1、圆的有关性质一、选择题1.（3 分） （2015珠海）如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若C=25，则BOD 的度数是（ ）A25 B30 C40 D50考点：圆周角定理；垂径定理.分析：由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知DOB=2 C，得到答案解答：解：在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， = ，DOB=2C=50故选：D点评：本题考查了圆周角定理、垂径定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半2 （ 3 分） （2015酒泉）ABC 为O 的内接三角形，若AOC=160 ，则ABC 的度数是（ ）A 80 B 160
2、C 100 D 80或 100考点： 圆周角定理分析： 首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案ABC 的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得ABC 的度数解答： 解：如图，AOC=160，ABC= AOC= 160=80，ABC+ ABC=180，ABC=180ABC=18080=100ABC 的度数是： 80或 100故选 D点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解3.（4 分） （2015甘南州）O 过点 B，C，圆心 O 在等腰直角ABC 内部，BAC=90 ，OA=1， BC=6，则O 的半径为（ ）A
3、 B 2 C D 3考点： 垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形分析： 根据等腰三角形三线合一的性质知：若过 A 作 BC 的垂线，设垂足为 D，则 AD 必垂直平分 BC；由垂径定理可知，AD 必过圆心 O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD 的长，进而可求出 OD 的值；连接 OB 根据勾股定理即可求出 O 的半径解答： 解：过 A 作 ADBC，由题意可知 AD 必过点 O，连接 OB；BAC 是等腰直角三角形， ADBC ，BD=CD=AD=3；OD=ADOA=2；RtOBD 中，根据勾股定理，得：OB= = 故选 C点评： 本题考查的是垂 径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，
4、构造出直角三角形是解答此题的关键4. （2015 ，广西柳州，6，3 分）如图，BC 是O 的直径，点 A 是O 上异于 B，C 的一点，则A 的度数为（ ）A 60 B 70 C 80 D 90考点： 圆周角定理专题： 计算题分析： 利用直径所对的圆周角为直角判断即可解答： 解：BC 是O 的直径，A=90故选 D点评： 此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键5. （2015 ，广西玉林，8，3 分）如图，在O 中，直径 CD弦 AB，则下列结论中正确的是（ ）A AC=AB B C= BOD C C=BD A= BOD考点： 垂径定理；圆周角定理分析： 根据垂径定理得出 =
5、 ， = ，根据以上结论判断即可解答： 解：A、根据垂径定理不能推出 AC=AB，故 A 选项错误；B、直径 CD 弦 AB， = ， 对的圆周角是C， 对的圆心角是BOD，BOD=2C，故 B 选项正确；C、不能推出C= B，故 C 选项错误；D、不能推出A=BOD，故 D 选项错误；故选：B点评： 本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析6. （2015，广西河池，9，3 分）如图,在O 中,直径 ABCD,垂足为 E,BOD=48,则BAC 的大小( D )A.60 B.48 C.30 D.24第 9 题解析:连接 OC,ABCD ,BOC=BOD=48,BAC
6、= BOC=24.7、 （2015重庆 A9，4 分）如图， AB 是 OA的直径，点 C 在 OA上，AE 是OA的切线，A 为切点，连接 BC 并延长交 AE 于点 D， 若 AOC=80，则 ADB 的度数为（ ）A. 40 B. 50 C. 60 D. 20考点：切线的性质 分析：由 AB 是O 直径，AE 是O 的切线，推出 AD AB，DAC= B= AOC=40， 21推出AOD=50 解答：解：AB 是O 直径，AE 是O 的切线， BAD=90， B= AOC=40， 21ADB=90B=50， 故选 B 点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接 AC，构
7、建直角三角形， 求B 的度数 9 题图8 （ 3 分） （2015广东茂名 3 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形， B=70，则D 的度数是（ ）A 110 B 90 C 70 D 50考点： 圆内接四边形的性质分析： 先根据圆内接四边形的对角互补得出D+B=180，即可解答解答： 解： 四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D+B=180，D=18070=110，故选：A点评： 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键9 （ 2015吉林，第 6 题 2 分）如图，在O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接OC若BCD=50，则
8、AOC 的度数为（ ）A 40 B 50 C 80 D 100考点： 切线的性质分析： 根据切线的性质得出OCD=90，进而得出OCB=40，再利用圆心角等于圆周角的2 倍解答即可解答： 解：在O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，OCD=90，BCD=50，OCB=40，AOC=80，故选 C点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径10. （2015梧州 ,第 8 题 3 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，分别连接 AC、BC、CD、
9、OD若DOB=140，则ACD=（ ）A 20 B 30 C 40 D 70考点： 圆周角定理所有分析： 根据DOB=140，求出AOD 的度数，根据圆周角定理求出 ACD 的度数解答： 解：DOB=140，AOD=40，ACD= AOD=20，故选：A点评： 本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键11. （2015齐齐哈尔 ,第 6 题 3 分）如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（ ）A 8AB10 B 8AB10 C 4AB5 D 4AB5考点： 直线与圆的位置关系；勾
10、股定理；垂径定理分析： 此题可以首先计算出当 AB 与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得 AB=8若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时 AB8；又因为大圆最长的弦是直径 10，则 8AB10解答： 解：当 AB 与小圆相切，大圆半径为 5，小圆的半径为 3，AB=2 =8大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交，8AB10故选：A点评： 本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长12. （2015黑龙江省大庆 ,第 6 题 3 分）在O 中，圆心 O 到弦 AB
11、 的距离为 AB 长度的一半，则弦 AB 所对圆心角的大小为（ ）A 30 B 45 C 60 D 90考点： 垂径定理；等腰直角三角形分析： 利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出BOC 的度数进而求出解答： 解：如图所示：连接 BO，AO，圆心 O 到弦 AB 的距离为 AB 长度的一半，DO=DB，DOAB，BOC=BOC=45，则 A=AOC=45，AOB=90故选：D点评： 此题主要考查了垂径定理以及等腰直角三角形的性质，得出BOC= BOC=45是解题关键13 （ 4 分） （2015黔西南州） （第 6 题）如图，点 P 在O 外，PA、PB 分别与O 相切于A、B 两点，P=
12、50，则AOB 等于（ ）A 150 B 130 C 155 D 135考点： 切线的性质分析： 由 PA 与 PB 为圆的两条切线，利用切线性质得到 PA 与 OA 垂直，PB 与 OB 垂直，在四边形 APBO 中，利用四边形的内角和定理即可求出 AOB 的度数解答： 解：PA、PB 是O 的切线，PAOA，PBOB ，PAO=PBO=90，P=50，AOB=130故选 B点评： 此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键14 （ 2015辽宁阜新） （第 6 题，3 分）如图，点 A，B，C 是O 上的三点，已知AOB=100，那么ACB 的度数是（
13、）A 30 B 40 C 50 D 60考点： 圆周角定理专题： 计算题分析： 根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可解答： 解：AOB 与ACB 都对 ，且 AOB=100，ACB= AOB=50，故选 C点评： 此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键二、填空题1.（4 分） （2015甘南州）如图，AB 为O 的弦，O 的半径为 5，OCAB 于点 D，交O 于点 C，且 CD=1，则弦 AB 的长是 6 考点： 垂径定理；勾股定理分析： 连接 AO，得到直角三角形，再求出 OD 的长，就可以利用勾股定理求解解答： 解：连接 AO，半径是 5，CD=1，OD=51=4，
14、根据勾股定理，AD= = =3，AB=32=6，因此弦 AB 的长是 6点评： 解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线 AO，这是解题的关键2 （ 2015湖南郴州，第 14 题 3 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，若CAB=40，则ABC 的度数为 50 考点： 圆周角定理专题： 计算题分析： 根据圆周角定理得到ACB=90，然后根据三角形内角和定理计算ABC 的度数解答： 解：AB 是O 的直径，ACB=90，ABC=90CAB=9040=50故答案为 50点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推
15、论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径3 （ 2015湖南张家界，第 14 题 3 分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C 在半圆上，点 A、B 的读数分别为 100、150，则ACB 的大小为 25 度考点： 圆周角定理专题： 计算题分析： 连接 OA，OB，根据题意确定出AOB 的度数，利用圆周角定理即可求出 ACB 的度数解答： 解：连接 OA，OB，由题意得：AOB=50，ACB 与 AOB 都对 ，ACB= AOB=25，故答案为：25点评： 此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键4. （2015青海，第 9 题 2 分）
16、如图，点 O 为 所在圆的圆心， BOC=112 ，点 D 在BA 的延长线上，AD=AC，则D= 28 考点： 圆周角定理；等腰三角形的性质分析： 由 AD=AC，可得ACD=ADC，由BAC=ACD+ADC=2 D，可得BAC的度数，由D= BAC 即可求解解答： 解：AD=AC，ACD= ADC，BAC=ACD+ADC=2D，BAC= BOC= 112=56，D= BAC=28故答案为：28 点评： 本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出D 与BOC 的关系5. （2015山西,第 13 题 3 分）如图，四边形 ABCD 内接于 O，AB 为O 的直径，点 C 为的中
17、点若A=40，则B= 70 度考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系分析： 首先连接 BD，由 AB 为O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ADB 的度数，继而求得ABD 的度数，由圆的内接四边形的性质，求得 C 的度数，然后由点 C 为 的中点，可得 CB=CD，即可求得CBD 的度数，继而求得答案解答： 解：连接 BD，AB 为 O 的直径，ADB=90，A=40，ABD=90A=50，C=180A=140，点 C 为 的中点，CD=CB，CBD=CDB=20 ，ABC= ABD+CBD=70 故答案为：70 点评： 此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系注
18、意准确作出辅助线是解此题的关键6. （2015贵州省黔东南州,第 15 题 4 分）如图，AD 是O 的直径，弦 BCAD 于E，AB=BC=12，则 OC= 4 考点： 垂径定理；勾股定理分析： 如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出 AE 的长度，然后运用射影定理求出 AD的长度，即可解决问题解答： 解：如图，连接 BD；直径 ADBC，BE=CE= BC=6；由勾股定理得：AE= =6 ；AD 为O 的直径，ABD=90；由射影定理得：，AD= =8 ，OC= AD=4 ，故答案为 4 点评： 该题主要考查了垂径定理、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；
19、解题的关键是牢固掌握垂径定理、射影定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键7 （ 3 分） （2015黔西南州） （第 14 题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，若AOC=80，则B= 40 考点： 圆周角定理专题： 计算题分析： 直接根据圆周角定理求解解答： 解：AOC=80，B= AOC=40故答案为 40点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半8 （ 3 分） （2015黔西南州） （第 19 题）如图，AB 是O 的直径，CD 为O 的一条弦，CDAB 于点 E，已知 CD=4， AE=1，则O 的半径
20、为 考点： 垂径定理；勾股定理分析： 连接 OC，由垂径定理得出 CE= CD=2，设 OC=OA=x，则 OE=x1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可解答： 解 ：连接 OC，如图所示：AB 是O 的直径，CDAB，CE= CD=2，OEC=90，设 OC=OA=x，则 OE=x1，根据勾股定理得：CE 2+OE2=OC2，即 22+（x1） 2=x2，解得：x= ；故答案为： 点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键三、解答题1.（6 分） （2015酒泉）如图，已知在ABC 中，A=90（1 ）请用圆规和直
21、尺作出 P，使圆心 P 在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2 ）若B=60，AB=3 ，求 P 的面积考点： 作图 复杂作图； 切线的性质分析： （1 ）作ABC 的平分线交 AC 于 P，再以 P 为圆心 PA 为半径即可作出P；（2 ）根据角平分线的性质得到ABP=30，根据三角函数可得 AP= ，再根据圆的面积公式即可求解解答： 解：（1）如图所示，则P 为所求作的圆（2 ） B=60，BP 平分ABC，ABP=30，tanABP= ，AP= ，S P=3点评： 本题主要考查了作图复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等同
22、时考查了圆的面积2. （6 分） （2015酒泉）如图，已知在ABC 中，A=90（1 ）请用圆规和直尺作出 P，使圆心 P 在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2 ）若B=60，AB=3 ，求 P 的面积考点： 作图 复杂作图；切线的性质分析： （1 ）作ABC 的平分线交 AC 于 P，再以 P 为圆心 PA 为半径即可作出P；（2 ）根据角平分线的性质得到ABP=30，根据三角函数可得 AP= ，再根据圆 的面积公式即可求解解答： 解：（1）如图所示，则P 为所求作的圆（2 ） B=60，BP 平分ABC，ABP=30，tanABP= ，AP=
23、 ，S P=3点评： 本题主要考查了作图复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等同时考查了圆的面积3. （2015 ，广西柳州，25，10 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AD 与ABC的外接圆O 恰好相切于点 A，边 CD 与O 相交于点 E，连接 AE，BE（1 ）求证：AB=AC；（2 ）若过点 A 作 AHBE 于 H，求证：BH=CE+EH考点： 切线的性质；平行四边形的性质分析： （1）根据弦切角定理和圆周角定理证明 ABC=ACB，得到答案；（2 ）作 AFCD 于 F，证明AEHAEF ，得到 EH=EF，根据ABH ACF，得到答案解答： 证
24、明：（1）AD 与 ABC 的外接圆O 恰好相切于点 A，ABE=DAE ，又EAC=EBC，DAC= ABC，ADBC ，DAC= ACB，ABC=ACB ，AB=AC；（2 ）作 AFCD 于 F，四边形 ABCE 是圆内接四边形，ABC=AEF，又ABC=ACB，AEF= ACB，又AEB=ACB，AEH=AEF，在AEH 和AEF 中，AEHAEF，EH=EF ，CE+EH=CF，在ABH 和ACF 中，ABHACF ，BH=CF=CE+EH点评： 本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形
25、的性质的运用4 （ 9 分） （2015广东东莞 24，9 分）O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过 的中点 P作O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG、CP 、PB（1 ）如图 1，若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度数；（2 ）如图 2，在 DG 上取一点 K，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；（3 ）如图 3，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PHAB考点： 圆的综合题分析： （1）由垂径定理得出 PGBC，CD=BD ，再由三角函数求出BOD=60，证出ACPG，得出同位角相等即
26、可；（2 ）先由 SAS 证明PDBCDK，得出 CK=BP，OPB= CKD，证出 AG=CK，再证明AGCK，即可得出结论；（3 ）先证出 DHAG，得出OAG= OHD，再证 OD=OH，由 SAS 证明OBDHOP，得出OHP=ODB=90，即可得出结论解答： （1）解：点 P 为 的中点，AB 为O 直径，BP=PC，PG BC ，CD=BD，ODB=90，D 为 OP 的中点，OD= OP= OB，cosBOD= = ，BOD=60，AB 为O 直径，ACB=90，ACB=ODB，ACPG，BAC=BOD=60；（2 ）证明：由（1）知，CD=BD，在PDB 和CDK 中， ，PD
27、BCDK（SAS ） ，CK=BP，OPB=CKD，AOG=BOP，AG=BP，AG=CK，OP=OB，OPB=OBP，又 G=OBP，AGCK，四边形 AGCK 是平行四边形；（3 ）证明：CE=PE ，CD=BD，DEPB，即 DHPBG=OPB，PBAG，DHAG，OAG=OHD，OA=OG，OAG=G，ODH=OHD，OD=OH，在OBD 和HOP 中， ，OBDHOP（SAS） ，OHP=ODB=90，PHAB点评： 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3 ）中，需要通
28、过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论5 （ 2015湖北十堰，第 24 题 10 分）如图 1，ABC 内接于O，BAC 的平分线交O 于点 D，交 BC 于点 E（BEEC ） ，且 BD=2 过点 D 作 DFBC，交 AB 的延长线于点 F（1 ）求证：DF 为O 的切线；（2 ）若BAC=60，DE= ，求图中阴影部分的面积；（3 ）若 = ，DF+BF=8 ，如图 2，求 BF 的长考点： 圆的综合题专题： 综合题分析： （1）连结 OD，如图 1，由角平分线定义得BAD=CAD，则根据圆周角定理得到 = ，再根据垂径定理得 ODBC，由于 BCEF，则 ODD
29、F，于是根据切线的判定定理即可判断 DF 为O 的切线；（2 ）连结 OB，OD 交 BC 于 P，作 BHDF 于 H，如图 1，先证明OBD 为等边三角形得到ODB=60，OB=BD=2 ，易得BDF=DBP=30 ，根据含 30 度的直角三角形三边的关系，在 RtDBP 中得到 PD= BD= ，PB= PD=3，接着在 RtDEP 中利用勾股定理计算出 PE=2，由于 OPBC，则 BP=CP=3，所以 CE=1，然后利用BDEACE，通过相似比可得到 AE= ，再证明ABE AFD，利用相似比可得 DF=12，最后根据扇形面积公式，利用 S 阴影部分 =S BDFS 弓形 BD=SB
30、DF （S 扇形 BODS BOD ）进行计算；（3 ）连结 CD，如图 2，由 = 可设 AB=4x，AC=3x，设 BF=y，由 = 得到CD=BD=2 ，先证明BFDCDA ，利用相似比得到 xy=4，再证明FDBFAD，利用相似比得到 164y=xy，则 164y=4，然后解方程易得 BF=3解答： 证明：（1）连结 OD，如图 1，AD 平分BAC 交O 于 D，BAD=CAD， = ，ODBC，BCEF，ODDF，DF 为O 的切线；（2 ）连结 OB，连结 OD 交 BC 于 P，作 BHDF 于 H，如图 1，BAC=60，AD 平分BAC，BAD=30，BOD=2BAD=60
31、，OBD 为等边三角形，ODB=60，OB=BD=2 ，BDF=30 ，BCDF，DBP=30，在 Rt DBP 中，PD= BD= ，PB= PD=3，在 Rt DEP 中，PD= ， DE= ，PE= =2，OP BC，BP=CP=3，CE=32=1，易证得BDEACE ，AE：BE=CE：DE，即 AE： 5=1： ，AE=BEDF ，ABE AFD ， = ，即 = ，解得 DF=12，在 Rt BDH 中，BH= BD= ，S 阴影部分 =SBDF S 弓形 BD=SBDF （S 扇形 BODS BOD ）= 12 + （2 ） 2=9 2；（3 ）连结 CD，如图 2，由 = 可设
32、 AB=4x，AC=3x，设 BF=y， = ，CD=BD=2 ，F= ABC=ADC，FDB=DBC=DAC，BFDCDA， = ，即 = ，xy=4，FDB=DBC=DAC= FAD，而DFB=AFD，FDBFAD， = ，即 = ，整理得 164y=xy，164y=4，解得 y=3，即 BF 的长为 3点评： 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长6 （ 2015丹东，第 22 题 10 分）如图，AB 是O 的直径， = ，连接 ED、BD，延长AE 交 BD 的延长线于点 M，过点
33、D 作O 的切线交 AB 的延长线于点 C（1 ）若 OA=CD=2 ，求阴影部分的面积；（2 ）求证：DE=DM 考点： 切线的性质；扇形面积的计算分析： （1）连接 OD，根据已知和切线的性质证明 OCD 为等腰直角三角形，得到DOC=45，根据 S 阴影 =SOCD S 扇 OBD 计算即可；（2 ）连接 AD，根据弦、弧之间的关系证明 DB=DE，证明AMDABD，得到 DM=BD，得到答案解答： （1）解：如图，连接 OD，CD 是O 切线，ODCD，OA=CD=2 ， OA =OD，OD=CD=2 ，OCD 为等腰直角三角形，DOC=C=45，S 阴影 =SOCD S 扇 OBD=
34、 =4；（2 ）证明：如图，连接 AD，AB 是O 直径，ADB=ADM=90，又 = ，ED=BD，MAD=BAD，在AMD 和ABD 中，AMDABD，DM=BD，DE=DM点评： 本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法7. （2015北海,第 25 题 12 分）如图，AB、CD 为O 的直径，弦 AECD，连接 BE 交 CD于点 F，过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P，使PED=C （1 ）求证：PE 是O 的切线；（2 ）求证：ED 平分BEP；（3 ）若O 的半径为 5，CF=2
35、EF，求 PD 的长考点： 切线的判定分析： （1）如图，连接 OE欲证明 PE 是O 的切线，只需推知 OEPE 即可；（2 ）由圆周角定理得到AEB=CED=90，根据“同角的余角相等”推知 3=4，结合已知条件证得结论；（3 ）设 EF=x，则 CF=2x，在 RTOEF 中，根据勾股定理得出 52=x2+（2x 5） 2，求得EF=4，进而求得 BE=8，CF=8，在 RTAEB 中，根据勾股定理求得 AE=6，然后根据AEBEFP，得出 = ，求得 PF= ，即可求得 PD 的长解答： （1）证明：如图，连接 OECD 是圆 O 的直径，CED=90OC=OE，1=2又 PED=C，
36、即PED=1，PED=2，PED+OED=2+OED=90，即OEP=90，OEEP，又 点 E 在圆上，PE 是O 的切线；（2 ）证明：AB、CD 为O 的直径，AEB=CED=90，3=4（同角的余角相等） 又 PED=1，PED=4，即 ED 平分 BEP；（3 ）解：设 EF=x，则 CF=2x，O 的半径为 5，OF=2x5，在 RTOEF 中，OE 2=OF2+EF2，即 52=x2+（2x5 ） 2，解得 x=4，EF=4，BE=2EF=8，CF=2EF=8 ，DF=CDCF=108=2，AB 为O 的直径，AEB=90，AB=10，BE=8 ，AE=6，BEP=A，EFP=
37、AEB=90，AEBEFP， = ，即 = ，PF= ，PD=PFDF= 2= 点评： 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键8. （2015黑龙江省大庆,第 27 题 9 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AD BC，P 为 BD上一点，APB= BAD（1 ）证明：AB=CD；（2 ）证明：DPBD=ADBC；（2 ）证明：BD 2=AB2+ADBC考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理专题： 证明题分析： （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出 = ，进而得出答案；（2 ）首先得出ADP DBC，进而利
38、用相似三角形的性质得出答案；（3 ）利用相似三角形的判定方法得出ABPDBA，进而求出 AB2=DBPB，再利用（2）中所求得出答案解答： 证明：（1）AD BC，ADB=BDC， = ，AB=BC；（2 ） APB=BAD，BAD+BCD=180，APB+APD=180，BCD=APD，又 ADB=CBD，ADPDBC， = ，DPBD=ADBC；（3 ） APB=BAD，BAD=BPA，ABPDBA， = ，AB2=DBPB，AB2+ADBC=DBPB+AD BC由（ 2）得：DPBD=ADBC，AB2+ADBC=DBPB+DPBD=DB（PB+DP）=DB 2，即 BD2=AB2+ADBC点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键
