1、一元二次方程及其应用一.选择题1.（2015 上海,第 10 题 4 分）如果关于 x 的一元二次方程 x24xm 0 没有实数根，那么m 的取值范围是_【答案】【解析】2 （2015湖南省衡阳市，第 8 题 3 分）若关于 的方程 有一个根为1，则另一个根为（ ） A2 B2 C4 D33 （2015湖南省衡阳市，第 11 题 3 分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米设绿地的宽为 米，根据题意，可列方程为（ ） A B C D4 （2015湖南省益阳市，第 7 题 5 分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在
2、两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为（ ）A 20（1+2x）=80 B 220（1+x）=80 C 20（1+x 2）=80 D20（1+x） 2=80考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 增长率问题分析： 根据第一年的销售额（1+平均年增长率） 2=第三年的销售额，列出方程即可解答： 解：设增长率为 x，根据题意得 20（1+x） 2=80，故选 D点评： 本题考查一元二次方程的应用求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=B （当增长时中
3、间的“”号选“+”，当下降时中间的“” 号选“ ”） 5(2015湖南株洲 ,第 8 题 3 分)有两个一元二次方程：M： N：20axbc，其中 ，以下列四个结论中，错误的是 ( )20cxba0cA如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根；B如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同；C如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根；15D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 1x【试题分析】本题是关于一元二次方程的判别式，及根与系数的关系：A M 有两个不相等的实数根0即 24bac而此时 N 的判别式 ，
4、故它也有两个不相等的实数根；240bacBM 的两根符号相同：即 ，而 N 的两根之积 0 也大于 0，故 N 的两120cxaac个根也是同号的。C如果 5 是 M 的一个根，则有： ，我们只需要考虑将 代入 N 方程250abc15看是否成立，代入得： ，比较 与 ，可知式是由式两边同时1c除以 25 得到，故式成立。D比较方程 M 与 N 可得：故可知，它们如果有根相同的根可是 1 或1答案为：D6. （2015四川成都 ,第 8 题 3 分）关于 的一元二次方程 有两个不相等实x012xk数根，则 的取值范围是k（A） （B） （C） （D） 且11k0kk【答案】：D【解析】：这是一
5、道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则 ，然后有两个不想0k等的实数根，则 ，则有 ，所以 且 ，因024(1)01k10k此选择 。7. （2015四川凉山州,第 7 题 4 分）关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）A B C 且 D 且【答案】D- 2()()1 acx 考点：1根的判别式；2一元二次方程的定义8. （2015 四川泸州,第 10 题 3 分）若关于 的一元二次方程 有两个不x210xkb相等的实数根,则一次函数 的大致图象可能是 ykbDCBA OOOO xyxyxyyx考点：根的判别式；一次函数的图象.分析：根据一元二次方程 x22x+kb+
6、1=0 有两个不相等的实数根，得到判别式大于 0，求出kb 的符号，对各个图象进行判断即可解答：解：x 22x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，=44（kb+1）0，解得 kb0，Ak0，b0，即 kb0，故 A 不正确；Bk 0，b 0，即 kb0，故 B 正确；Ck 0，b 0，即 kb0，故 C 不正确；Dk0，b=0，即 kb=0，故 D 不正确；故选：B点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根9. （2015 四川眉山，第 8 题 3
7、分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）A （x1） 2=0 B x2+2x19=0 C x2+4=0 Dx2+x+l=0考点： 根的判别式.分析： 根据一元二次方程根的判别式，分别计算 的值，进行判断即可解答： 解：A、=0，方程有两个相等的实数根；B、=4+76=800，方程有两个不相等的实数根；C、= 160，方程没有实数根；D、=14= 3 0，方程没有实数根故选：B点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根10 （2015 山东日照 ，第
8、 9 题 4 分） ）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014 年县政府已投资 5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）A 20% B 40% C 220% D 30%考点： 一元二次方程的应用.专题： 增长率问题分析： 首先设每年投资的增长率为 x根据 2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，列方程求解解答： 解：设每年投资的增长率为 x，根据题意，得：5（1+x） 2=7.2，解得：x
9、 1=0.2=20%，x 2=2.2（舍去） ，故每年投资的增长率为为 20%故选：A点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为 a（1+x） n，其中 n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，x 是增长率11 （2015 四川广安，第 8 题 3 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A12 B 9 C 13 D12 或 9考点： 解一元二次方程因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质.分析： 求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可解答： 解：x 27x+10=0，（x2）
10、（x 5）=0，x2=0，x 5=0，x1=2，x 2=5，等腰三角形的三边是 2，2，52+25，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是 12故选：A点评： 本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长12. （2015 山东济宁，5，3 分）三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程的根，则三角形的周长为( )A.13 B.15 C.18 D.13 或 18【答案】A【解析】试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为 ，
11、那么根据三角形的三边关系，可知 3第三边9，得到合题意的边为 4，进而求得三角形周长为 3+4+6=13故选 A考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长13 （2015 甘肃兰州 ,第 6 题，4 分）一元二次方程 配方后可变形为0182xA. B. 17)4(2x 5)4(xC. D. 2【 答 案 】C【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质，以及乘法公式中的相关知识。【知识准备】完全平方公式：22)(cabba【解答过程】将各选项左边展开，并整理成一般式：A： ， ；17682x0182xB： ， ；5C： ， ；2x2xD： ， ，168018因此正确选项为 C【思维模式】此
12、类题的关键在于配方【一题多解】由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西，因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，所以本题亦可采用如下方式进行：在原方程中，取 ，此时，左边=1，右边=0，0x在各选择支中，如果变形是正确的话，左边应该始终比右边的值小 1，在 时，0xA 左=16，A 右=17； B 左=16，B 右=15，则 (即 B 被排除)；C 左=16 ，C 右=17 ； D 左=16，D 右=15，则 ；现在留下 A、C 两个选项，难道两个都是正确的吗？当然不是。我们再换一个 的值
13、试试：取 ，那么原式左边=8，原式右边=0，x1x也就是说：在同样的条件下，如果是正确的变形，那么一定是满足左边=右边8，反之，如果不满足这一条件，那么就一定是错的。当 时，A 左=25A 右8，所以1xA这里需要提醒注意的是：这样的方法只能用来排除错误，不能保证正确。如在本题中，当 时，虽然也有 C 左=C 右8，但不能就此判言 C 为正确，但因为xA，B，D 都已被排除，所以唯一留下的 C 选项必为对的。再啰嗦一句：上面介绍的“特殊值法”，在本题中其实反而显得很笨拙，但如果换个场合，有可能是一个高效、灵活的解题方法。【题目星级】14 （2015 广东省 ,第 8 题，3 分）若关于 x 的
14、方程 有两个不相等的实数根，2904xa则实数 a 的取值范围是【 】A. B. C. D.2 2a 2a【答案】C.【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式. 【分析】关于 的方程 有两个不相等的实数根，x2904xa ，即 14 90，解得 .29140 a 2a故选 C.15 （2015 甘肃兰州 ,第 11 题，4 分）股票每天的涨、跌幅均不超过 10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 ，x则 满足的方程是xA. B. 10)(2910)
15、(2xC. D. 102x 9102x【 答 案 】B【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质【知识准备】所谓某个量 ，它增长了 ，意味着增长部分是 ，那么它就由原m%p%pm来的 ，增长到了（ ） ，也就是m)1(【思路点拔】我们可以将整个原价假设为 1（如果你觉得不放心，也可以假设为 或 等a与现有字母不冲突的任何字母） ，那么跌停后的价格就是 0.9。之后两天中的第一天，是在 0.9 的基础上增加了 ，那么就是到了 ；x)1(9.0x接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为 ，但是起步价变了，已经不是 0.9，而是前一天收市之后的 ，它是在 的基础上增加到了 倍（请注意增加和)
16、1(9.0x)1(9.0)(增加到的区别） ，因此，现在的股价是 ，也就是 。)(.x219.0x【解答过程】跌停后，股价为 0.9，连续两天按照 的增长率增长后，股价为 ，2)(.根据题意，得方程 ，那么正确选项为 B。1)(9.02x【易错点津】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。【题目星级】16 （2015 安徽省 ,第 6 题，4 分）我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014 年增速位居全国第一若 2015年的快递业务量达到 4.5
17、 亿件，设 2014 年与 2013 年这两年的平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）A1.4(1x) 4.5 B1.4(12x)4.5C1.4(1x) 24.5 D1.4(1x)1.4(1 x) 24.5考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：增长率问题分析：根据题意可得等量关系：2013 年的快递业务量（1+增长率） 2=2015 年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可解答：解：设 2014 年与 2013 年这两年的平均增长率为 x，由题意得1.4（1+x） 2=4.5，故选：C点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为 a，变
18、化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x） 2=B17.（2015 山东聊城 ,第 13 题 3 分）一元二次方程 x22x=0 的解是 x 1=0，x 2=2 考点： 解一元二次方程因式分解法.分析： 本题应对方程左边进行变形，提取公因式 x，可得 x（x2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0 ”，即可求得方程的解解答： 解：原方程变形为：x（x 2）=0，x1=0，x 2=2故答案为：x 1=0，x 2=2点评： 本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要
19、根据方程的特点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法18. （2015浙江金华，第 5 题 3 分）一元二次方程 的两根为 ， ，则2x4301x2的值是【 】12xA. 4 B. 4 C. 3 D. 3【答案】D.【考点】一元二次方程根与系数的关系.【分析】一元二次方程 的两根为 ， ，2x4301x2 .123x故选 D.19. （2015四川南充,第 10 题 3 分）关于 x 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正给出四个结论：这两个方程的根都是负根； ；其中正确结论的个数是（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C ）2 个 （D
20、）3 个【答案】D考点：一元二次方程根与系数的关系.20. （2015 浙江滨州 ,第 3 题 3 分）一元二次方程 的根的情况是( )A.没有实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D .有两个不相等的实数根【答案】C考点：一元二次方程的根的判别式21. （2015 浙江滨州 ,第 5 题 3 分） 时，下列变形正确的为( )A. B. C. D.【答案】D考点：配方法解一元二次方程22 （2015 广东广州 ,第 10 题 3 分）已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（
21、）A 10 B 14 C 10 或 14 D 8 或 10考点： 解一元二次方程因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质分析： 先将 x=2 代入 x22mx+3m=0，求出 m=4，则方程即为 x28x+12=0，利用因式分解法求出方程的根 x1=2，x 2=6，分两种情况：当 6 是腰时，2 是等边；当 6 是底边时，2 是腰进行讨论注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验解答： 解：2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，224m+3m=0，m=4 ，x28x+12=0，解得 x1=2，x 2=6当 6 是腰时， 2 是等边，此时周长=6+6+2
22、=14 ；当 6 是底边时， 2 是腰，2+26，不能构成三角形所以它的周长是 14故选 B点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验23 （2015 广东佛山 ,第 9 题 3 分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2m，另一边减少了 3m，剩余一块面积为 20m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）A 7m B 8m C 9m D 10m考点： 一元二次方程的应用专题： 几何图形问题分析： 本题可设原正方形的边长为 xm，则剩余的空地长为（ x2）m
23、，宽为（x3）m根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长解答： 解：设原正方形的边长为 xm，依题意有（x3） （x 2）=20，解得：x 1=7，x 2=2（不合题意，舍去）即：原正方形的边长 7m故选：A点评：本题考查了一元二次方程的应用学生应熟记长方形的面积公式另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键24 （2015 甘肃武威 ,第 7 题 3 分）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013 年投入2500 万元，2015 年投入 3500 万元假设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A 2500x2=3600 B 2500（1
24、+ x） 2=3600C 2500（1+x %） 2=3600 D 2500（1+ x）+2500 （1+x） 2=3600考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 增长率问题分析： 根据 2013 年教育经费额（1+平均年增长率） 2=2015 年教育经费支出额，列出方程即可解答： 解：设增长率为 x，根据题意得 2500（1+x） 2=3500，故选 B点评： 本题考查一元二次方程的应用求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2=B （当增长时中间的“”号选“+”，当下降时中间的“”号选“”） 25.（2015 山
25、东省德州市，7，3 分）若一元二次方程 x2+2x+a=0 有实数解，则 a 的取值范围是（ ）A.a1 B. a4 C.a1 D.a1【答案】C考点：一元二次方根的判别式依次顺延二.填空题1.(2015江苏南昌 ,第 11 题 3 分)已知一元二次方程 的两根为 m,n ,则2430x= .22mn答案：解析：由一元二次方程根与系数关系得 mn=4, mn=3，又()2223n原式= .452.(2015江苏南京 ,第 12 题 3 分)已知方程 的一个根是 1，则它的另一个根是_ ，m 的值是 _【答案】3，4 【解析】试题分析：设方程的另一个解是 a，则 1+a=m，1a=3，解得：m=
26、 4，a=3故答案为：3，4考点：1根与系数的关系；2一元二次方程的解3 （2015 甘肃武威 ,第 16 题 3 分）关于 x 的方程 kx24x =0 有实数根，则 k 的取值范围是 k6 考点： 根的判别式；一元一次方程的解分析： 由于 k 的取值不确定，故应分 k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答解答： 解：当 k=0 时，4x =0，解得 x= ，当 k0时，方程 kx24x =0 是一元二次方程，根据题意可得：=16 4k（ ）0，解得 k6，k0，综上 k6，故答案为 k6点评： 本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程 ax2
27、+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系： 当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根同时解答此题时要注意分k=0 和 k0两种情况进行讨论4. （2015 绵阳第 17 题，3 分）关于 m 的一元二次方程 nm2n2m2=0 的一个根为 2，则n2+n2= 26 考点： 一元二次方程的解.专题： 计算题分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 4 n2n22=0，两边除以 2n 得 n+ =2 ，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+ ） 22，然后利用整体代入的方法计算解答： 解：把 m=2 代入 nm2n2m2
28、=0 得 4 n2n22=0，所以 n+ =2 ，所以原式=（n+ ） 22=（2 ） 22=26故答案为：26点评： 本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了代数式的变形能力5. （2015四川省内江市，第 15 题，5 分）已知关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根分别是x1，x 2，且满足 + =3，则 k 的值是 2 考点： 根与系数的关系.分析： 找出一元二次方程的系数 a，b 及 c 的值，利用根与系数的关系求出两根之
29、和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值解答： 解：3x 2+2x11=0 的两个解分别为 x1、x 2，x1+x2=6，x 1x2=k，+ = = =3，解得：k=2，故答案为：2点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键6. （2015 四川省宜宾市，第 11 题，3 分）关于 x 的一元一次方程 x2x+m=0 没有实数根，则 m 的取值范围是 . 1m47. （2015 四川省宜宾市，第 13 题，3 分）某楼盘 2013 年房价为每平方米 8100 元，经过两年连续降价后，2015
30、年房价为 7600 元.设该楼盘这两年房价平均降低率为 x，根据题意可列方程为 .2810760(x)8. （2015 浙江省台州市，第 15 题）.关于 x 的方程 ，有以下三个结论：210mx当 m=0 时，方程只有一个实数解当 时，方程有两个不等的实数解无论 m 取0何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）9. （2015 四川泸州,第 15 题 3 分）设 、 是一元二次方程 的两实数根，1x22510x则 的值为 .21x考点：根与系数的关系.分析：首先根据根与系数的关系求出 x1+x2=5，x 1x2=1，然后把 x12+x22 转化为x12+x22=（x 1+x2） 2
31、2x1x2，最后整体代值计算解答：解：x 1、x 2 是一元二次方程 x25x1=0 的两实数根，x1+x2=5，x 1x2=1，x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=25+2=27，故答案为 27点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大10. （ 2015四川成都,第 25 题 4 分）如果关于 的一元二次方程 有两个实x20axbc数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）方程 是倍根方程；20x若 是倍根方程，则
32、 ；()mn22450mn若点 在反比例函数 的图像上，则关于 的方程 是倍根方()pq，2yxx230pxq程；若方程 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线20axbc(1)Mts， N(4)ts，上，则方程 的一个根为 .2y20axbc5【答案】 【解析】：研究一元二次方程 是倍根方程的一般性结论，设其中一根为 ，20axbct则另一个根为 ，因此 ，所以有2t22()3txatxa；我们记 ，即 时，方程 为倍根方程；290bac29Kc0K20bc下面我们根据此结论来解决问题：对于 ， ，因此本选项错误；210bac对于 ， ，而2()mxnx29K()()0nmn，因此本选项正确
33、；2450对于 ，显然 ，而 ，因此本选项正确；2pq2930pq对于 ，由 ， 知 ，由倍根方(1)Mts， N(4)ts，1452btbaa程的结论知 ，从而有 ，所以方程变为290bac509c， ，因此本选项错误。221543axxx25综上可知，正确的选项有： 。11. （2015四川凉山州 ,第 25 题 5 分）已知实数 m，n 满足 ，且 ，则 = 【答案】 考点：根与系数的关系12.（2015 江苏徐州 ,第 13 题 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22 xk=0 有两个相等的实数根，则 k 值为 3 考点： 根的判别式.分析： 因为方程有两个相等的实数根，则=（
34、2 ） 2+4k=0，解关于 k 的方程即可解答： 解：关于 x 的一元二次方程 x22 xk=0 有两个相等的实数根，=0，即（2 ） 24（k）=12+4k=0，解得 k=3故答案为：3点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式，当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根13 （2015 山东日照 ，第 15 题 3 分） ）如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足m2m=3， n2n=3，那么代数式 2n2mn+2m+2015= 2026 考点： 根与系数的关系.分析： 由于 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，可知 m
35、，n 是 x2x3=0的两个不相等的实数根则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=3，又 n2=n+3，利用它们可以化简 2n2mn+2m+2015=2（n+3）mn +2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n）mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值解答： 解：由题意可知：m ，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，所以 m，n 是 x2x3=0 的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m +n=1，mn =3，又 n2=n+3，则 2n2mn+2m+2015=2（n+3） mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m +n
36、）mn+2021=21（3）+2021=2+3+2021=2026故答案为：2026点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值14 （2015四川甘孜、阿坝，第 14 题 4 分）若矩形 ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程x27x+12=0 的两个实数根，则矩形 ABCD 的对角线长为 5 考点： 矩形的性质；解一元二次方程因式分解法；勾股定理.分析： 首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长解答： 解：方程 x27x+12=0，即（x 3） （x4）=0，则 x3=
37、0，x 4=0，解得：x 1=3，x 2=4则矩形 ABCD 的对角线长是： =5故答案是：5点评： 本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，正确解方程求得矩形的边长是关键解一元二次方程的基本思想是降次15 （2015 北京市 ,第 14 题，3 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0 有两个相等的实数14根，写出一组满足条件的实数 a，b 的值：a=_，b=_【考点】一元二次方程【难度】容易【答案】 （满足 b2=a， a0即可，答案不唯一）1a【点评】本题考查一元二次方程的基本概念。16. （2015甘肃兰州,第 16 题，4 分）若一元二次方程 有一根为02152bxa，
38、则 =_1xba【 答 案 】2015【考点解剖】本题考查了方程的解的概念【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。【解答过程】因为 是方程的解，所以 ，1x 0215)()1(2ba即 ，所以025ba205ba【题目星级】17. （2015 呼和浩特，15 ，3 分）若实数 a、b 满足 (4a+4b) (4a+4b2)8=0，则a+b=_.考点分析：解一元二次方程 整体思想详解： 或 112这个题目比较简单，但是道理还是不错的。设 a+b=w 并代入，则原式为 4w（4w2）8=0，再一看，还可以简单一下，设 4a+4b=m=4（a+b）并代入，则原式为 m（m2）8=
39、0，易解得 m=4 或 m=2。下面自己算了。18(2015贵州六盘水，第 13 题 4 分) 已知 x13 是关于 x 的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根 x2 是 042cx考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根解答：解：设方程的另一个根是 x2，则：3+x2=4，解得 x=1，故另一个根是 1故答案为 1点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根19 (2015黑龙江绥化，第 15 题 分)若关于 x 的一元二次方程 ax +2x1=0 无解 ，则2a 的取值范围是_考点：根的判别式；一元二次方
40、程的定义 分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 a0且=2 24a（1）0，然后求出 a 的取值范围解答：解：关于 x 的一元二次方程 ax2+2x1=0 无解，a0且 =224a（1）0，解得 a1，a 的取值范围是 a 1故答案为：a1点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义20.（2015 湖南岳阳第 12 题 4 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个相等的实数根，则 m= 考点： 根的判别式.分
41、析： 根据题意可得=0，据此求解即可解答： 解：方程 x23x+m=0 有两个相等的实数根，=94m=0，解得：m= 故答案为： 点评： 本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当 =0 时，方程有两个相等的两个实数根21.（2015 山东莱芜 ,第 15 题 4 分）某公司在 年的盈利额为 万元，预计 年的盈利额将达到 万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为_万元【答案】220【解析】试题分析：根据题意可设每年比上一年盈利额增长的百分率为 x，所以有，解得 （舍去） ，所以该公司在 2010 年的盈利额为万元.考点：一元二次方程的应用（增长率问题）22.（20
42、15 湖南邵阳第 16 题 3 分）关于 x 的方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根，则 m= 1 考点： 根的判别式.分析： 根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为 0，据此求出 m 的值即可解答： 解：关于 x 的方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根，=0，2241（m ）=0，解得 m=1故答案为；1点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根23.（2015 湖北荆州第 14 题 3 分）若 m，n 是方程 x2+x1=0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 0
43、 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解专题： 计算题分析： 由题意 m 为已知方程的解，把 x=m 代入方程求出 m2+m 的值，利用根与系数的关系求出 m+n 的值，原式变形后代入计算即可求出值解答： 解：m，n 是方程 x2+x1=0 的两个实数根，m+n=1，m 2+m=1，则原式=（m 2+m）+（m+n）=11=0，故答案为：0点评： 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键24.（2015 福建泉州第 12 题 4 分）方程 x2=2 的解是 解：x 2=2，x= 故答案为 三.解答题1 （2015 湖北鄂州第 20 题 8 分）关于
44、 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实根 .（1） （4 分）求实数 k 的取值范围（2） （4 分）若方程两实根 满足x 1+x 2=x 1x2，求 k 的值【答案】 （1）k ；（2）2.考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系2.（2015 湖北荆州第 24 题 12 分）已知关于 x 的方程 kx2+（2k +1）x+2=0 （1）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数时，若 P（a，y 1） ，Q（1，y 2）是此抛物线上的两点，且 y1y
45、2，请结合函数图象确定实数a 的取值范围；（3）已知抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 恒过定点，求出定点坐标考点： 抛物线与 x 轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征分析： （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况当该方程为一元二次方程时，根的判别式0 ，方程总有实数根；（2）通过解 kx2+（2k+1）x+2=0 得到 k=1，由此得到该抛物线解析式为 y=x2+3x+2，结合图象回答问题（3）根据题意得到 kx2+（2k+1）x+2y=0 恒成立，由此列出关于 x、y 的方程组，通过解方程组求得该定点坐标解答： （1）证明：当 k=0 时，方程为 x+2=0，所以 x=2，方程有实数根，当 k0时， =（2k +1） 24k2=（2k1） 20，即 0，无论 k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令 y=0，则 kx2+（2k+1）x+2=0，解关于 x 的一元二次方程，得 x1=2，x 2= ，二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数，k=1该抛物线解析式为 y=x2+3x+2，由图象得到：当 y1y 2 时，a1 或 a 3（3）依题意得 kx2+（2k+1）x+2y=0 恒成立，即 k（x 2+2x）+xy+2=0 恒成立，则 ，解得 或 所以
