1、第 3 节 等腰三角形与直角三角形基础过关一、精心选一选1(2014广东)一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为( A )A17 B15C13 D13 或 172(2014滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B )A4，5，6 B1.5，2，2.5C2，3，4 D1， ，323(2013龙岩)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A(0 ，2)，B(0，6)，动点 C 在直线yx 上，若以 A，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是( B )A2 B3 C4 D54(2014威海)如图，在ABC 中，ABC50，ACB60，点 E 在 BC 的延长
2、线上，ABC 的平分线 BD 与ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，下列结论中不正确的是( B )ABAC 70 BDOC90CBDC 35 DDAC555(2014南充)如图，在ABC 中，ABAC，且 D 为 BC 上一点，CDAD ，ABBD ，则B 的度数为( B )A30 B36 C40 D456(2013天门)如图，在ABC 中，ABAC，A120，BC6 cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则MN 的长为 ( C )A4 cm B3 cm C2 cm D1 cm7(2013淄博)如
3、图，ABC 的周长为 26，点 D，E 都在边 BC 上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC10，则 PQ 的长为( C )A. B. C3 D432 52二、细心填一填8(2013黔西南州)如图，已知ABC 是等边三角形，点 B，C ，D ，E 在同一直线上，且 CG CD，DFDE，则E_15_度,第 8 题图) ,第 9 题图)9(2014天津)如图，在 RtABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且BDBC ，AE AC，则DCE 的大小为_45_度10(2013莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所
4、有的三角形都是直角三角形，若正方形 A，B，C ，D 的面积分别为 2，5，1，2，则最大的正方形E 的面积是 _10_11如图，梯形 ABCD 中，ABDC，ADCBCD90且 DC2AB，分别以DA，AB ，BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为 S1，S 2，S 3，则 S1，S 2，S 3 之间的关系是_S 1S 3S 2_,第 11 题图) ,第 12 题图)12(2014凉山州)如图，圆柱形容器高 18 cm，底面周长为 24 cm，在杯内壁离杯底 4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到达内壁
5、B 处的最短距离为_20_cm .13(2013锦州)在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于点 E， 垂足为 D，连接 BE，已知 AE5，tanAED ，则 BECE_6 或 16_3414(2013沈阳)已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是_1 或 7_三、用心做一做15在ABC 中，AB AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AEAF，BF 与 CE 相交于点 P，求证： PBPC.并请直接写出图中其他
6、相等的线段解：AEAF，ACAB ，A A ，ACEABF( SAS)，ABF ACE ，AB AC，ABCACB， PBCPCB，PBPC. 其他相等线段：BECF，PEPF，BFCE16(2014温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，DEAB，过点 E 作 EFDE ，交 BC 的延长线于点 F.(1)求F 的度数；(2)若 CD2， 求 DF 的长解：(1)ABC 是等边三角形 ，B60，DEAB，EDCB60，EF DE，DEF90，F90EDC30 (2)ACB60，EDC60，EDC 是等边三角形，EDDC2 ，DEF90，F30，DF 2DE
7、417(2014杭州)把一条 12 个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段长为 4 个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍(1)不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用尺规作出这些三角形；(用给定的单位长度，不写作法 ，保留作图痕迹)(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长解：(1)3，4，5；4，4，4 (2)R 12.5，外接圆周长为 5 ；R 2 ，外接圆周长为43383318如图，在ABC 中，ABC45，CD AB，BEAC，垂足分别为 D，E，点 F 是 BC 的中点，BE 与 DF，DC 分别交于点 G，H ， ABECBE.(1)线段 BH 与 AC 相等
8、吗？若相等 ，给予证明，若不相等 ，请说明理由；(2)求证：BG 2 GE2EA 2.解：(1)相等证DBH DCA ，得 BHAC (2)连接 CG，证ABECBE，得ECEA ，在 RtCGE 中，由勾股定理得 CG2GE 2EC 2，可证 GF 垂直平分BC，BG CG，BG 2GE 2EA 2挑战技能19(2013泸州)如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，O 是斜边 AB 的中点，点 D，E 分别在直角边 AC， BC 上，且DOE 90，DE 交 OC 于点 P，则下列结论：图形中全等的三角形只有两对；ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍；CD CE OA；AD
9、2BE 22OPOC. 其中正确的结论有( C )2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个20(2014珠海)如图，在等腰 RtOAA 1 中，OAA 190，OA1，以 OA1 为直角边作等腰 RtOA 1A2，以 OA2 为直角边作等腰 RtOA 2A3， 则 OA6 的长度为_8_21(2014金华)如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点E，F， 连接 AF，BE 相交于点 P.若 AECF.(1)求证：AFBE，并求APB 的度数；(2)若 AE2， 试求 APAF 的值解：(1)由 SAS 可证ABECAF， AFBE，ABECAF，ABEBAF CAF
10、BAFBAC60，APB 180 60120 (2)由(1)得AFCAEP，又PAECAF ，APE ACF， ，APAFAEAC 2612APAC AEAF22(2014重庆)如图，ABC 中，BAC90，ABAC，AD BC，垂足是D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E.在ABC 外有一点 F，使 FAAE，FCBC.(1)求证：BECF ；(2)在 AB 上取一点 M，使 BM2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME.求证：MEBC； DEDN.解：(1)BAC90，ABAC，B ACB 45 ，FC BC，BCF90，ACF904545 ，B ACF，BAC90，FAAE
11、，BAE CAE90，CAF CAE 90， BAECAF ，又ABAC ，ABEACF( ASA)，BECF (2)过点 E 作 EHAB 于 H，则BEH 是等腰直角三角形，HE BH，BEH45， AE 平分BAD ，ADBC ，DE HE，DEBH HE，BM 2DE ，HEHM，HEM是等腰直角三角形，MEH 45，BEM454590，MEBC 由题意得CAE45 45 67.5，CEA180 4567.567.5，12CAECEA67.5，ACCE ，由 HL 可证 Rt ACMRtECM， ACM ECM 4522.5，又DAE 4522.5，12 12DAE ECM，BAC90
12、，ABAC，AD BC，AD CD BC，由 ASA12可证ADE CDN，DE DN23(1)操作发现：如图，D 是等边ABC 边 BA 上一动点( 点 D 与点 B 不重合)，连接 DC， 以 DC 为边在 BC 上方作等边DCF，连接 AF， 你能发现 AF 与 BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；(2)类比猜想：如图，当动点 D 运动至等边ABC 边 BA 的延长线时，其他作法与(1) 相同，猜想 AF 与 BD 在(1) 中的结论是否仍然成立？(3)深入探究：.如图，当动点 D 在等边ABC 边 BA 上运动时( 点 D 与 B 不重合)，连接 DC，以 DC 为边在 BC
13、上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF，连接AF， BF，探究 AF，BF与 AB 有何数量关系？并证明你探究的结论；.如图，当动点 D 在等边 ABC 的边 BA 的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论解：(1)AFBD，证BCD ACF(SAS)即可(2)仍然成立，证BCD ACF(SAS)即可 (3).AFBFAB.由(1) 知BCD ACF(SAS)，则 BDAF.同理BCF ACD(SAS) ，则BFAD，AFBFBD ADAB .中的结论不成立，新的结论是 AFABBF.易证BCF ACD(SAS)，BFAD.由(2)知AFBD ，AFBDAB ADABBF
