为等腰三角形时，点 D 的坐标为 315,8、（0，3）、（8，3）或 124,5图 2 图 3 图 4（3）如图 5，以点 E、 D、 O、 A 为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：当四边形 AEOD 为平行四边形时， 20BEC当四边形 ADEO 为平行四边形时， 1当四边形 AODE 为平行四边形时， 270BECD图 5考点伸展如图 5，第（3）题这样解：在 ABC 中，已知 BC5， BC 边上的高为 157，解得 AB 1527， AC 57由 1BEOAC，得 32BE，所以 BE由 45D，得 0D，所以 30C结合图 5，可以计算出 32， 1或 72
