1、 全等三角形 一 .选择题 1. （ 2018遂宁 4分）下列说法正确的是（ ） A有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C矩形的对角线互相垂直平分 D六边形的内角和是 540 【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理 【解答】解： A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误 ； D.六边形的内角和是 720 ，故此选项错误 故选： B 【点评】此题主要考查了全等三角形
2、的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理，正确把握相关性质是解题关键 2. （ 2018贵州 安顺 3分 ） 如图，点，分别在线段 ， 上， 与 相交于点，已知，现添加以下哪个条件 仍不能判定 （ ） A. B. C. D. 【答 案】 D 【解析】分析：欲使 ABE ACD，已知 AB=AC，可根据全等三角形判定定理 AAS、 SAS、 ASA添加条件，逐一证明即可 详解： AB=AC， A为公共角， A.如添加 B= C，利用 ASA即可证明 ABE ACD； B.如添 AD=AE，利用 SAS即可证明 ABE ACD； C.如添 BD=CE，等量关系可得 AD=AE，利用 SAS即可
3、证明 ABE ACD； D.如添 BE=CD，因为 SSA，不能证明 ABE ACD，所以此选项不能作为添加的条件 故选 D 点睛：此题主要考查学生对全等三角形 判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理 3. （ 2018黑龙江 龙东地区 3分 ） 如图，四边形 ABCD 中， AB=AD， AC=5， DAB= DCB=90 ，则四边形 ABCD的面积为（ ） A 15 B 12.5 C 14.5 D 17 【分析】过 A 作 AE AC，交 CB 的延长线于 E，判定 ACD AEB，即可得到 ACE 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 的面积与 ACE
4、 的面积相等，根据 S ACE= 55=12.5 ，即可得出结论 【解答】解：如图，过 A作 AE AC，交 CB 的延长线于 E， DAB= DCB=90 ， D+ ABC=180= ABE+ ABC， D= ABE， 又 DAB= CAE=90 ， CAD= EAB， 又 AD=AB， ACD AEB， AC=AE，即 ACE是等腰直角三角形， 四边形 ABCD的面积与 ACE的面积相等， S ACE= 55=12.5 ， 四边形 ABCD的面积为 12.5， 故选： B 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三
5、角形全等时，关键是选择恰当的判定条件在应用全等三角形的判定时，要注意三 角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形 4.（ 2018贵州黔西南州 4 分）下列各图中 A.B.c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧 ABC全等的是（ ） A甲和乙 B乙和丙 C甲和丙 D只有丙 【分析】 根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与 ABC全等，甲与 ABC不全等 【解答】 解：乙和 ABC全等；理由如下： 在 ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定 方法： SAS， 所以乙和 ABC全等； 在 ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法： AAS， 所以丙和 ABC全等；
6、 不能判定甲与 ABC全等； 故选： B 【点评】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、ASA.AAS、 HL注意： AAA.SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 5（ 2018 年湖南省娄底市）如图， ABC 中， AB=AC， AD BC 于 D 点， DE AB 于点 E， BF AC于点 F， DE=3cm，则 BF= 6 cm 【分析】先利用 HL证明 Rt ADB Rt ADC，得出 S ABC=2S ABD=2 ABDE=ABDE=3AB，又 S ABC=
7、ACBF，将 AC=AB代入即可求出 BF 【解答】解：在 Rt ADB与 Rt ADC中， ， Rt ADB Rt ADC， S ABC=2S ABD=2 ABDE=ABDE=3AB， S ABC= ACBF， ACBF=3AB， AC=AB， BF=3， BF=6 故答案为 6 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键 6. （ 2018遂宁 4分）下列说法正确的是（ ） A有两条边和一个角对应相 等的两个三角形全等 B正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C矩形的对角线互相垂直平分 D六边形的内角和是 540 【分析】直接
8、利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理 【解答】解： A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误； D.六边形的内角和是 720 ，故此选项错误 故选： B 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形 、菱形的性质和多边形内角和定理，正确把握相关性质是解题关键 二 .填空题 1. （ 2018江苏宿迁 3分 ） 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （ x 0）与正比例函数 y=kx、 （ k 1）的图象分别交于点 A
9、.B，若 AOB 45 ，则 AOB的面积是_. 【答案】 2 【 分析】作 BDx 轴， ACy 轴， OHAB （如图），设 A（ x1， y1）， B（ x2 ， y2），根据反比例函数 k的几何意义得 x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与 y=kx， y=联立，解得 x1= ， x2= ，从而得 x1x2=2，所以 y1=x2， y2=x1， 根据 SAS得 ACOBDO ，由全等三角形性质得 AO=BO，AOC=BOD ，由垂直定义和已知条件得 AOC=BOD=AOH=BOH=22.5 ，根据 AAS得 ACOBDOAHOBHO ，根据三角形面积公式得 S ABO=S AHO+
10、S BHO=S ACO+S BDO=x1y1+ x2y2=2+ 2=2. 【详解】如图：作 BDx 轴， ACy 轴， OHAB ， 设 A（ x1， y1）， B（ x2 ， y2）， A.B在反比例函数上， x 1y1=x2y2=2， ， 解得： x1= ， 又 ， 解得： x2= ， x 1x2= =2， y 1=x2， y2=x1， 即 OC=OD， AC=BD， BDx 轴， ACy 轴， ACO=BDO=90 ， ACOBDO （ SAS）， AO=BO ， AOC=BOD ， 又 AOB 45 ， OHAB ， AOC=BOD=AOH=BOH=22.5 ， ACOBDOAHOBH
11、O ， S ABO=S AHO+S BHO=S ACO+S BDO=x1y1+ x2y2=2+ 2=2 ， 故答案为： 2. 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键 . 2. （ 2018达州 3分）如图， Rt ABC中， C=90 ， AC=2， BC=5，点 D是 BC 边上一点且CD=1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt AOP当 P从点 D出发运动至点 B 停止时，点 O的运动路径长为 【分析】过 O点作 OE CA于 E， OF BC
12、于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF 为矩形，由 AOP 为等腰直角三角形得到 OA=OP， AOP=90 ，则可证明 OAE OPF，所以 AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到 CO 平分 ACP，从而可判断当 P从点 D 出发运动至点 B停止时，点 O的 运动路径为一条线段，接着证明 CE= （ AC+CP），然后分别计算P点在 D点和 B点时 OC的长，从而计算它们的差即可得到 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长 【解答】解：过 O点作 OE CA于 E， OF BC于 F，连接 CO，如图， AOP为等腰直角三角形， OA=OP， AO
13、P=90 ， 易得四边形 OECF为矩形， EOF=90 ， CE=CF， AOE= POF， OAE OPF， AE=PF， OE=OF， CO平分 ACP， 当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径为一条线段， AE=PF， 即 AC CE=CF CP， 而 CE=CF， CE= （ AC+CP）， OC= CE= （ AC+CP）， 当 AC=2， CP=CD=1时， OC= （ 2+1） = ， 当 AC=2， CP=CB=5时， OC= （ 2+5） = ， 当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长 = =2 故答案为 2 【点评】本题考查了轨迹：灵活运
14、用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算也考查了全等三角形的判定与性质 3. （ 2018湖州 4 分 ）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E， F， G， H 都是格点，且四边形 EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在如图 1所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为 ，此时正方形 EFGH的而积为 5问：当格点弦图中的正方形 ABCD的边长为 时，正方形 EFGH的面积的所有可能值是 13或 49 （不包括
15、5） 【分析】 当 DG= ， CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH的面积为 13当 DG=8， CG=1时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 49 【解答】 解：当 DG= ， CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH的面积为 13 当 DG=8， CG=1时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH的面积为 49 故答案为 13 或 49 【点评】 本题考查作图应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思
16、想解决问题，属于中考填空题中的压轴题 4. （ 2018金华、丽水 4分） 如图， ABC的两条高 AD ， BE相交于点 F ，请添加一个条件，使得 ADC BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 _ 【解析】 【解答】从题中不难得出 ADC= BEC=90 ，而且 ACD= BCE（公共角），则只需要加一个对应边相等的条件即可，所以从 “CA=CB ， CE=CD， BE=AD” 中添加一个即可。 故答案为： CA=CB， CE=CD（答案不唯一）。 【分析】判断两个三角形全等，判定定理有 “AAS ， SSS， SAS， ASA， HL” ， 只需要添加一个条件，那么就要从题目
17、中找出其他两个条件， 再根据判定定理，缺什么就添什么条件。 5. （ 2018达州 3分）如图， Rt ABC中， C=90 ， AC=2， BC=5，点 D是 BC 边上一点且CD=1，点 P 是线段 DB 上一动 点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt AOP当 P从点 D出发运动至点 B 停止时，点 O的运动路径长为 【分析】过 O点作 OE CA于 E， OF BC于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF 为矩形，由 AOP 为等腰直角三角形得到 OA=OP， AOP=90 ，则可证明 OAE OPF，所以 AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆
18、定理得到 CO 平分 ACP，从而可判断当 P从点 D 出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径为一条线段，接着证明 CE= （ AC+CP），然后分别计算P点在 D点和 B点时 OC的长，从而计算它们的差即可得到 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长 【解答】解：过 O点作 OE CA于 E， OF BC于 F，连接 CO，如图， AOP为等腰直角三角形， OA=OP， AOP=90 ， 易得四边形 OECF为矩形， EOF=90 ， CE=CF， AOE= POF， OAE OPF， AE=PF， OE=OF， CO平分 ACP， 当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点
19、O的运动路径为一条线段， AE=PF， 即 AC CE=CF CP， 而 CE=CF， CE= （ AC+CP）， OC= CE= （ AC+CP）， 当 AC=2， CP=CD=1时， OC= （ 2+1） = ， 当 AC=2， CP=CB=5时， OC= （ 2+5） = ， 当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长 = =2 故答案为 2 【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算也考查了全等三角形的判定与性质 三 .解答题 1. （ 2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市 10 分 ） 问题
20、：如图 ，在 Rt ABC中， AB=AC， D为 BC边上一点（不与点 B， C重合 ），将线段 AD绕点 A逆时针旋转 90 得到AE，连接 EC，则线段 BC， DC， EC 之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ； 探索 ：如图 ，在 Rt ABC与 Rt ADE中， AB=AC， AD=AE，将 ADE绕点 A旋转，使点 D落在 BC边上，试探索线段 AD， BD， CD之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用 ：如图 ，在四边形 ABCD中， ABC= ACB= ADC=45 若 BD=9， CD=3，求 AD的长 【分析】（ 1）证明 BAD CAE，根据全等三角形的性质解
21、答； （ 2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BD=CE， ACE= B，得到 DCE=90 ，根据勾股定理计算即可； （ 3）作 AE AD，使 AE=AD，连接 CE， DE，证明 BAD CAE，得到 BD=CE=9，根据勾股定理计算即可 【解答】解：（ 1） BC=DC+EC， 理由如下： BAC= DAE=90 ， BAC DAC= DAE DAC，即 BAD= CAE， 在 BAD和 CAE中， ， BAD CAE， BD=CE， BC=BD+CD=EC+CD， 故答案为： BC=DC+EC； （ 2） BD2+CD2=2AD2， 理由如下：连接 CE， 由（ 1）得， BA
22、D CAE， BD=CE， ACE= B， DCE=90 ， CE2+CD2=ED2， 在 Rt ADE中， AD2+AE2=ED2，又 AD=AE， BD2+CD2=2AD2； （ 3）作 AE AD，使 AE=AD，连接 CE， DE， BAC+ CAD= DAE+ CAD， 即 BAD= CAD ， 在 BAD与 CAE中， ， BAD CAE（ SAS）， BD=CE=9， ADC=45 ， EDA=45 ， EDC=90 ， DE= =6 ， DAE=90 ， AD=AE= DE=6 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和
23、性质定理是解 题的关键 2. （ 2018湖南怀化 10分 ）已知：如图，点 A F， E C在同一直线上， AB DC， AB=CD， B= D （ 1）求证： ABE CDF； （ 2）若点 E， G分别为线段 FC， FD的中点，连接 EG，且 EG=5，求 AB的长 【分析】（ 1）根据平行线的性质得出 A= C，进而利用全等三角形的判定证明即可； （ 2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可 【解答】证明：（ 1） AB DC， A= C， 在 ABE与 CDF中 ， ABE CDF（ ASA）； （ 2） 点 E， G分别为线段 FC， FD的中点， ED= CD， EG=5，
24、 CD=10， ABE CDF， AB=CD=10 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出 A= C 3.（ 2018江苏宿迁 8 分 ） 如图，在 ABCD 中，点 E.F分别在边 CB.AD的延长线上，且 BE DF， EF分别与 AB.CD交于点 G、 H，求证： AG CH. 【答案】证明见解析 . 【分析】根据平行四边形的性质得 ADBC ， AD=BC， A=C ，根据平行线的性质得 E=F ，再结合已知条件可得 AF=CE，根据 ASA得 CEHAFG ，根据全等三角形对应边相等得证 . 【详解】 在 四边形 ABCD是平行四边形， ADBC ， AD
25、=BC， A=C ， E=F ， 又 BE DF， AD+DF=CB+BE ， 即 AF=CE， 在 CEH和 AFG中， ， CEHAFG ， CH=AG. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键 . 4.已知四边形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O，给出下列四个论断： OA=OC， AB=CD， BAD= DCB， AD BC 请你从中选择两个论断作为条件，以 “ 四边形 ABCD 为平行四边形 ” 作为结论，完成下列各题： 构造一个真命题，画图并给出证明； 构造一个假命题，举反例加以说明 【分析】如果 结合，那么这些线段所在的两
26、个三角形是 SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果 结合，和 结合的情况相同；如果 结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么 AD， BC 所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是 ，它有可能是等腰梯形 【解答】解：（ 1） 为论断时 ： AD BC， DAC= BCA， ADB= DBC 又 OA=OC， AOD COB AD=BC 四边形 ABCD为平行四边形 （ 2） 为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形 【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断 5.（ 201
27、8江苏无锡 8 分 ）如图，平行四边形 ABCD中， E.F分别是边 BC.AD的 中点，求证： ABF= CDE 【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案 【解答】解：在 ABCD 中， AD=BC， A= C， E.F分别是边 BC.AD 的中点， AF=CE， 在 ABF与 CDE中， ABF CDE（ SAS） ABF= CDE 【点评】本 题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型 6.（ 2018江苏淮安 8 分）已知：如图， ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别与 AD.BC相交于
28、点 E.F求证： AE=CF 【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO， AD BC，进而得出 EAC= FCO，再利用 ASA求出 AOE COF，即可得出答案 【解答】证明： ABCD的对角线 AC， BD 交于点 O， AO=CO， AD BC， EAC= FCO， 在 AOE和 COF中 ， AOE COF（ ASA）， AE=CF 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键 7.（ 2018江苏苏州 6 分）如图，点 A， F， C， D在一条直线上， AB DE， AB=DE， AF=DC求证： BC EF 【分析】
29、由全等三角形的性质 SAS判定 ABC DEF，则对应角 ACB= DFE，故证得结论 【解答】证明： AB DE， A= D， AF=DC， AC=DF 在 ABC与 DEF中， ， ABC DEF（ SAS）， ACB= DFE， BC EF 【点评】本题考查全等三角形 的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型 6.（ 2018江苏宿迁 12 分 ） 如图，在边长为 1的正方形 ABCD中，动点 E.F分别在边 AB.CD上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D重合）
30、，点 C落在点 N 处， MN与 CD 交于点 P，设 BE=x， （ 1）当 AM= 时，求 x的值； （ 2）随着点 M在边 AD 上位置的变化， PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （ 3）设四边形 BEFC的面积为 S，求 S与 x之间的函数表达式，并求出 S的最小值 . 【分析】（ 1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 Rt AME中，根据勾股定理得（ 1-x） 2+ =x2 ， 解 得： x= . （ 2） PDM的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、 BP，过点 B作 BH MN，根据折叠性质知 BE=ME
31、，由等边对等角得 EBM= EMB，由等角的余角相等得 MBC= BMN，由全等三角形的判定 AAS得 Rt ABM Rt HBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM， AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定 HL 得 Rt BHP Rt BCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长和 等量代换即可得出 PDM周长为定值 2. （ 3）过 F作 FQ AB，连接 BM，由折叠性质可知： BEF= MEF,BM EF，由等角的余角相等得 EBM= EMB= QFE，由全等三角形的判定 ASA得 Rt ABM Rt QFE，据全等三角形的性质得 AM=QE；设 AM 长为 a，在 R
32、t AEM 中，根据勾股定理得（ 1-x） 2+a2=x2,从而得 AM=QE= , BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S与 x的函数关系式；又由（ 1-x）2+a2=x2,得 x= =AM=BE， BQ=CF= -a（ 0a1），代入梯形面积公式即可转为关于 a的二次函数，配方从而求得 S的最小值 . 【详解】解：（ 1）由折叠性质可知： BE=ME=x， 正方形 ABCD边长为 1， AE=1-x， 在 Rt AME中， AE2+AM2=ME2 ， 即（ 1-x） 2+ =x2 ， 解得： x= . （ 2） PDM的周长不会发生变化，且为定值 2. 连接 BM、 BP，
33、过点 B作 BH MN， BE=ME， EBM= EMB， 又 EBC= EMN=90 ，即 EBM+ MBC= EMB+ BMN=90 ， MBC= BMN， 又 正方形 ABCD， AD BC， AB=BC， AMB= MBC= BMN， 在 Rt ABM和 Rt HBM 中， , Rt ABM Rt HBM（ AAS）， AM=HM， AB=HB=BC， 在 Rt BHP和 Rt BCP 中， , Rt BHP Rt BCP（ HL）， HP=CP， 又 C PDM=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2. PDM的周长不会发生变化，且为定值 2
34、. （ 3）解：过 F作 FQ AB，连接 BM， 由折 叠性质可知： BEF= MEF,BM EF， EBM+ BEF= EMB+ MEF= QFE+ BEF=90, EBM= EMB= QFE， 在 Rt ABM和 Rt QFE 中， , Rt ABM Rt QFE（ ASA）， AM=QE， 设 AM长为 a，在 Rt AEM中， AE2+AM2=EM2,即（ 1-x） 2+a2=x2, AM=QE= , BQ=CF=x- ， S= （ CF+BE） BC = （ x- +x） 1= （ 2x- ） , 又 （ 1-x） 2+a2=x2, x= =AM=BE， BQ=CF= -a， S=
35、 （ -a+ ） 1= （ a2-a+1） = （ a- ） 2+ ， 0a1， 当 a= 时， S 最小值 = . 【点睛】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，翻折变换（折叠问题） . 8.（ 2018江苏苏州 10 分）如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D， CE垂直 AB，垂足为 E延长 DA交 O于点 F，连接 FC， FC与 AB 相交于点 G，连接 OC （ 1）求证： CD=CE； （ 2）若 AE=GE，求证： CEO是等腰直角三角形 【分析】（ 1）连接 AC，根据切线的性质和已知得： AD
36、OC，得 DAC= ACO，根据 AAS证明 CDA CEA（ AAS），可得结论； （ 2）介绍两种证法： 证法一：根据 CDA CEA，得 DCA= ECA，由等腰三角形三线合一得： F= ACE= DCA= ECG，在直角三角形中得： F= DCA= ACE= ECG=22.5 ，可得结论； 证法二：设 F=x，则 AOC=2 F=2x，根据平 角的定义得： DAC+ EAC+ OAF=180 ，则3x+3x+2x=180，可得结论 【解答】证明：（ 1）连接 AC， CD是 O的切线， OC CD， AD CD， DCO= D=90 ， AD OC， DAC= ACO， OC=OA，
37、CAO= ACO， DAC= CAO， CE AB， CEA=90 ， 在 CDA和 CEA中， ， CDA CEA（ AAS）， CD=CE； （ 2）证法 一：连接 BC， CDA CEA， DCA= ECA， CE AG， AE=EG， CA=CG， ECA= ECG， AB是 O的直径， ACB=90 ， CE AB， ACE= B， B= F， F= ACE= DCA= ECG， D=90 ， DCF+ F=90 ， F= DCA= ACE= ECG=22.5 ， AOC=2 F=45 ， CEO是等腰直角三角形； 证法二：设 F=x，则 AOC=2 F=2x， AD OC， OAF
38、= AOC=2x， CGA= OAF+ F=3x， CE AG， AE=EG， CA=CG， EAC= CGA， CE AG， AE=EG， CA=CG， EAC= CGA， DAC= EAC= CGA=3x， DAC+ EAC+ OAF=180 ， 3x+3x+2x=180， x=22.5 ， AOC=2x=45 ， CEO是等腰直角三角形 【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用 9. （ 2018杭州 12分）
39、23.如图，在正方形 ABCD 中，点 G在边 BC上（不与点 B， C重合），连接 AG，作 DE AG，于点 E， BF AG于点 F，设 。 （ 1）求证： AE=BF； （ 2）连接 BE， DF，设 EDF=， EBF=求证： （ 3）设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H， AHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S1和 S2 ， 求 的最大值 【答案】 （ 1）因为四边形 ABCD是正方形，所以 BAF+ EAD=90 ，又因为 DE AG，所以 EAD+ ADE=90 ， 所以 ADE= BAF， 又因为 BF AG， 所以 DEA= AFB=90 ， 又因为 AD=AB
40、所以 Rt DAE Rt ABF， 所以 AE=BF （ 2）易知 Rt BFG Rt DEA，所以 在 Rt DEF和 Rt BEF中， tan = ，tan = 所以 ktan = = = = =tan 所以 （ 3）设正方形 ABCD的边长为 1，则 BG=k，所以 ABG的面积等于 k因为 ABD 的面积等于 又因为 =k，所以 S1= 所以 S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= 因为 0 k 1，所以当 k= ，即点 G为 BC中点时， 有最大值 【考点】 全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】 【分析】（ 1）根据正方形的性质
41、及垂直的定义，可证得 ADE= BAF， ADE= BAF及 AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得 Rt DAE Rt ABF，从而可证得结论。 （ 2）根据已知易证 Rt BFG Rt DEA，得出对应边成比例，再在 Rt DEF和 Rt BEF中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出 tan 、 tan ，从而可推出 tan =tan 。 （ 3）设正方形 ABCD 的边长为 1，则 BG=k，分别表示出 ABG、 ABD 的面积，再根据 =k,求出 S1及 S2 ， 再求出 S1与 S2之比与 k的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据 k的取值范围，即可求解。 10（ 2018临安 6
42、分 ）已知：如图， E.F是平行四边形 ABCD的对角线 AC上的两点， AE=CF 求证：（ 1） ADF CBE； （ 2） EB DF 【分析】 （ 1）要证 ADF CBE，因为 AE=CF，则两边同时加上 EF，得到 AF=CE，又因为 ABCD是平行四边形，得出 AD=CB， DAF= BCE，从而根据 SAS推出两三角形全等； （ 2）由全等可得到 DFA= BEC，所以得到 DF EB 【解答】 证明：（ 1） AE=CF， AE+EF=CF+FE，即 AF=CE 又 ABCD是平行四边 形， AD=CB， AD BC DAF= BCE 在 ADF与 CBE中 ， ADF CB
43、E（ SAS） （ 2） ADF CBE， DFA= BEC DF EB 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、AAS、 ASA.HL 注意： AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等 时，角必须是两边的夹角 11. （ 2018嘉兴 6 分 ）已知：在 ABC 中， AB=AC， D 为 AC 的中点， DE AB， DF BC，垂足分别为点 E， F，且 DE=DF求证： ABC是等边三角形 【答案】 证明见解析 . 【解析】 分析：由等腰三角形的性质得到 B= C再用 HL 证明
44、 Rt ADE Rt CDF，得到 A= C，从而得到 A= B= C，即可得到结论 详解： AB=AC， B= C DE AB， DF BC， DEA= DFC=Rt D为的 AC 中点， DA=DC 又 DE=DF， Rt AED Rt CDF(HL)， A= C， A= B= C， ABC是等边三角形 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质解题的关键是证明 A= C 12. （ 2018广西桂林 8分 ） 如图，点 A.D.C.F在同一条直线上， AD=CF， AB=DE， BC=EF. (1)求证： ABC DEF； (2)若 A=55 ， B=88 ，求 F的度数 . 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 37 【解析】分析：（ 1） 先证明 AC=DF，再运用 SSS证明 ABCDEF ； （ 2）根据三角形内角和定理可求 ACB=37 ，由（ 1）知 F=ACB ，从而可得结论 . 解析：（ 1） AC=AD+DC ， DF=DC+CF，且 AD=CF AC=DF 在 ABC和 DEF中， ABCDEF （ SSS） （ 2）由（ 1）可知， F=ACB A=55 ， B=88 ACB=180 （
