1、2013 中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(三)例 5 如图 1，直线 43xy和 x 轴、 y 轴的交点分别为 B、 C，点 A 的坐标是（-2，0）（1）试说明 ABC 是等腰三角形；（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时， MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当 MON 为直角
2、三角形时，求 t 的值图 1解析（1）直线 43xy与 x 轴的交点为 B（3，0）、与 y 轴的交点 C（0，4）RtBOC 中， OB3， OC4，所以 BC5点 A 的坐标是（-2，0），所以 BA5因此BC BA，所以 ABC 是等腰三角形（2）如图 2，图 3，过点 N 作 NH AB，垂足为 H在 Rt BNH 中， BN t，sin5B，所以 Ht如图 2，当 M 在 AO 上时， OM2 t，此时 2114()5SOt定义域为 0 t2如图 3，当 M 在 OB 上时， OM t2，此时 2()2NHtt定义域为 2 t5图 2 图 3把 S4 代入 245t，得 245t解得
3、 12t，21t（舍去负值）因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S4 的情形，此时如图 4，当 OMN90时，在 Rt BNM 中， BN t， BM 5t， 3cos5B，所以53t解得 258t如图 5，当 OMN90时， N 与 C 重合， 5t不存在 ONM90的可能所以，当 t或者 t时， MON 为直角三角形图 4 图 5考点伸展在本题情景下，如果 MON 的边与 AC 平行，求 t 的值如图 6，当 ON/AC 时， t3；如图 7，当 MN/AC 时， t2.5图 6 图 7例 6 已知 Rt ABC 中， 90ACB， CB，有一个圆心角为 45，半径的长等于CA的
4、扇形 EF绕点 C 旋转，且直线 CE， CF 分别与直线 A交于点 M， N（1）当扇形 绕点 C 在 的内部旋转时，如图 1，求证：22NM；思路点拨：考虑 2BNAM符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将 C沿直线 E对折，得 DC，连 N，只需证 BND，90D就可以了请你完成证明过程（2）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 2 的位置时，关系式 22BNAM是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图 1 图 2解析（1）如图 3，将 ACM沿直线 E对折，得 DCM，连 N，则 DCMACM因此 D， ， A， A又由 B，得 B由 EF45，EFN 454590，得 又 ，所以 CN 因此 N， BC所以 90A在 Rt MD中，由勾股定理，得 22DM即 22NAM图 3 图 4（2）关系式 22BNAM仍然成立如图 4，将 C沿直线 E对折，得 DCM，连 N，则 DCM A所以 D， ， A， 又由 B，得 由 45EF，FANN 45)(90，得 BN又 C，所以 CBN因此 B， C又由于 135180AAMD，所以 9453MN在 Rt MDN中，由勾股定理，得 22DNM即 22BNAM考点伸展当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 5，图 6，图 7 的位置时，关系式 22仍然成立图 5 图 6 图 7
