1、 中考第 19 题 4一解答题（共 30 小题）来源:学优高考网1如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E，F 为对角线 AC 上两点，连接ED，EB，FD ，FB给出以下结论： BEDF；BE=DF； AE=CF请你从中选取一个条件，使1=2 成立，并给出证明2已知：如图，E，F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE，连接DE，DF，BE，BF四边形 DEBF 为平行四边形求证：四边形 ABCD 是平行四边形3如图，在平行四边形 ABCD 中，C=60 ，M、N 分别是 AD、BC 的中点，BC=2CD （1）求证：四边形 MNCD 是平行四边形；（2）求证：BD= M
2、N4如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E、F 是对角线 BD 上的点，1= 2（1）求证：BE=DF ；（2）求证：AFCE5如图，在ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 是边 CD 的中点，点 F 在 BC的延长线上，且 CF= BC，求证：四边形 OCFE 是平行四边形6如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点（1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形；（2）若A=60，AB=2AD=4，求 BD 的长7如图，平行四边形 ABCD 中，AB=3 ，BC=5，B=60， G 是 CD 的中点，E 是边 AD 上的动点，EG 的延长线
3、与 BC 的延长线交于点 F（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；（2）当 AE= 时，四边形 CEDF 是矩形；当 AE= 时，四边形 CEDF 是菱形8如图，已知平行四边形 ABCD，过 A 作 AMBC 于 M，交 BD 于 E，过 C 作 CNAD 于N，交 BD 于 F，连结 AF、CE（1）求证：BMEDNF；（2）求证：四边形 AECF 为平行四边形9如图，已知点 M、N 分别为ABCD 的边 CD、AB 的中点，连接 AM、CN（1）判断 AM、CN 的位置关系，并说明理由；（2）过点 B 作 BHAM 于点 H，交 CN 于点 E，连接 CH，判断线段 CB、CH 的数
4、量关系，并说明理由10如图，BD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 BC、AB 上，且 DEAB，EF AC（1）求证：BE=AF ；（2）若ABC=60，BD=6 ，求四边形 ADEF 的面积11已知，如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，E 是 BO 的中点，过点 B 作AC 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，连结 BF（1）求证：FB=AO ；（2）当平行四边形 ABCD 满足什么条件时，四边形 AFBO 是菱形？证明你的结论12如图，ABCD 中，ABC=60，E，F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFBC，EF= ，求 AB 的长13如图，
5、在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；（2）如果G=90，C=60， BC=2，求四边形 DEBF 的面积14如图，在四边形 ABCD 中， ADBC，AB= ，BC=4，连接 BD，BAD 的平分线交 BD于点 E，且 AECD（1）求 AD 的长；（2）若C=30，求四边形 ABCD 的周长15如图，四边形 ABCD 为平行四边形， AEBD 于 E，CF BD 于 F，垂足分别为 E、F（1）求证：BF=DE ；（2）连接 CE、AF，证明四边形 CE
6、AF 是平行四边形16如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC=45，E、F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFC=30，AB=2 求 CF 的长17已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点（1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形；（2）若A=60，AB=8，AD=4，求 BD 的长18如图，在ABC 中，D、 E 分别是 AB、AC 的中点，延长 DE 到点 F，使 EF=DE，连接CF（1）求证：四边形 BCFD 是平行四边形；（2）若 BD=4，BC=6 ，F=60，求 CE 的长19如图，在四边形 ABCD 中， ABDC，DB
7、平分 ADC，E 是 CD 的延长线上一点，且AEC= ADC（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形（2）若 DBCB，BCD=60，CD=12 ，作 AHBD 于 H，求四边形 AEDH 的周长20如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB ，DN 交 AC 于点 M，若 MA=MC（1）求证：CD=AN；（2）若 ACDN， CAN=30，MN=1 ，求四边形 ADCN 的面积21如图，在 RtABC 中，ACB=90，D、E 分别为 AB，AC 边上的中点，连接 DE，将ADE 绕点 E 旋转 180得到CFE，连接 AF，AC（1）求证：四边形 ADCF 是菱形；（2）若 B
8、C=8， AC=6，求四边形 ABCF 的周长22如图，四边形 ABCD 中， A=90，ADBC，BECD 于 E 交 AD 的延长线于F，DC=2AD，AB=BE（1）求证：AD=DE （2）求证：四边形 BCFD 是菱形23如图，梯形 ABCD 中，AD BC，将梯形 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕 AE 交边 BC 于点 E，联结 DE（1）求证：四边形 ABED 是菱形；（2）若ABC=60，则当底边 AD 满足什么数量关系时，有 ABCD？请证明你的结论24如图，在ABC 中，D、 E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，过点 C 作 CFBE 交 DE的延长
9、线于 F（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE=4，BCF=120，求菱形 BCFE 的面积25如图，在矩形 ABCD 中， M、N 分别是 AD、BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点（1）求证：四边形 MPNQ 是菱形；（2）若 AB=2，BC=4 ，求四边形 MPNQ 的面积26如图，在ABC 中，D、 E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点 F，使得EF=BE，连接 CF（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE=4，BCF=120，求菱形 BCFE 的面积27如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD，CB=CD，E 是 CD
10、 上一点，BE 交 AC 于 F，连接DF（1）证明：BAC= DAC，AFD=CFE（2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，使得EFD= BCD，并说明理由28如图，在ABC 中，ACB=90，AC=3 ，BC=4D 是 BC 边上一点，直线 DEBC 于D，交 AB 于 E，CFAB 交直线 DE 于 F设 CD=x（1）当 x 取何值时，四边形 EACF 是菱形？请说明理由；（2）当 x 取何值时，四边形 EACD 的面积等于 3？29如图，在ABCD 中，DB 平分ADC ，E 是 AB 的中点，EC 与对角线 BD 交于点 F
11、，若FB=FC，求ECB 的度数30已知矩形 BEDG 和矩形 BNDQ 中，BE=BN，DE=DN（1）将两个矩形叠合成如图 10，求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若菱形 ABCD 的周长为 20，BE=3，求矩形 BEDG 的面积中考第 19 题 4一解答题（共 30 小题）1如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E，F 为对角线 AC 上两点，连接ED，EB，FD ，FB给出以下结论： BEDF；BE=DF； AE=CF请你从中选取一个条件，使1=2 成立，并给出证明考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 欲证明1=2，只需证得四
12、边形 EDFB 是平行四边形或ABFCDE 即可解答： 解：方法一：补充条件BEDF证明：如图，BEDF，BEC=DFA，BEA=DFC，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AB CD，BAE=DCF，在ABE 与CDF 中，ABECDF（ASA ），BE=DF，四边形 BFDE 是平行四边形，EDBF，1=2；方法二：补充条件AE=CF证明：AE=CF，AF=CE四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AB CD，BAF=DCE，在ABF 与CDE 中，ABFCDE（SAS），1=2点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质全等三角形的判定是结合全等三角形的
13、性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件2已知：如图，E，F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE，连接DE，DF，BE，BF四边形 DEBF 为平行四边形求证：四边形 ABCD 是平行四边形考点： 平行四边形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 由“平行四边形的对角线相互平分”推知 OD=OB，OE=OF；然后结合已知条件推知四边形 ABCD 的对角线互相平分，则易证得结论解答： 证明：如图，连结 BD 交 AC 于点 O四边形 DEBF 为平行四边形，OD=OB，OE=OF，AF=CE，AFEF=CEEF，即 AE=CF，AE
14、+OE=CF+OF，即 OA=OC四边形 ABCD 是平行四边形点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法3如图，在平行四边形 ABCD 中，C=60 ，M、N 分别是 AD、BC 的中点，BC=2CD （1）求证：四边形 MNCD 是平行四边形；（2）求证：BD= MN考点： 平行四边形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： （1）根据平行四边形的性质，可得 AD 与 BC 的关系，根据 MD 与 NC 的关系，可得证明结论；（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得DNC 的度数，根
15、据三角形外角的性质，可得DBC 的度数，根据正切函数，可得答案解答： 证明：（1）ABCD 是平行四边形，AD=BC，ADBC ，M、N 分别是 AD、BC 的中点，MD=NC，MDNC ，MNCD 是平行四边形；（2）如图：连接 ND，MNCD 是平行四边形，MN=DCN 是 BC 的中点，BN=CN，BC=2CD，C=60，NCD 是等边三角形ND=NC，DNC=60DNC 是BND 的外角，NBD+NDB=DNC，DN=NC=NB，来源:学优高考网DBN=BDN= DNC=30，BDC=90tan ，DB= DC= MN点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的
16、四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数4如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E、F 是对角线 BD 上的点，1= 2（1）求证：BE=DF ；（2）求证：AFCE考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： （1）利用平行四边形的性质得出5=3，AEB=4，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出 AE=CF，进而得出四边形 AECF 是平行四边形，即可得出答案解答： 证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AB CD，5=3，1=2，AEB=4，在ABE 和CDF 中，ABECDF（AAS
17、），BE=DF；（2）由（1）得ABECDF，AE=CF，1=2，AECF，四边形 AECF 是平行四边形，AFCE点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出ABECDF 是解题关键5如图，在ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 是边 CD 的中点，点 F 在 BC 的延长线上，且 CF= BC，求证：四边形 OCFE 是平行四边形考点： 平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理菁优网版权所有专题： 证明题分析： 利用三角形中位线定理判定 OEBC，且 OE= BC结合已知条件 CF= BC，则 OE CF，由 “有一组对边平行且相
18、等的四边形为平行四边形” 证得结论解答： 证明：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 O 是 BD 的中点又点 E 是边 CD 的中点，OE 是BCD 的中位线，OEBC，且 OE= BC又CF= BC，OE=CF又点 F 在 BC 的延长线上，OECF，四边形 OCFE 是平行四边形点评： 本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理6如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点（1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形；（2）若A=60，AB=2AD=4，求
19、 BD 的长考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形菁优网版权所有分析： （1）根据平行四边形的性质和平行四边形的判定方法证明即可；（2）过点 D 作 DGAB 于点 G，利用已知条件和锐角三角函数以及勾股定理即可求出 BD 的长解答： （1）证明：如图四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD 且 AB=CD，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AE= AB，DF= CDAE=DF，四边形 AEFD 是平行四边形；（2）解：过点 D 作 DGAB 于点 GAB=2AD=4，AD=2在 RtAGD 中，AGD=90， A=60，AD=2，AG=ADcos60=1，DG=ADsi
20、n60= BG=ABAG=3在 RtDGB 中，DGB=90，DG= ，BG=3，DB= = =2 点评： 本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和特殊角的锐角三角函数、勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不大7如图，平行四边形 ABCD 中， AB=3，BC=5，B=60， G 是 CD 的中点，E 是边 AD 上的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；（2）当 AE= 3.5 时，四边形 CEDF 是矩形；当 AE= 2 时，四边形 CEDF 是菱形考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
21、菁优网版权所有分析： （1）证CFGEDG，推出 FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出MBAEDC，推出CED=AMB=90，根据矩形的判定推出即可；求出CDE 是等边三角形，推出 CE=DE，根据菱形的判定推出即可解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，CFED，FCD=GCD，又CGF= EGDG 是 CD 的中点，CG=DG，在FCG 和EDG 中，CFGEDG（ASA），FG=EG，CG=DG，四边形 CEDF 是平行四边形；（2）解：当 AE=3.5 时，平行四边形 CEDF 是矩形，理由是：过 A 作 AMBC 于 M，B=60，AB=3，BM=1.5，
22、四边形 ABCD 是平行四边形，CDA=B=60，DC=AB=3 ， BC=AD=5，AE=3.5，DE=1.5=BM，在MBA 和EDC 中，MBAEDC（SAS），CED=AMB=90，四边形 CEDF 是平行四边形，四边形 CEDF 是矩形，故答案为：3.5；当 AE=2 时，四边形 CEDF 是菱形，理由是：AD=5，AE=2，DE=3，CD=3，CDE=60，CDE 是等边三角形，CE=DE，四边形 CEDF 是平行四边形，四边形 CEDF 是菱形，故答案为：2点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意
23、：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形8如图，已知平行四边形 ABCD，过 A 作 AMBC 于 M，交 BD 于 E，过 C 作 CNAD 于N，交 BD 于 F，连结 AF、CE（1）求证：BMEDNF；（2）求证：四边形 AECF 为平行四边形考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： （1）根据 ABCD 为平行四边形，得到 AD 与 BC 平行且相等，由 AM 垂直于BC，CN 垂直于 AD，得到 AM 与 CN 平行，再由平行四边形 ABCD，得到 BC 与 AD 平行，BC=AD，进而确定出 AMCN 为
24、平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到 AN=CM，进而得到 DN=BM，利用 ASA 得证；（2）由（1）得到 NF=EM，AM=CN，且 AM 与 CN 平行，得到 AE 与 CF 平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证解答： 证明：（1）ABCD 为平行四边形，ADBC，AD=BC ，AMBC，CNAD，NDF=MBE，AMCN，AMCN 为平行四边形，AN=CM，ADAN=BCCM，即 DN=BM，在BME 和DNF 中，BMEDNF（ASA ）；（2）由（1）得：NF=ME ，AM=CN，AMCN，AMEM=CNNF，即 AE=CF，则四边形 AECF 为平
25、行四边形点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键9如图，已知点 M、N 分别为ABCD 的边 CD、AB 的中点，连接 AM、CN（1）判断 AM、CN 的位置关系，并说明理由；（2）过点 B 作 BHAM 于点 H，交 CN 于点 E，连接 CH，判断线段 CB、CH 的数量关系，并说明理由考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有分析： （1）利用平行四边形的性质得出 AN MC，进而利用平行四边形的判定得出答案；（2）利用平行线分线段成比例定理得出 HE=EB，以及利用平行线的性质得出 N
26、CHB，再利用线段垂直平分线的性质得出答案解答： 解：（1）AM NC，理由：点 M、N 分别为ABCD 的边 CD、AB 的中点，AB=CD，MC=AN，ABCD，AN MC，四边形 ANCM 是平行四边形，AMNC；（2）BC=HC，理由：AMNC，AN=BN，BE=HE，BHAM，EBNE，NC 垂直平分 HB，HC=BC点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和判定以及平行线的性质等知识，得出HE=BE 是解题关键10如图，BD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 BC、AB 上，且 DEAB，EF AC（1）求证：BE=AF ；（2）若ABC=60，BD=6 ，求四边形 ADEF
27、 的面积考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30度角的直角三角形菁优网版权所有专题： 几何图形问题分析： （1）由 DEAB，EF AC，可证得四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE，又由 BD 是ABC 的角平分线，易得 BDE 是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，易求得 DG 与 DE 的长，继而求得答案解答： （1）证明：DE AB，EF AC，四边形 ADEF 是平行四边形，ABD= BDE，AF=DE，BD 是ABC 的角平分线，ABD=DBE，DBE=BDE，BE=
28、DE，BE=AF；（2）解：过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，ABC=60，BD 是ABC 的平分线，ABD=EBD=30，DG= BD= 6=3，BE=DE，BH=DH= BD=3，BE= =2 ，DE=BE=2 ，四边形 ADEF 的面积为：DEDG=6 点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用11已知，如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，E 是 BO 的中点，过点 B 作AC 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，连结 BF（1）求证
29、：FB=AO ；（2）当平行四边形 ABCD 满足什么条件时，四边形 AFBO 是菱形？证明你的结论考点： 平行四边形的判定与性质；菱形的判定菁优网版权所有分析： （1）如图，取 BC 的中点 G由三角形中位线定理易证 EG= BF= OC；则由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得四边形 AOBF 为平行四边形所以平行四边形的对边相等：FB=AO ；（2）若四边形 AFBO 是菱形，则 OB=OA故当平行四边形 ABCD 的对角线相等，即平行四边形 ABCD 是矩形时，四边形 AFBO 是菱形解答： 证明：（1）如图，取 BC 的中点 G，连接 EGE 是 BO 的中点，EG 是B
30、FC 的中位线，EG= BF同理，EG= OC，BF=OC又点 O 是ABCD 的对角线交点，AO=CO，BF=AO又BF AC，即 BFAO，四边形 AOBF 为平行四边形，FB=AO；（2）当平行四边形 ABCD 是矩形时，四边形 AFBO 是菱形理由如下：平行四边形 ABCD 是矩形，OA=OB，平行四边形 AFBO 是菱形点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；矩形的对角线相等12如图，ABCD 中，ABC=60，E，F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFBC，EF= ，求 AB
31、的长考点： 平行四边形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理菁优网版权所有分析： 首先证明四边形 ABDE 是平行四边形，AB=DE=CD，即 D 是 CE 的中点，在直角CEF 中利用三角函数即可求得到 CE 的长，则求得 CD，进而根据 AB=CD 求解解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，AB=CD，AEBD，四边形 ABDE 是平行四边形，AB=DE=CD，即 D 为 CE 中点，EFBC，EFC=90，ABCD，DCF=ABC=60，CEF=30，EF= ，CE=2，AB=1点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，正确理解 D 是CE
32、 的中点是关键13如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；（2）如果G=90，C=60， BC=2，求四边形 DEBF 的面积考点： 平行四边形的判定与性质菁优网版权所有分析： （1）根据平行四边形的性质得出 ADBC，DCAB，DC=AB，推出DF=BE，DFBE，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出DBC 式直角三角形，求出三角形的面积，即可求出答案解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DC AB，DC=AB，E、F 分别
33、为边 AB、CD 的中点，DF=BE，DF BE，四边形 DEBF 是平行四边形；（2）解：AG BD，G=90，DBC=90，C=60，BC=2 ，DC=2BC=4，由勾股定理得：BD=2 ，DBC 的面积是 BDBC= 2 2=2 ，来源:学优高考网F 为 DC 的中点，DBF 的面积是 SDBC= 2 = ，四边形 DEBF 是平行四边形，四边形 DEBF 的面积是 2SDBF=2 点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，题目是一道比较好的题目，难度适中14如图，在四边形 ABCD 中， ADBC，AB=
34、 ，BC=4，连接 BD，BAD 的平分线交 BD 于点 E，且 AECD（1）求 AD 的长；（2）若C=30，求四边形 ABCD 的周长考点： 平行四边形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有分析： （1）延长 AE 交 BC 于点 F，根据等角对等边即可证得 BF=AB，然后证明四边形 AFCD 是平行四边形，据此即可求解；（2）过 B 作 AF 的垂线 BG，垂足为 G在 RtBGF 中利用三角函数即可求得 GF 的长，进而求得 DC 的长，则四边形的周长即可求解解答： 解：（1）延长 AE 交 BC 于点 FAE 平分BAD，BAF=DAFADBC，AFB=DAF，BAF=AFB，
35、BF=AB= BC=4，FC=4 = AFDC，AD BC，四边形 AFCD 是平行四边形，AD=FC= （2）过 B 作 AF 的垂线 BG，垂足为 GAFDC，AFB=C=30，在 RtBGF 中，GF=BFcos30= = ，DC=AF=2GF=2 = 四边形 ABCD 的周长 AB+BC+CD+DA= +4+ + =8+ 点评： 考查了平行四边形的判定，三角函数的应用的综合题，正确作出辅助线是关键15如图，四边形 ABCD 为平行四边形， AEBD 于 E，CF BD 于 F，垂足分别为 E、F（1）求证：BF=DE ；（2）连接 CE、AF，证明四边形 CEAF 是平行四边形考点：
36、平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： （1）证明ADECBF 即可；（2）证明 AE DF 即可解答： （1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，AD=BC，ADBC ，ADE=CBF又 AEBD 于 E，CFBD 于 F，AED=CFB=90在ADE 与CBF 中，ADECBF（AAS ），BF=DE；（2）由（1）知，ADECBF，则 AE=CF如图，AE BD 于 E，CFBD 于 F，AEFC，四边形 CEAF 是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质平行四边形
37、的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法16如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC=45，E、F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFC=30，AB=2 求 CF 的长考点： 平行四边形的判定与性质菁优网版权所有分析： 首先证明四边形 ABDE 是平行四边形，可得 AB=DE=CD，即 D 为 CE 中点，然后再得 CE=4，再利用三角函数可求出 HF 和 CH 的长即可解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB=DC，AEDB，四边形 ABDE 是平行四边形，AB=DE=CD，即 D 为 CE 中点，AB=2
38、，CE=4，ABCD，ECF=ABC=45，过 E 作 EHBF 于点 H，CE=4， ECF=45，EH=CH=2 ，EFC=30，FH=2 ，CF=2 +2 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等17已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点（1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形；（2）若A=60，AB=8，AD=4，求 BD 的长考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形菁优网版权所有分析： （1）根据平行四边的性质，可得 AB 与 CD 的关系，根据线段中点的性质，可得 DF 与
39、 DC，AE 与 AB 的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；（2）根据锐角三角函数，可得 AG、DG 的长，再根据线段的和差，可得 BG 的长，根据勾股定理，可得答案解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD 且 AB=CD点 E，F 分别是 AB，CD 的中点， AE=DF四边形 AEFD 是平行四边形（2）解：过点 D 作 DGAB 于点 G，在 RtAGD 中，AGD=90，A=60，AD=4，AG=ADcos60=2，DG=ADsin60=2AB=8，BG=ABAG=6在 RtDGB 中，DGB=90， ，BG=6， 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用
40、了平行四边形的判定与性质，勾股定理，题目较简单18如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，延长 DE 到点 F，使 EF=DE，连接CF（1）求证：四边形 BCFD 是平行四边形；（2）若 BD=4，BC=6 ，F=60，求 CE 的长考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理菁优网版权所有分析： （1）根据 D、E 分别是 AB、AC 的中点，可得 ，再由EF=DE，得 ，DE+EF=DF=BC，从而得出四边形 BCFD 是平行四边形；（2）过点 C 作 CMDF 于 M，由题意得，MCF=30 ， ，在 RtCMF 中，得MC2=CF2MF2=12，再由 R
41、tNMF 中， 解答： （1）证明D 、E 分别是 AB、AC 的中点， ，EF=DE ，DE+EF=DF=BC四边形 BCFD 是平行四边形（2）解：过点 C 作 CMDF 于 M，四边形 BCFD 是平行四边形，CF=BD=4，DF=BC=6 ，EF=DE=3，F=60，MCF=30， ，RtCMF 中，MC 2=CF2MF2=12，RtEMC 中， 点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理和三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的五种判定方法19如图，在四边形 ABCD 中， ABDC，DB 平分 ADC，E 是 CD 的延长线上一点，且AEC= ADC（1）求证：四边形 AB
42、DE 是平行四边形（2）若 DBCB，BCD=60，CD=12 ，作 AHBD 于 H，求四边形 AEDH 的周长考点： 平行四边形的判定与性质菁优网版权所有分析： （1）求出AEC=1，得出 AEBD，再由 ABEC 证出四边形 ABDE 是平行四边形（2）在 RtBDC 中，求出 BD，再在在等腰ADB 中求出 DH，AH，在 RtABH 中求出 AB，进而求出四边形的四条边求周长解答： 解：（1）DB 平分ADC， ，又 ，AEC=1，AEBD，又ABEC，四边形 AEDB 是平行四边形； （2）DB 平分ADC，ADC=60，AB EC，1=2=3=30，AD=AB，又DBBC，DBC
43、=90，在 RtBDC 中，CD=12，BC=6， ，在等腰ADB 中，AHBD ，DH=BH= ，在 RtABH 中，AHB=90，AH=3， AB=6，四边形 AEDB 是平行四边形， ，ED=AB=6， ，四边形 AEDH 的周长为 点评： 本题主要考查平行四边形的判定及性质，解题的过程中要灵活运用直角三角形来求边20如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB ，DN 交 AC 于点 M，若 MA=MC（1）求证：CD=AN；（2）若 ACDN， CAN=30，MN=1 ，求四边形 ADCN 的面积考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版权所有分析：
44、 （1）利用“平行四边形 ADCN 的对边相等”的性质可以证得 CD=AN；（2）根据“直角AMN 中的 30 度角所对的直角边是斜边的一半”求得 AN=2MN=2，然后由勾股定理得到 AM= ，则 S 四边形 ADCN=4SAMN=2 解答： （1）证明：CNAB，1=2在AMD 和CMN 中，AMDCMN（ASA ），AD=CN又 ADCN，四边形 ADCN 是平行四边形，CD=AN；（2）解：ACDN，CAN=30，MN=1，AN=2MN=2，AM= = ，来源:学优高考网SAMN= AMMN= 1= 四边形 ADCN 是平行四边形，S 四边形 ADCN=4SAMN=2 点评： 本题考查
45、了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半21如图，在 RtABC 中，ACB=90，D、E 分别为 AB，AC 边上的中点，连接 DE，将ADE 绕点 E 旋转 180得到CFE，连接 AF，AC（1）求证：四边形 ADCF 是菱形；（2）若 BC=8， AC=6，求四边形 ABCF 的周长考点： 菱形的判定与性质；旋转的性质菁优网版权所有专题： 几何综合题分析： （1）根据旋转可得 AE=CE，DE=EF，可判定四边形 ADCF 是平行四边形，然后证明 DFAC，可得四边形 ADCF 是菱形；
46、（2）首先利用勾股定理可得 AB 长，再根据中点定义可得 AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案解答： （1）证明：将 ADE 绕点 E 旋转 180得到CFE，AE=CE，DE=EF ，四边形 ADCF 是平行四边形，D、E 分别为 AB，AC 边上的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，ACB=90，AED=90，DFAC，四边形 ADCF 是菱形；（2）解：在 RtABC 中，BC=8，AC=6 ，AB=10，D 是 AB 边上的中点，AD=5，四边形 ADCF 是菱形，AF=FC=AD=5，四边形 ABCF 的周长为 8+10+5+5=28点评： 此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，
