1、2013 中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)例 3 如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 的两侧作正方形 BEFG 和正方形 DMNK，恰好使得N、 A、 F 三点在一直线上，连接 MF 交线段 AD 于点 P，连接 NP，设正方形 BEFG 的边长为x，正方形 DMNK 的边长为 y（1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）当 NPF 的面积为 32 时，求 x 的值；（3）以 P 为圆心， AP 为半径的圆能否与以 G 为圆心， GF 为半径的圆相切？如果能，请求出 x 的值，如果不能，请说明理由解析：（1）正方形 BEFG、正方形 DMNK、正方形 ABC
2、D E F90 O ， AE MC， MC NK AE NK， KNA EAF KNA EAF， ，即 NKEA KAEF yx 6 y 6x y x6（0 x 6）（2）由（1）知 NK AE， AN AF正方形 DMNK， AP NM， 1FPPM AFAN FP PM， S MNP S NPF 32 S 正方形 DMNK 2 S MNP 64 y8， x2（3）连接 PG，延长 FG 交 AD 于点 H，则 GH AD易知： AP ， AH x， PH x， HG6； PG AP GF xy2 y2 y2当两圆外切时在 Rt GHP 中， PH 2 HG 2 PG 2，即 ( x )26
3、 2 ( x )2y2 y2解得： x33 （舍去）或 x33 3 3当两圆内切时在 Rt GHP 中， PH 2 HG 2 PG 2，即 ( x )26 2 ( x )2y2 y2方程无解所以，当 x3 3 时，两圆相切3例 4 已知：正方形 ABCD 的边长为 1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E，射线 AF 与射线 CD 交于点 F， EAF45，连接 EF（1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段 EF、 BE、 DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设 BE x， DF y，当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点 B、 C），求 y 关于 x 的函数解析
4、式，并指出 x 的取值范围；（3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点 B），点 F 在射线 CD 上运动试判断以 E 为圆心，以 BE 为半径的 E 和以 F 为圆心，以 FD 为半径的 F 之间的位置关系；N KGCEDFA BPM（4）如图 2，当点 E 在 BC 的延长线上时，设 AE 与 CD 交于点 G问： EGF 与 EFA 能否相似？若能相似，求出 BE 的长，若不可能相似，请说明理由解析：（1）猜想： EF BE DF证明：将 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得 ABF ，易知点 F 、 B、 E 在同一直线上（如.图1） AF AF F AE1323904545
5、EAF又 AE AE， AF E AFE EF F E BE BF BE DF（2）在 Rt EFC 中， EC 2 FC 2 EF 2 EC1 x， FC1 y， EF x y( 1 x )2( 1 y )2( x y )2 y （0 x 1）1 x1 x（3）当点 E 在点 B、 C 之间时，由（1）知 EF BE DF，故此时 E 与 F 外切；当点 E 在点 C 时， DF0， F 不存在.当点 E 在 BC 延长线上时，将 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得 ABF （如图 2）则 AF AF，12， BF DF， F AF90 F AE EAF45又 AE AE， AF E A
6、FE EF EF BE BF BE DF此时 E 与 F 内切综上所述，当点 E 在线段 BC 上时， E 与 F 外切；当点 E 在 BC 延长线上时， E 与 F内切（4） EGF 与 EFA 能够相似，只要当 EFG EAF45 即可此时 CE CF设 BE x， DF y，由（3）知 EF x y在 Rt CFE 中， CE 2 CF 2 EF 2( x1 )2( 1 y )2( x y )2 y （ x 1）x 1x 1由 CE CF，得 x11 y，即 x11 x 1x 1化简得 x 22 x10，解得 x11 （舍去）， x21 2 2 EGF 与 EFA 能够相似，此时 BE
7、的长为 1 2例 5 已知：如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， B90， AD2， BC6， AB3 E为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长；（2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFG 为正方形B EFG，当点 E 与点 C 重合时停止平移设平移的距离为 t，正方形 B EFG 的边 EF 与 AC交于点 M，连接 B D， B M， DM是否存在这样的 t，使 B DM 是直角三角形？若存在，ABDC
8、EF图 1ABDC EFG图 2ABDC EFG图 2F12ABDCEF图 1F12求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形 B EFG 与 ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围解析：（1）如图，设正方形 BEFG 的边长为 x则 BE FG BG x AB3， BC6， AG AB BG3 x GF BE， AGF ABC ，即 AGAB GFBC 3 x3 x6解得 x2，即 BE2（2）存在满足条件的 t，理由如下：如图，过 D 作 DH BC 于点 H则 BH AD2， DH AB3由题意得
9、： BB HE t， HB | t2|， EC4 t在 Rt B ME 中， B M 2 B E 2 ME 22 2( 2 t )2 t 22 t812 14 EF AB， MEC ABC ，即 ， ME2 tMEAB ECBC ME3 4 t6 12在 Rt DHB 中， B D 2 DH 2 B H 23 2( t2 )2 t 24 t13过 M 作 MN DH 于点 N则 MN HE t， NH ME2 t12 DN DH NH3( 2 t ) t112 12在 Rt DMN 中， DM 2 DN 2 MN 2 t 2 t154（）若 DB M90，则 DM 2 B M 2 B D 2即
10、 t 2 t1( t 22 t8 )( t 24 t13 )，解得 t 54 14 207（）若 B MD90，则 B D 2 B M 2 DM 2即 t 24 t13( t 22 t8 )( t 2 t1 )，解得 t13 ， t23 14 54 17170 t 4， t3 17（）若 B DM90，则 B M 2 B D 2 DM 2即 t 22 t8( t 24 t13 )( t 2 t1 )，此方程无解14 54综上所述，当 t 或3 时， B DM 是直角三角形207 17BACDBACD备用图BACD图EFGBACD图EFGH BMNBACD图EFGB H（3）当 0 t 时， S
11、 t 243 14当 t 2 时， S t 2 t 43 18 23当 2 t 时， S t 22 t 103 38 53当 t 4 时， S t 103 12 52提示：当点 F 落在 CD 上时，如图FE2， EC4 t， DH3， HC4由 FEC DHC，得 FEEC DHHC即 ， t 24 t 34 43当点 G 落在 AC 上时，点 G 也在 DH 上（即 DH 与 AC 的交点）t2当点 G 落在 CD 上时，如图GB 2， B C6 t由 GB C DHC，得 G BB C DHHC即 ， t 26 t 34 103当点 E 与点 C 重合时， t4当 0 t 时，如图43
12、MF t， FN t12 S S FMN t t t 212 12 14当 t 2 时，如图43 PF t ， FQ PF t143 34 34 S FPQ ( t )( t1 ) t 2 t 12 43 34 38 23 S S FMN S FPQ t 2( t 2 t ) t 2 t 14 38 23 18 23当 2 t 时，如图103 B M B C ( 6 t )3 t12 12 12 GM2( 3 t ) t112 12BACD图EFGBM NBACD图EFGBMNPQBACD图EFGBPQMNBACD图EFGBH S 梯形 GMNF ( t1 t )2 t112 12 12 S S 梯形 GMNF S FPQ ( t1 )( t 2 t ) t 22 t 38 23 38 53当 t 4 时，如图103 PB B C ( 6 t ) t34 34 92 34 GP2( t ) t 92 34 34 52 S 梯形 GPQF ( t t1 )2 t 12 34 52 34 32 72 S S 梯形 GMNF S 梯形 GPQF ( t1 )( t ) t 32 72 12 52 BACD图EFGBPQNM
