1、 / 212013 中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)例 1 如图，菱形 ABCD 的边长为 12cm，B30 ，E 为 AB 上一点，且 AE4cm动点P 从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动，PE 交射线 DA 于点 M，设运动时间为 t（s）（1）当 t 为何值时，MAE 的面积为 3cm2 ？（2）在点 P 出发的同时，动点 Q 从点 D 出发，以 1cm/s 的速度沿 DC 边向点 C 运动，连接 MQ、 PQ，试求 MPQ 的面积 S（cm 2）与 t（s）之间的函数关系式，并求出当 t 为何值时，MPQ 的面积最大，最大值为多少？（3）连接 EQ，则
2、在运动中，是否存在这样的 t，使得PQE 的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的 t 的个数，并选择其一求出相应的 t 的值；若不存在，请说明理由来源:学优中考网来源:学优中考网解析：（1）四边形 ABCD 为菱形，ADBC，EAMEBP.AE4cm，BE8cm，BPt cm，AM t cm12由 SEAM 3cm 2、MAE 30 、AE4cm，得 t23，解得 t612 12当 t 为 6s 时，MAE 的面积为 3cm2（2）ADBC，S 梯形 PCDM ( 12t12 t )6 72 t来源 :学优中考网 xYzkw12 12 32S MQD ( 12 t ) t t 2
3、3t ，S PCQ ( 12t )( 12t ) 来源:学优中考网12 12 12 18 12 12 t 2 24t 1444SS 梯形 PCDM SMQD SPCQ t 2 t3638 32S t 2 t36 ( t2) 2 38 32 38 752当 t2 时，MPQ 的面积最大，最大值为 752（3）存在，t 的值有两个PQE 的外心恰好在它的一边上，PQE 为直角三角形PQECQE90， 只能EPQ90或PEQ90选择求EPQ90时的 t 值（若求PEQ90 时的 t 值，则计算相当复杂）BPDQ，BC DC，PQBDPEBDACBD，PE ACABDQCPEMABDQCPEMABDC
4、E备用图又BABC， BP BP8cm当 t8s 时，EPQ 90例 2 如图所示，在菱形 ABCD 中，AB4，BAD 120 ，AEF 为正三角形，点 E、F分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合（1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BECF；（2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值解析：（1）证明：连接 AC菱形 ABCD 中，BAD 120BAC60，B60ABC 是正三角形，ABAC又AEF 为正三角形，EAF60，AEAF而BAC60，BAE CAFABE ACF，BECF（2）当 E、F 在 BC、CD 上滑动时，四边形 AECF 的面积不发生变化，其值为 4 3由（1）知，S ABE S ACFS 四边形 AECF S ABC 4 24 3而CEF 的面积发生变化，其最大值为 3S CEF S 四边形 AECF S AEF 4 AE 23当 AEBC 时， AE 的长最小，最小值为 ABsin60，即 AE4 2 3S CEF 的最大值为 4 (2 )23 3 3来源:学优中考网ACBFEDACBFED
