1、一元二次方程及其应用一、选择题1. （2015 宁德 第 7 题 4 分）一元二次方程 2x2+3x+1=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根C没有实数根 D 无法确定考点： 根的判别式分析： 先求出的值，再判断出其符号即可解答： 解：=3 2421=10，方程有两个不相等的实数根故选 B点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与的关系是解答此题的关键2. （2015 酒泉第 7 题 3 分）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013 年投入 2500 万元，2015 年投入 3500 万元假设该县投入教育经费的年平均增
2、长率为 x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A2500x2=3500 B 2500（1+x） 2=3500C 2500（1+x%） 2=3500 D2500（1+x）+2500（1+x ） 2=3500考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 增长率问题分析： 根据 2013 年教育经费额（1+平均年增长率） 2=2015 年教育经费支出额，列出方程即可解答： 解：设增长率为 x，根据题意得 2500（1+x） 2=3500，故选 B点评： 本题考查一元二次方程的应用求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）
3、2=b （当增长时中间的“”号选“+”，当下降时中间的“”号选“ ”） 3. （2015 甘南州第 3 题 3 分）一元二次方程 x2+x+ =0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定根的情况考点：根的判别式.分析：求出的值即可判断解答：解：一元二次方程 x2+x+ =0 中，=1 41 =0，原方程由两个相等的实数根故选 B点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根4. （2015，广西钦州，7，3 分）用配方法解方程 ，配方后可得（
4、 ）2109xA B C D2(5)16x2(5)x2()109考点： 解一元二次方程- 配方法专题： 计算题分析： 方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可解答： 解：方程 x2+10x+9=0，整理得：x 2+10x=9，配方得：x 2+10x+25=16，即（x+5） 2=16，故选 A点评： 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键5. （2015，广西河池，7，3 分）下列方程有两个相等的实数根的是( C ) A.x2+x+1=0 B.4x2+2x+1=0 C.x2+12x+36=0 D.x2+x-2=0解析：A：0,无实数根B： 0,无实数根 C： 0,
5、有两个相等的实数根D：0,有两个不相等的实数根6 （2015重庆 A8，4 分）一元二次方程 20x的根是（ ）A. 120,x B. 12, C. D. x考点：解一元二次方程- 因式分解法 分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 解答：解： 20x， x （x 2 ）=0 ， x=0 ，x 2=0 ， X1 =0 ， x2 =2 ， 故选 D 点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一 次方程，难度适中 7 （3 分） （2015广东东莞 8，3 分）若关于 x 的方程 x2+xa+ =0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值
6、范围是（ ）A a2 B a2 C a2 D a2考点： 根的判别式分析： 根据判别式的意义得到=1 24（a+ ）0，然后解一元一次不等式即可解答： 解：根据题意得=1 24（a+ ）0，解得 a2故选 C点评： 本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根8 （2015 湖南张家界，第 6 题 3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx24x+3=0 有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A 1 B 0，1 C 1，2 D 1，2，3考点：
7、 根的判别式；一元二次方程的定义分析： 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于 0 列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集得到 k 的范围，即可确定出 k 的非负整数值解答： 解：根据题意得：=1612k0，且 k0，解得：k ，则 k 的非负整数值为 1故选：A点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根9. （2015 河北 ,第 12 题 2 分）若关于 x 的方程 x2+2x+a=0 不存在实数根，则 a 的取值范围是（ ）A a1
8、B a1 C a1 D a1考点： 根的判别式分析： 根据根的判别式得出 b24ac0，代入求出不等式的解集即可得到答案解答： 解：关于 x 的方程 x2+2x+a=0 不存在实数根，b24ac=2 2 41a0，解得：a1故选 B点评： 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根10. （2015 黑龙江哈尔滨，第 8 题 3 分） （2015 哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为 60m，若将短边增大到与长边相等（长边不
9、变） ，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加 1600m2设扩大后的正方形绿地边长为 x m，下面所列方程正确的是（ ）A x（x60）=1600 B x（x+60）=1600 C 60（x+60）=1600 D 60（x60）=1600考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 几何图形问题分析： 设扩大后的正方形绿地边长为 xm，根据“ 扩大后的绿地面积比原来增加 1600m2”建立方程即可解答： 解：设扩大后的正方形绿地边长为 xm，根据题意得x260x=1600，即 x（x60）=1600故选 A点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意
10、，并找到等量关系11. （2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 10 题 3 分）学校要组织足球比赛赛制为单循环形式（每两队之间赛一场） 计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（ ）Ax 2=21 B x（x1）=21 C x2=21 D x（x1）=21考点： 由实际问题抽象出一元二次方程分析： 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，x 个球队比赛总场数= 即可列方程解答： 解：设有 x 个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x1）=21，故选：B点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本
11、题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系12. （2015 山西 ,第 5 题 3 分）我们解一元二次方程 3x26x=0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0 或 x2=0，进而得到原方程的解为 x1=0，x 2=2这种解法体现的数学思想是（ ）A转化思想 B函数思想 C数形结合思想 D 公理化思想考点： 解一元二次方程-因式分解法专题： 计算题分析： 上述解题过程利用了转化的数学思想解答： 解：我们解一元二次方程 3x26x=0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0 或 x2=0，进而
12、得到原方程的解为 x1=0，x 2=2这种解法体现的数学思想是转化思想，故选 A点评： 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13. （2015 贵州省黔东南州 ,第 5 题 4 分）设 x1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根，则x12+x22=（ ）A 6 B 8 C 10 D 12考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系得到 x1+x2=2，x 1x2=3，再变形 x12+x22 得到（x 1+x2）22x1x2，然后利用代入计算即可解答： 解：一元二次方程 x22x3=0 的两根是 x1、x 2，x 1+x2=2，x 1x2=3，x
13、 12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=222（ 3）=10 故选 C点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 14. （2015 辽宁省朝阳 ,第 7 题 3 分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）Ax 28=0 B 2x24x+3=0 C 9x2+6x+1=0 D 5x+2=3x2考点： 根的判别式分析： 分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况解答： 解：A、x 28=0，这里 a=1，b=0，c= 8，=b 24ac=0241（ 8）=32
14、0，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、2x 24x+3=0，这里 a=2，b= 4，c=3，=b 24ac=（4） 2423=80，方程没有实数根，故本选项错误；C、9x 2+6x+1=0，这里 a=9，b=6，c=1，=b 24ac=62491=0，方程有两个相等的实数根，故本选项正确；D、5x+2=3x 2，3x25x2=0，这里 a=3，b= 5，c=2，=b 24ac=（5） 243（ 2）=49 0，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选 C点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0
15、，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根15 （2015 辽宁铁岭） （第 9 题，3 分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 200 元降到 162 元设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为（ ）A200（1x） 2=162 B200 （1+x） 2=162 C162（1+x） 2=200 D162 （1 x） 2=200考点： 由实际问题抽象出一元二次方程.专题： 增长率问题分析： 此题利用基本数量关系：商品原价（1平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可解答： 解：由题意可列方程是：200（1x） 2=168故选 A点评： 此题考查一元二次方程的应用最基本数量关
16、系：商品原价（1 平均每次降价的百分率）=现在的价格16 （4 分） （2015黔西南州） （第 7 题）某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的宽为 x 米，则可列方程为（ ）A x（x11）=180 B 2x+2（x11）=180 C x（x+11 ）=180 D 2x+2（x+11）=180考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 增长率问题分析： 根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可解答： 解：设宽为 x 米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选 C点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是
17、根据矩形的面积公式列出方程17 （2015 辽宁抚顺） （第 4 题，3 分）.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）Ax 22x+1=0 B 2x2x+1=0 C 4x22x3=0 D x26x=0考点： 根的判别式.分析： 根据一元二次方程根的判别式判断即可解答： 解：A、=4 4=0，方程 x22x+1=0 有两个相等实数根；B、 =1420，方程 2x2x+1=0 无实数根；C、 =4+443=520，方程 4x22x3=0 有两个不相等实数根；D、=360，方程 x26x=0 有两个不相等实数根；故选 A点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系
18、：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根二、填空题1. （2015 酒泉第 16 题 3 分）关于 x 的方程 kx24x =0 有实数根，则 k 的取值范围是 k6 考点： 根的判别式；一元一次方程的解分析： 由于 k 的取值不确定，故应分 k=0（此时方程化简为一元一次方程）和 k0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答解答： 解：当 k=0 时， 4x =0，解得 x= ，当 k0时，方程 kx24x =0 是一元二次方程，根据题意可得：=16 4k（ ）0 ，解得 k6，k0 ，综上 k6，故答案为 k6点评： 本题考查的是根的判
19、别式，注意掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根同时解答此题时要注意分 k=0 和 k0两种情况进行讨论2. （2015，广西柳州，17，3 分）若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+m=0 的一个根，则 m 的值为 3 考点： 一元二次方程的解分析： 将 x=1 代入方程得到关于 m 的方程，从而可求得 m 的值解答： 解：将 x=1 代入得：1+2+m=0，解得：m=3故答案为：3点评： 本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入
20、方程得到关于m 的方程是解题的关键3 （2015 内蒙古赤峰 10，3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2（a+5）x+8a=0 的两个实数根分别为 2 和 b，则 ab= 4 考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系得到 ，通过解该方程组可以求得 a、b 的值解答： 解：关于 x 的一元二次方程 x2（a+5）x+8a=0 的两个实数根分别是 2、b，由韦达定理，得 ，解得， ab=14=4故答案是：4点评： 本题考查了根与系数的关系x 1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2= ，x 1x2= ，反过来也成立，即 =（x 1+x2） ， =x1
21、x24 （2015 吉林，第 9 题 3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 0 （写出一个即可） 考点： 根的判别式专题： 开放型分析： 若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围解答： 解：一元二次方程 x2x+m=0 有两个不相等的实数根，=14m0，解得 m ，故 m 的值可能是 0，故答案为 0点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的根的判别式=b24ac当0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根
22、；当0 时，方程没有实数根注意本题答案不唯一，只需满足 m 即可5 （2015 丹东，第 15 题 3 分）若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根，那么 a= 3 考点： 一元二次方程的解分析： 根据方程的根的定义将 x=1 代入方程得到关于 a 的方程，然后解得 a 的值即可解答： 解：将 x=1 代入得：1+2+a=0，解得：a=3故答案为：3点评： 本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键6. （2015 齐齐哈尔 ,第 14 题 3 分）ABC 的两边长分别为 2 和 3，第三边的长是方程x28x+15=0 的根，则AB
23、C 的周长是 8 考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系分析： 先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长解答： 解：解方程 x28x+15=0 可得 x=3 或 x=5，ABC 的第三边为 3 或 5，但当第三边为 5 时，2+3=5，不满足三角形三边关系，ABC 的第三边长为 3，ABC 的周长为 2+3+3=8，故答案为：8点评： 本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键7. （2015黄冈 ,第 10 题 3 分）若方程 x2-2x-1=0 的两根分别为 x1，x 2，则 x1+x2-x1x2 的值
24、为_.考点：根与系数的关系 专题：计算题 分析：先根据根与系数的关系得到 x1 +x2 =2 ，x 1 x2 = 1，然后利用整体代入的方法计算 解答：解：根据题意得 x1 +x2 =2 ，x 1 x2 = 1， 所以 x1+x2-x1x2 =2 （1）=3 故答案为 3 点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1 ，x 2 是一元二次方程 ax2 + bx + c=0 （a0 ）的两根时， x1 +x2 = ，x 1 x2 = abc8. （2015 青海，第 3 题 2 分）已知关于 x 的一元二次方程 2x23mx5=0 的一个根是1，则 m= 1 考点： 一元二次方程的解分析： 设一元二
25、次方程 2x23mx 5=0 的另一个根 a，利用根与系数的关系先求出 a，再得利用根与系数的关系先求出 m 即可解答： 解：设一元二次方程 2x23mx 5=0 的另一个根 a，a（1）= ，解得 a= ， +（1）= ，解得 m=1故答案为：1点评： 本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系9. （2015 黑龙江省大庆 ,第 16 题 3 分）方程 3（x5） 2=2（x5）的根是 x 1=5，x 2= 考点： 解一元二次方程-因式分解法专题： 计算题分析： 方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可解答： 解：方程变形得：3（x5） 22（x5）=0，分解因式得
26、：（x5）3（x5 ） 2=0，可得 x5=0 或 3x17=0，解得：x 1=5，x 2= 故答案为：x 1=5，x 2=点评： 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键10 （2015 辽宁省盘锦 ,第 12 题 3 分）方程（x+2 ） （x 3）=x+2 的解是 x 1=2，x 2=4 考点： 解一元二次方程- 因式分解法分析： 先移项，再提取公因式，求出 x 的值即可解答： 解：原式可化为（x+2） （x3）（x+2）=0，提取公因式得， （x+2） （x 4）=0，故 x+2=0 或 x4=0，解得 x1=2，x 2=4故答案为：x 1=2，x 2=
27、4点评： 本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键11 （2015 辽宁铁岭） （第 15 题，3 分）已知关于 x 的方程 x22x+a=0 有两个实数根，则实数 a 的取值范围是 a1 考点： 根的判别式.专题： 计算题分析： 由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于 0，即可确定出 a 的范围解答： 解：方程 x22x+a=0 有两个实数根，=44a0，解得：a1，故答案为：a1点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键12 （2015 葫芦岛） （第 14 题，3 分）若一元二次方程（m1）x 2
28、4x5=0 没有实数根，则 m 的取值范围是 m 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义分析： 据关于 x 的一元二次方程（m 1）x 24x5=0 没有实数根，得出=164（m1 ） （5）0，从而求出 m 的取值范围解答： 解：一元二次方程（m 1）x 24x5=0 没有实数根，=164（m 1） （5）0，且 m10，m 故答案为：m 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）的根的判别式=b 24ac ：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根三、解答题1 （2015 甘南州第 15 题 6 分）白溪镇 2012 年有绿
29、地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到 82.8 公顷（1）求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为 x，就可以表示出 2014 年的绿地面积，根据 2014 年的绿地面积达到 82.8 公顷建立方程求出 x 的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论解答：解：（1）设绿地面积的年平均增长率为 x，根据意，得 57.5（1+x） 2=82.8 解得：x 1=0.2，x 2=2.2（
30、不合题意，舍去）答：增长率为 20%； （2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36 万元答：2015 年该镇绿地面积不能达到 100 公顷点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键2. （2015 黑龙江省大庆 ,第 21 题 5 分）已知实数 a，b 是方程 x2x1=0 的两根，求 + 的值考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系得到 a+b=1，ab=1，再利用完全平方公式变形得到 + = ，然后利用整体代入的方法进行计算解答： 解：实数 a，b 是方程 x2x1=0 的两根
31、，a+b=1，ab=1 ， + = = =3点评： 本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 3 （2015 湖北十堰，第 21 题 7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m+3 ）x+m2+2=0（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1、x 2，且满足 x12+x22=31+|x1x2|，求实数 m 的值考点： 根的判别式；根与系数的关系分析： （1）根据根的判别式的意义得到0，即（2m+3） 24（m 2+2）0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到
32、x1+x2=2m+3，x 1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x 1+x2）24x 1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果解答： 解：（1）关于 x 的一元二次方程 x2（2m+3）x+m 2+2=0 有实数根，0，即（2m+3 ） 24（ m2+2）0，m ；（2）根据题意得 x1+x2=2m+3，x 1x2=m2+2，x 12+x22=31+|x1x2|，（x 1+x2） 22x 1x2=31+|x1x2|，即（2m+3） 2 2（m 2+2）=31+m 2+2，解得 m=2，m=14（舍去） ，m=2点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b
33、24ac ：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程根与系数的关系4. （2015 梧州 ,第 22 题 8 分）向阳村 2010 年的人均收入为 12000 元，2012 年的人均收入为 14520 元，求人均收入的年平均增长率考点： 一元二次方程的应用所有专题： 增长率问题分析： 设这两年的平均增长率为 x，2010 年的人均收入（1+平均增长率） 2=2012 年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率解答： 解：设这两年的平均增长率为 x，由题意得：12000（1+x） 2=14520，解得：x 1=2.1（不合题意舍去）
34、 ，x 2=0.1=10%答：这两年的平均增长率为 10%点评： 本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入（1+ 增长率） 1 （6 分） （2015广东东莞 17，6 分）解方程：x 23x+2=0 考点： 解一元二次方程-因式分解法分析： 把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x1） （x2） ，再利用积为 0 的特点求解即可解答： 解：x 23x+2=0，（ x1） （x2）=0，x 1=0 或 x2=0 ，x1=1，x 2=2点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用
