1、第二节 一元二次方程及应用,怀化七年中考命题规律)年份 题型 题号 考查点 考查内容 分值 总分2016 选择 4 根的判别式已知一元二次方程，判别根的情况4 42015 选择 7 根与系数的 关系已知一元二次方程，求方程的两根的平方和4 42014 解答 23根与系数的关系和根的判别式先利用根的判别式求字母的取值范围，再利用根与系数的关系在此范围下求字母的值，从而求代数式的值或最值10 102012 解答 22根与系数的关系和根的判别式考查利用根与系数的关系解题应结合根的判别式思考10 102011 解答 22 根的判别式考查含有字母的一元二次方程的根的情况10 10命题规律纵观怀化七年中考
2、，一元二次方程的解法和应用，没有单独设题，主要涉及根的判别式和根与系数的综合应用，而且大多以解答题形式呈现，选择题只出现一次，题目难度中等 .命题预测预计2017年怀化中考考查根的判别式与根的系数关系的可能性很大，来源:学优高考网gkstk应强化训练，一元二次方程的应用也应注意，不容忽视 .,怀化七年中考真题及模拟)解一元二次方程1(2015靖州模拟)用配方法解方程x 24x10，配方后的方程是 ( A )A(x2) 23 B(x2) 2 3C(x2) 25 D(x2) 25根与系数的关系(1次)2(2015怀化中考)设x 1，x 2是方程x 25x30的两个根，则 x x 的值是( C )
3、来源:gkstk.Com21 2A19 B 25 C31 D30根的判别式和根与系数的关系(4次)3(2016怀化中考)一元二次方程x 2x10的根的情况为 ( A )A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根4(2011怀化中考)已知：关于x的方程ax 2(13a)x2a10.(1)当a取何值时，二次函数yax 2(13a)x2a1的对称轴是x2；(2)求证：a取任何实数时，方程ax 2(13a)x2a10总有实数根解：(1)依题意得 2，a1；1 3a2a(2)(13a) 24a(2a1)9a 26a 18a 24aa 22a1(a1) 20，即方程ax 2(1
4、3a)x2a10总有实数根5(2012怀化中考)已知x 1，x 2是一元二次方程(a6)x 22ax a 0的两个实数根(1)是否存在实数a，使x 1x 1x24x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 11)(x 21)为负整数的实数 a的整数值解：x 1，x 2是一元二次方程(a6)x 22ax a0的两个实数根， 即 (a 6 0，（2a）2 4（a 6）a 0， ) a 6，a 0.)1)假设存在实数a 使x 1x 1x24x 2成立，则4(x 1x 2)x 1x20，4 0，即a24.a24满足 2aa 6 aa 6a0且a6，存在实数a 24，使x
5、1x 1x24x 2成立； (2)(x11)(x 21) (x 1x 2)x 1x21 1 2aa 6 aa 6 ，要使其为负整数，则只需a为7，8，9，12. 6a 66(2014怀化中考)设m是不小于 1的实数，使得关于x的方程x 22(m2)x m 23m30有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若 1，求 的值；1x1 1x2 13 2m(2)求 m 2的最大值mx11 x1 mx21 x2解：方程有两个不相等的实数根，b 24ac4(m2) 24(m 23m3)4m40，m0 ；(2) |x 1x 2|1，|x 1x 2|2 1，(x 1x 2)2(x 1x 2)24x 1x21
6、，2 2 1，解得m8.4（m 2）m9(2016原创)对于实数a ，b，定义新运算 “*”：a*b 例如：4*2，因为42，所以4*24 2a2 ab（a b），ab b2（a0)的方程配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的_完全平方_式，右边是一个非负常数公式法求根公式为_x (b24ac0) _，适用于所有的一 b b2 4ac2a元二次方程因式分解法因式分解法的步骤：(1) 将方程右边化为_0_；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3) 令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的
7、解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x的一元二次方程ax 2bxc0(a0)的解法：(1)当b0，c0时，x 2 ，考虑用直接开平方法解；(2)当c0，b0时，用因式分解法解；(3)当a 1，bca为偶数时，用配方法解简便一元二次方程根的判别式3根的判别式：一元二次方程ax 2bxc0(a0)的根的情况可由_b 24ac_来判定，我们将_b 24ac _称为根的判别式4判别式与根的关系：(1)当b 24ac0 方程有_两个不相等_的实数根；(2)当b 24ac0.一元二次方程的应用5列一元二次方程解应用题的步骤：审题；设未知数；列方程；解方程；检验；做结论6一元二次方程应用问题常见的等量关
8、系：(1)增长率中的等量关系：增长率增量基础量；(2)利率中的等量关系：本息和本金利息，利息本金利率时间；(3)利润中的等量关系：毛利润售出价进货价，纯利润售出价进货价其他费用，利润率利润进货价【方法点拨】利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法称为让根回家来源:学优高考网,中考重难点突破)一元二次方程的概念及解法【例1】(1)若方程(m1)xm 21mx50是关于x的一元二次方程，则m_(2)解方程：(x 1)(2x1)3(x1)【解析】第(2)题中，方程两边都含有因式(x 1)，如果在方程两边同时约去(x1) ，就会导致方程失去一
9、个根x1，本题可先移项，利用分解因式法求解【学生解答】解：(1)1；(2)方程化为(x 1)(2x1) 3(x1)0，即(x 1)(2x13)0，所以x10或2x40，所以方程的解为x 11，x 22.【点拨】解一元二次方程时，不能随便在方程两边约去含未知数的代数式，否则，可能导致方程失去一个根1(2016怀化学业考试指导)下列方程中是关于x的一元二次方程的是 ( C ) 来源:学优高考网Ax 2 0 Bax 2bxc 01x2C(x1)(x2)1 D3x 22xy5y 202(2015溆浦模拟)用配方法解一元二次方程x 24x5 0，此方程可变形为( A )A(x2) 29 B(x2) 2
10、9C(x2) 21 D(x2) 213解下列方程(1)(2016安徽中考 )x22x4；解：x 22x15，(x1) 25，x1 ，x 11 ，x 21 ；5 5 5(2)(2016天津中考 )x2x120.解：(x4)(x 3)0，x40或x30，x 14，x 23.一元二次方程根与系数的关系和判别式【例2】(2015怀化中考)已知关于x的一元二次方程x 22(m1)xm 210.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1x 2)216x 1x2，求实数m的值【学生解答】解：(1)由题意有2(m1) 24(m 21) 0，整理得8m 8
11、0，解得m1，实数m的取值范围是m1；(2)由两根关系，得x 1x 22(m1) ，x 1x2m 21，(x 1x 2)216x 1x2，(x 1x 2)23x 1x2160，2(m1) 23(m 21) 160，m 28m90，解得m 9或m1，m1，m1.【点拨】通过根与系数关系求得的m 值必须满足0.4(2016昆明中考)一元二次方程x 24x40的根的情况是 ( B )来源:gkstk.ComA有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定5(2016凉山中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 262x 的两根，则x 1x 1x2x 2的值是( D )A B. C D
12、.43 83 83 43一元二次方程的应用【例3】(2015咸宁中考)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降咸宁市 2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率【解析】先设咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，那么把2013年烟花爆竹销售量看作单位1，在此基础上可求2014年的年销售量，以此类推可求2015年的年销售量，而2015年的年销售量为9.8万箱，据此列方程即可【学生解答】解：设咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依题意得20(1x) 29.8，
13、解这个方程，得x 10.3，x 21.7，由于x 21.7不符合题意，故舍去x0.330%.答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.6(2016毕节中考)为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入， 2014年该县投入教育经费6 000万元.2016年投入教育经费8 640万元假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元解：(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有：6 000(1x) 28 64
14、0，解得x0.2.所以该县投入教育经费的年平均增长率为20%；(2)因为2016年该县投入教育经费为8 640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费y8 640(10.2) 10 368(万元) 答：2017年该县投入教育经费10 368万元7(2016原创)唐山市某商店准备进一批季节性小家电，单价 40元经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，若商店准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x元，由题意，得(x40)180 10(x52)2 000，整理，得x 2110x3 0000，解得x 150，x 260.当x50时，进货18010(50 52) 200个180个，不符合题意，舍去；当x60时，进货18010(6052)100个180个，符合题意答：该商品每个定价为60元，进货100个
