1、第三十章 二次函数1.从实际问题中建立二次函数,理解二次函数的意义 .2.会用描点法画二次函数的图像,通过观察图像了解二次函数的性质 .3.会用配方法将二次函数的表达式化为 y=a(x-h)2+k 的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标 ,能说出图像的开口方向,画出函数图像的对称轴 .4.知道给出不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 .5.了解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解 .6.能利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题,进一步体会模型思想和函数思想,发展应用意识 .1.经历从实际问题情景中建立二次函数模型的过程,使学生体验如何用数学的方法去描
2、述变量之间的关系,培养学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力 .2.经历探究二次函数的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理,进一步体会数形结合思想在数学中的应用 .3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识 .4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想 .1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性 .2.通过作图、类比、归纳等数学活动,逐步完善对二次函数的图像与性质的认识,积累与他人合作、
3、探究、交流的经验,获得数学知识与技能 .3.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯 .4.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会建模思想,获得用数学方法解决实际问题的经验,培养学生的应用意识 .5.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性 .二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上,学习的又一类重要函数,是函数内容的继续和延伸,是对函数及其应用的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础
4、.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,二次函数的图像也是人们最为熟悉的曲线之一 .同时,二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础,它与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,是初中许多知识的总结 .二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力 .本章内容从实际情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,二次函数无论是表达式还是函数图像、性质以及应用都要比前面学习的正比例函数、一次函数和反比例函数复杂,所以数学思想和方法在本章体现得尤为重要,待定系数法、配方法得到进
5、一步理解,函数思想、模型思想和数形结合思想得到进一步提升 .对于某些解决实际问题的安排,目的是加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识 .【重点】了解二次函数的意义;理解二次函数的图像及其性质;能根据二次函数的图像与性质解决有关实际问题;体会二次函数与一元二次方程的关系 .【难点】理解二次函数的图像及其性质;理解二次函数与一元二次方程的关系;能应用二次函数的性质解决实际问题 .1.本章是初中阶段函数内容的最后一章,也是代数部分的最后一章,因此在教学中要重视知识之间的联系,如对正比例函数、一次函数、反比例函数的表达式、图像及性质进行比较,体会二次函数和一
6、元二次方程的关系等,提高学生综合运用知识解决数学问题的能力 .2.在教学过程中重视数学思想和方法的渗透,类比一次函数、反比例函数的探究方法,探究二次函数的概念、图像和性质 .用配方法将二次函数表达式化为 y=a(x-h)2+k 的形式,进而确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴 .让学生经历二次函数的图像、性质的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用 .由不共线三点的坐标确定二次函数表达式,是对待定系数法的进一步认识 .用二次函数解决实际问题,体会建模思想是将实际问题转化为数学问题的重要思想 .3.在教学中重视二次函数在数学中的应用,常常体现在对数学知识的应用上,二次函数模型是非常重要的模型,应
7、用十分广泛 .因此,让学生亲身经历把实际问题抽象为数学问题的过程,进一步体会建模思想,培养应用意识 .4.在教学过程中, 要努力营造学生自主探究、合作交流的环境,在探究二次函数的概念、图像、性质、应用及二次函数与一元二次方程的关系的过程中,给学生充足地操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动的空间和时间,让他们亲身经历知识的形成过程,让学生通过思考感悟思想方法,体验成功的快乐 .30.1 二次函数 1 课时30.2 二次函数的图像和性质 3 课时30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 1 课时30.4 二次函数的应用 3 课时30.5 二次函数与一元二次方程的关系 1 课时回顾与反思 1
8、课时30.1 二次函数1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义 .2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 .3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式 .1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关 .2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力 .3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想 .1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力 .2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结
9、的能力 .3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识 .【重点】理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式 .【难点】经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系 .【教师准备】 多媒体课件 .【学生准备】 预习教材 P2627.导入一:出示投篮图片:【导入语】 如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣 .这种函数就是这章要学习的二次函数 .设计意图 通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学
10、习本章的兴趣 .导入二:思考:1.什么是一次函数、反比例函数?2.如果改变正方体的棱长 x,那么正方体的表面积 y 会随之改变, y 与 x 之间有什么关系? y 是 x 的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?设计意图 通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识 .过渡语 我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数二次函数 .一起探究(课件展示)1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成
11、矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多 5 块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖 .设纵向每排有 n 块瓷砖 .思路一教师引导学生思考并回答:(1)设灰色瓷砖的总数为 y 块 .用含 n 的代数式表示 y,则 y= . y 与 n 具有怎样的函数关系 ?(2)设白色瓷砖的总数为 z 块 .用含 n 的代数式表示 z,则 z= . z 是 n 的函数吗 ?说说理由 .【师生活动】 学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系 .(板书)(1)y=4n+6,一次函数 .(2)z=n2+n-6,z 是 n 的函数
12、. 思路二思考:(1)在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?(2)设灰色瓷砖的总数为 y 块,白色瓷砖的总数为 z 块,你能分别找到 y 与 n,z 与 n 之间的等量关系吗?(3)你能根据以上等量关系分别用含 n 的代数式表示 y,z 吗?(4)y 与 n、 z 与 n 之间是函数关系吗?如果是,是什么函数关系? 如果不是 ,请说明理由 .【师生活动】 学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系 .(板书)(3)y=4n+6,一次函数 .(4)z=n2+n-6,z 是 n 的函数 . (课件展示)2.某
13、企业今年第一季度的产值为 80 万元,预计产值的季平均增长率为 x.思路一教师引导分析:(1)设第二季度的产值为 y 万元,则 y= .设第三季度的产值为 z 万元,则 z= . (2)y,z 都是 x 的函数吗?它们的表达式有什么不同?【师生活动】 学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书 .(板书)(1)y=80x+80,一次函数 .(2)z=80x2+160x+80,z 是 x 的函数 .思路二思考:(1)设第二季度的产值为 y 万元,第三季度的产值为 z 万元,你能用含 x 的代数式分别表示 y,z 吗?(2)y,z 都分别是 x 的函数吗?【师生活动】 学生思考后,小组内交流
14、答案,学生板书,教师点评 .(板书)(1)y=80x+80,一次函数 .(2)z=80x2+160x+80,z 是 x 的函数 .设计意图 通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力 .形成概念观察下面两个函数:z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,思考:(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?(2)这两个函数的自变量 x 的最高指数分别是多少?(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?【师生活动】 学生
15、独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念 .(课件展示)一般地,如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系可以表示成 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,且 a0),那么称 y为 x 的二次函数 .其中, a 叫做二次项系数, b 叫做一次项系数, c 叫做常数项 .思考:(1)二次项系数能不能为 0?一次项系数和常数项呢?为什么?(2)如何判断一个函数是不是二次函数?(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?(4)函数 y=x2+2x+ ,y=- x2+ x+5,y=3x2,y=- x2+6 是不是二次函数?【师生活动】 学生独立思考后
16、,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:(课件展示)(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是 2;(3)二次项系数不为 0.设计意图 通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力 .大家谈谈(课件展示)1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项 .2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同 .【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评 .设
17、计意图 通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系 .例题讲解过渡语 我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题 (课件展示)例 1 (补充)若 y=(m+1) 是二次函数,则 m 的值为 . 【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点 .解:二次函数的自变量 x 的最高指数是 2,m2-6m-5=2,由二次项系数不为 0,得 m+10,解得 m=7.【易错点】 常忽略二次项系数不为 0.做一做新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候 .设全班有 m 名同学,每两人之间都握
18、手一次,用 y 表示全班同学握手的总次数 .(1)请用含 m 的代数式表示 y,说明 y 是 m 的二次函数,指出该函数中对应的 a,b,c 的值 .(2)若全班有 45 名同学 ,则这样握手的总次数是多少 ?教师引导分析:全班共有 人,每个人要与 人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手 次,则 y 与 m 的函数关系式为 . 【师生活动】 学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评 .设计意图 通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,
19、又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣 .知识拓展 1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a0)的形式;(4)确保自变量有意义 .2.在二次函数 y=ax2+bx+c 中,必须注意限制条件 a0.3.任何一个二次函数都可以化成 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a0)的形式,因此把 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且 a0)叫做二次函数的一般式 .4.当 a0 时, y=ax2+bx+c 才是二次函数 .当 a=0 时, y=bx+c,若 b0,则它是一
20、次函数,若 b=0,则 y=c 是一个常数函数 .5.在 y=ax2+bx+c(a0)中, x 的取值范围是全体实数 .6.二次函数 y=ax2+bx+c (a0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量 y 换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了 .1.二次函数的概念:形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a0)的函数叫做二次函数 .2.二次函数满足的条件:(1 )函数表达式的右边是整式形式;(2 )自变量的最高指数是 2;(3)二次项系数不为 0.3.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)中 x 取任意实数,但在实际问题中要有实际意义 .4.根据实际问题写出函数表达式:认
21、真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式 .1.下列各式中, y 是 x 的二次函数的是 ( )A.y=2x+1 B.y=-2x+1C.y=x2+2 D.y=ax(a0)解析:选项 A,B,D 中自变量 x 的最高指数都是 1,是一次函数,只有选项 C 符合二次函数的定义 .故选 C.2.已知二次函数 y=1-3x+5x2,则它的二次项系数 a,一次项系数 b,常数项 c 分别是 ( )A.1,-3,5 B.1,3,5C.5,3,1 D.5,-3,1解析:二次函数中二次项系数为 5,一次项系数为-3,常数项为 1.故选 D.3.若 y=(m+2) 是二次函数,则 m 的值为
22、. 解析:根据二次函数的定义,得 m2-2=2,且 m+20,解得 m=2.故填 2.4.若物体运动的路程 s(米)与时间 t(秒)之间的关系式为 s=5t2+2t,则当 t=4 秒时,该物体所经过的路程为 . 解析:把 t=4 代入函数表达式,得 s=516+24=88.故填 88 米 .5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数 .(1)正方体的表面积 S(cm2)与棱长 a(cm)之间的函数关系;(2)圆的面积 y(cm2)与它的周长 x(cm)之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是 1.98%,存入 10000 元本金,求本息和 y(元)与所存年数 x 之间的函数关系;(4)
23、某产品年产量为 30 台,计划今后每年比上一年的产量增长 x%,试写出两年后的产量 y(台)与 x 的函数关系式 .解:(1 )S=6a2,二次函数 .(2)y= = ,二次函数 .(3)y=10000+100001.98%x=10000+198x,一次函数 .(4)y=30(1+x%)2,二次函数 .30.1 二次函数一起探究形成概念大家谈谈例题讲解做一做一、教材作业【必做题】教材第 27 页习题 A 组的 1,2,3 题 .【选做题】教材第 28 页习题 B 组的 1,2 题 .二、课后作业【基础巩固】1.下列函数是二次函数的是 ( )A.y=2x2+9 B.y=mx2+2x-1C.y=2
24、x2+ +1 D.y=2.若 y=(m2+m) -1 是关于 x 的二次函数,则 ( )A.m=-1 或 m=3 B.m-1 且 m0C.m=-1 D.m=33.二次函数 y=2x2+2x-4 的二次项系数与常数项的和为 ( )A.1 B.-2 C.7 D.-64.若函数 y=4x2+1 的函数值为 5,则自变量 x 的值应为 ( )A.1 B.-1 C.1 D.5.二次函数 y=2x(x-1)的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 . 6.如果函数 y=(a-1)x2-ax+6 是关于 x 的二次函数,那么 a 的取值范围是 . 7.菱形的两条对角线长度的和为 26 cm,则菱形的面积
25、S(cm2)与一条对角线长 x(cm)之间的函数关系式为 . 8.若 y=(m+1) -2x+3 是 y 关于 x 的二次函数,求 m 的值 .9.在如图所示的一张长、宽分别为 50 cm 和 30 cm 的矩形铁皮的四个角上,各剪取一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为 x cm,长方体铁皮箱的底面积为 y cm2.(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式;(2) 写出自变量 x 的取值范围; (3)当 x=5 cm 时,求铁皮箱的底面积 .【能力提升】10.下列函数关系中,可以看成二次函数 y=ax2+bx+c(a0)模型的是 ( )A.在一定距离内
26、,汽车行驶的速度与行使的时间的关系B.我国人口年自然增长率为 1%,这样我国总人口数随年份变化的关系C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系D.圆的周长与半径之间的关系11.某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现: 这种商品的销售量 m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数关系 m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润 y(元)与每件商品的销售价 x(元) 之间的函数关系式, y 是 x 的二次函数吗?【拓展探究】12.如图所示,用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形形状的地面, 请观察下列图形并解答有关问题:(1)在第 n 个图形中,每一横行共有 块瓷砖,
27、每一竖列共有 块瓷砖(均用含 n 的代数式表示);(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为 y,请写出 y 与( 1)中 的 n 的函数关系式;(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖,求 n 的值 .【答案与解析】1.A(解析 :B 中的函数当 m=0 时不是二次函数 ;C,D 中的函数表达式的右边不是整式的形式,所以不是二次函数 .故选 A.)2.D(解析:由题意,得 m2-2m-1=2 且 m2+m0,解得 m=3.故选 D.)3.B(解析 :二次项系数为 2,常数项为 -4,2+(-4)=-2.故选 B.)4.C(解析:由题意有 4x2+1=5,解得 x=1.故选 C
28、.)5.2 -2 0(解析:化简可得 y=2x2-2x,所以二次项系数为 2,一次项系数为 -2,常数项为 0.)6.a1(解析 :因为二次函数中二次项系数不为 0,所以 a-10,即 a1.)7.S=- x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线的长为 26-x,由菱形的面积公式可得 S= x(26-x)=-x2+13x.)8.解 : y=(m+1) -2x+3 是 y 关于 x 的二次函数, m+10 且 m2+1=2,m=1.9.解 :(1)根据题意,有 y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500. (2)根据实际意义 2x0,所以自变量的取值范围是 00)向上
29、 y 轴 原点(0,0)当 x0 时, y 随 x 的增大而增大有最低点(0 ,0).当 x=0 时, y 最小=0y=ax2(a0 时, y 随 x 的增大而减小有最高点(0 ,0).当 x=0 时, y 最大=0思路二对比函数 y=x2 与 y=-x2,y=2x2 与 y=-2x2 的图像,就二次函数 y=ax2 回答以下问题:(1)你能描述图像的形状吗? (2)图像与 x 轴有公共点吗?如果有公共点,公共点的坐标是什么?(3)图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?(4)图像的开口方向和它的最高(或最低)点与 a 的符号具有怎样的关系?(5)根据图像,说明 y 的值随 x
30、 的值增大而变化的情况 .【师生活动】 先由学生独立思考,再小组内交流,教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考解决问题,交流中教师及时帮助有困难的学生,小组代表展示后,教师归纳有关概念及性质 .(课件展示)同思路一 .注意为方便起见,我们把 y 轴记为直线 x=0,把过点( a,0)且垂直于 x 轴的直线记为直线 x=a;把 x 轴记为直线y=0,把过点 (0,b)且垂直于 y 轴的直线记为直线 y=b.二次函数 y=ax2 也称为抛物线 y=ax2.设计意图 将探究函数的性质设计成开放性探究(思路一) 或问题串的形式 (思路二), 使学生体会从特殊到一般的研究方法,领悟数形结合思想在探究函数图像中的应用,培养学生归纳总结能力,提高分析问题的能力 .知识拓展 1.画函数图像时 ,一般情况是选点越多,图像越精确,但也要具体问题具体分析 .2.抛物线是向两方无限延伸的 .3.由于二次函数 y=ax2 的图像是一条抛物线,故也称抛物线 y=ax2.4.抛物线 y=ax2 中隐含着一个重要的条件,即 a0,如抛物线 y=(m-1)x2 中 m1.5.抛物线 y=ax2 中的系数 a 决定抛物线的开口方向和大小,当| a|越大时,抛物线的开口越小;当| a|越小时,抛物线的开口越大 .
