1、方程与不等式一元二次方程 2一选择题（共 8 小题）1用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为（ ）Ax（5+x）=6 Bx（5x）=6 Cx（10x）=6 Dx（102x）=62某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是（ ）A （3+x） （40.5x）=15 B （x+3） （4+0.5x）=15 C （x+4） （30.5x）=
2、15 D （x+1） （40.5x）=153用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm2的长方形，a 的值不可能为（ ）A20 B40 C100 D1204要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ）A x（x+1）=28 B x（x1）=28 Cx（x+1）=28 Dx（x1）=285已知关于 x 的一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ）A1 B1 C1 或1 D6一元二次方程 x21=0 的根为（ ）Ax=1
3、 Bx=1 Cx 1=1，x 2=1 Dx 1=0，x 2=17三角形的两边分别为 3 和 5，第三边是方程 x25x+6=0 的解，则第三边的长为（ ）A2 B3 C2 或 3 D无法确定8方程 x（x+1）=x+1 的解是（ ）A1 B0 C1 或 0 D1 或1二填空题（共 8 小题）9如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程 _ 10现有一块长 80cm、宽 60cm 的矩形钢
4、片，将它的四个角各剪去一个边长为 xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 _ 11某小区 2013 年绿化面积为 2000 平方米，计划 2015 年绿化面积要达到 2880 平方米如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 _ 12某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 _ 13一块矩形菜地的面积是 120m2，如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 _ m14已知实数 m，n 满足 mn 2=1，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于 _ 15已知关于
5、 x 的一元二次方程 ax2+xb=0 的一根为1，则 ab 的值是 _ 16已知 x=2 是关于 x 的方程 x2+4xp=0 的一个根，则 p= _ ，该方程的另一个根是 _ 三解答题（共 8 小题）17解方程：x（x2）=2x+118解方程：x 26=2（x+1）19如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD求该矩形草坪 BC 边的长20已知 a，b 是方程 x25x+ =0 的两根，（1）求 a+b 和 ab 的值（2）求 的值21某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，
6、经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？22据媒体报道，我国 2010 年公民出境旅游总人数约 5 000 万人次，2012 年公民出境旅游总人数约 7 200 万人次若 2011 年、2012 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果 2013 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2013 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？23贵阳市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新
7、政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？来源:gkstk.Com24为建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012 年投入了 400 万元，预计到2014 年将投入 576 万元（1）求 2012 年至 2014 年该单位环保经费投入的年平均增长率；（2）该单位预计 2015 年投入环保
8、经费不低于 680 万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由方程与不等式一元二次方程 2来源:gkstk.Com参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为（ ）A x（5+x）=6 Bx（5x）=6 Cx（10x）=6 D x（102x）=6考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 几何图形问题分析： 一边长为 x 米，则另外一边长为：5x，根据它的面积为 6 平方米，即可列出方程式解答： 解：一边长为 x 米，则另外一边长为：5x，来
9、源:学优高考网由题意得：x（5x）=6，故选：B点评： 本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式2某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是（ ）A （3+x） （40.5x）=15 B （x+3） （4+0.5x）=15C （x+4） （30.5x）=15 D （x+1） （40.5x）=15考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 销售问题分析： 根据已知假设每盆花苗增加
10、 x 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（40.5x）元，由题意得（x+3） （40.5x）=15 即可解答： 解：设每盆应该多植 x 株，由题意得（3+x） （40.5x）=15，故选：A点评： 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键3用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm2的长方形，a 的值不可能为（ ）A 20 B40 C100 D 120考点： 一元二次方程的应用专题： 判别式法分析： 设围成面积为 acm2的长方形的长为 xcm，由长方形的周长公式得出宽为（402x）cm，根据长方形的面积公式列出方程 x（402
11、x）=a，整理得 x220x+a=0，由=4004a0，求出 a100，即可求解解答： 解：设围成面积为 acm2的长方形的长为 xcm，则宽为（402x）cm，依题意，得x（402x）=a，整理，得x220x+a=0，=4004a0，解得 a100，故选：D点评： 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键4要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ）A x（x+1）=28 B x（x1）=28 Cx（x+1）=28 D x（
12、x1）=28考点： 由实际问题抽象出一元二次方程分析： 关系式为：球队总数每支球队需赛的场数2=47，把相关数值代入即可解答： 解：每支球队都需要与其他球队赛（x1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛，所以可列方程为： x（x1）=47故选：B点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意 2 队之间的比赛只有 1 场，最后的总场数应除以 25已知关于 x 的一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ）A 1 B1 C1 或1 D考点： 一元二次方程的解专题： 计算题分析： 由一元二次方程（a1）x 2+x+a
13、21=0 的一个根是 0，将 x=0 代入方程得到关于 a 的方程，求出方程的解得到 a 的值，将 a 的值代入方程进行检验，即可得到满足题意 a 的值解答： 解：一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，将 x=0 代入方程得：a 21=0，解得：a=1 或 a=1，将 a=1 代入方程得二次项系数为 0，不合题意，舍去，则 a 的值为1故选：B点评： 此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值6一元二次方程 x21=0 的根为（ ）A x=1 Bx=1 Cx 1=1，x 2=1 D x1=0，x 2=1考点： 解一元二
14、次方程-直接开平方法专题： 压轴题分析： 首先把1 移到方程的右边，再两边直接开平方即可解答： 解：x 21=0，移项得：x 2=1，两边直接开平方得：x=1，故选：C点评： 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解7三角形的两边分别为 3 和 5，第三边是方程 x25x+6=0 的解，则第三边的长为（ ）A 2 B3 C2 或 3 D 无法确定考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系专题： 计算题分析： 求出方程的解得到 x 的值，即可确定出第三边长解答：
15、解：方程 x25x+6=0，变形得：（x2） （x3）=0，解得：x=2 或 x=3，当 x=2 时，三角形三边分别为 2，3，5，不成立，舍去，则第三边为 3故选 B点评： 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键8方程 x（x+1）=x+1 的解是（ ）A 1 B0 C1 或 0 D 1 或1考点： 解一元二次方程-因式分解法专题： 计算题分析： 方程变形后，利用因式分解法求出解即可解答： 解：方程移项得：x（x+1）（x+1）=0，分解因式得：（x1） （x+1）=0，解得：x=1 或 x=1，故选 D点评： 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解
16、的方法是解本题的关键二填空题（共 8 小题）9如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程 （302x） （20x）=678 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 几何图形问题分析： 设道路的宽为 xm，将 6 块草地平移为一个长方形，长为（302x）m，宽为（20x）m根据长方形面积公式即可列方程（302x） （20x）=678解答： 解：设道路的宽为 xm，由题意得：（302x）
17、 （20x）=678，故答案为：（302x） （20x）=678点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得 6 块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键10现有一块长 80cm、宽 60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 x 270x+825=0 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程专题： 方程思想分析： 本题设小正方形边长为 xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含 x 的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（802x）cm，宽是（602x）cm，根
18、据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出解答： 解：由题意得：（802x） （602x）=1500整理得：x 270x+825=0，故答案为：x 270x+825=0点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式另外，要学会通过图形求出面积11某小区 2013 年绿化面积为 2000 平方米，计划 2015 年绿化面积要达到 2880 平方米如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% 考点： 一元二次方程的应用专题： 增长率问题分析： 本题需先设出这个增长率是 x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出 x 的值，即可
19、得出答案解答： 解：设这个增长率是 x，根据题意得：2000（1+x） 2=2880解得：x 1=20%，x 2=220%（舍去）故答案为：20%点评： 本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键12某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 20% 考点： 一元二次方程的应用专题： 增长率问题分析： 解答此题利用的数量关系是：商品原来价格（1每次降价的百分率） 2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可解答： 解：设这种商品平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得，125（1x） 2=80，解
20、得 x1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去） ；故答案为：20%点评： 本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格（1每次降价的百分率）2=现在价格13一块矩形菜地的面积是 120m2，如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 12 m考点： 一元二次方程的应用专题： 几何图形问题分析： 根据“如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多 2 米，利用矩形的面积公式列出方程即可解答： 解：长减少 2m，菜地就变成正方形，设原菜地的长为 x 米，则宽为（x2）米，根据题意得：x（x2）=120，解得：x=12 或 x=1
21、0（舍去） ，故答案为：12点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系14已知实数 m，n 满足 mn 2=1，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于 4 考点： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方专题： 压轴题；整体思想分析： 已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于 0，即可确定出最小值解答： 解：mn 2=1，即 n2=m10，m1，来源:gkstk.Com原式=m 2+2m2+4m1=m 2+6m+912=（m+3） 212，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于（1+3） 212=4故答案为：4点评： 此题考查
22、了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键15已知关于 x 的一元二次方程 ax2+xb=0 的一根为1，则 ab 的值是 1 考点： 一元二次方程的解分析： 将 x=1 代入已知一元二次方程，通过移项即可求得（ab）的值解答： 解：关于 x 的一元二次方程 ax2+xb=0 的一根为1，x=1 满足该方程，a1b=0，解得，1故答案是：1点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立16已知 x=2 是关于 x 的方程 x2+4xp=0 的一个根，则
23、 p= 12 ，该方程的另一个根是 x=6 考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系分析： 根据一元二次方程的步骤把 x=2 代入原方程求得 p 值，然后利用因式分解法解方程即可求得方程的另一根解答： 解：x=2 是关于 x 的方程 x2+4xp=0 的一个根，2 2+42p=0，解得 p=12；x 2+4xp=0，x 2+4x12=0，（x+6） （x2）=0，x+6=0 或 x2=0，解得，x=6 或 x=2，方程的另一个根是 x=6；故答案是：12，x=6点评： 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是求出 p 的值，再利用因式分解法求另一根三解答题（共 8 小题）17解方程：x（x2）
24、=2x+1来源:学优高考网考点： 解一元二次方程-配方法分析： 先去括号，再化为一般形式，移项，配方，用直接开平方法解即可解答： 解：x（x2）=2x+1，x22x=2x+1，x24x+4=5，（x2） 2=5x2= ，即 x1=2+ ，x 2=2 点评： 本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数18解方程：x 26=2（x+1）考点： 解一元二次方程-配方法专题： 计算题分析： 方程变形后，配
25、方为完全平方式，开方即可求出解解答： 解：方程整理得：x 2+2x=4，配方得：x 2+2x+1=5，即（x+1） 2=5，开方得：x+1= ，解得：x 1=1+ ，x 2=1 点评： 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键19如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD求该矩形草坪 BC 边的长考点： 一元二次方程的应用专题： 几何图形问题分析： 可设矩形草坪 BC 边的长为 x 米，则 AB 的长是 ，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解解答： 解：设 BC 边的长为 x 米，则
26、AB=CD= 米，根据题意得： x=120，解得：x 1=12，x 2=20，2016，x 2=20 不合题意，舍去，答：矩形草坪 BC 边的长为 12 米点评： 本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键20已知 a，b 是方程 x25x+ =0 的两根，（1）求 a+b 和 ab 的值（2）求 的值考点： 根与系数的关系；分式的化简求值分析： （1）直接根据根与系数的关系得出答案即可；（2）把原式整理化简，再代入（1）中的数值得出答案即可解答： 解：（1）a，b 是方程 x25x+ =0 的两根，a+b
27、=5，ab= ；（2）原式= 点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系和分式的化简求值，注意先化简，再求值21某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？考点： 一元二次方程的应用专题： 销售问题分析： 设该产品的成本价平均每月降低率为 x，那么两个月后的销售价格为 625（120%） （1+6%） ，两个月后的成本价为 500（1x） 2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果解答： 解：设该
28、产品的成本价平均每月降低率为 x，依题意得 625（120%） （1+6%）500（1x） 2=625500，整理得 500（1x） 2=405， （1x） 2=0.81，1x=0.9，x=10.9，x1=1.9（舍去） ，x 2=0.1=10%答：该产品的成本价平均每月应降低 10%点评： 题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到 125 元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价22据媒体报道，我国 2010 年公民出境旅游总人数约 5 000 万人次，2012 年公民出境旅游总人数约 7 200 万人次若 2011 年、2012 年公
29、民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果 2013 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2013 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点： 一元二次方程的应用专题： 增长率问题分析： （1）设年平均增长率为 x根据题意 2010 年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x） 2 万人次根据题意得方程求解；（2）2012 年我国公民出境旅游总人数约 7200（1+x）万人次解答： 解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x根据题意得：5000（1+x） 2
30、 =7200，解得 x 1 =0.2=20%，x 2 =2.2 （不合题意，舍去） 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%（2）如果 2013 年仍保持相同的年平均增长率，则 2012 年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200（1+20%）=8640（万人次） 答：预测 2013 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次点评： 此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大23贵阳市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后
31、，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？考点： 一元二次方程的应用专题： 增长率问题分析： （1）设求平均每次下调的百分率为 x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可；（2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出结论解答： （1）解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得6000（1x） 2=4860，解得：x 1=0.1，x 2=1.9（舍去）答：平均每次下调的百分率为
32、10%；（2）由题意，得方案优惠：4860100（10.98）=9720 元，方案优惠：80100=8000 元97208000方案更优惠点评： 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，降低率问题的数量关系的运用，解答时列一元二次方程解实际问题是难点24为建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012 年投入了 400 万元，预计到2014 年将投入 576 万元（1）求 2012 年至 2014 年该单位环保经费投入的年平均增长率；（2）该单位预计 2015 年投入环保经费不低于 680 万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现
33、？请通过计算说明理由考点： 一元二次方程的应用专题： 增长率问题分析： （1）等量关系为：2012 年环保经费的投入（1+增长率） 2=2014 年环保经费的投入，把相关数值代入求解即可；（2）2015 年该区环保经费=2014 年教育经费的投入（1+增长率） 解答： 解：（1）设 2012 年至 2014 年该单位投入环保经费的年平均增长率为 x，根据题意，得 400（1+x） 2=576，解得 x1=0.2，x 2=2.2（不合题意，舍去） 答：2012 年至 2014 年该单位投入环保经费的年平均增长率为 20%（2）576（1+20%）=691.2680该目标能实现点评： 考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b
