1、2.2 平面向量的线性运算教材分析本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知
2、基础上。由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数） ，向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向
3、量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行
4、和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想, 而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后, 向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律, 是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向
5、,因此在进行向量运算时, 不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题, 从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目标：1、知识与技能：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。2、过程与方法：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。3、情感态度与价值观：通过阐述向量的加法运算与实数运算之间的相似性质，使学生理解事物之间相互联系的辩证思想。三、重点难点教学重点:向量加法的运算及
6、其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.四、学法指导数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义。结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。五、教学设想（一）导入新课思路 1.(复习导入) 上一节, 我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一
7、节, 我们先学习向量的加法.思路 2.(问题导入)2004 年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动: 向北走 20 米 ,再向西走 15 米,再向东走 5 米,最后向南走 10 米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?图 1活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图 1.某对象
8、从 A 点经 B 点到 C 点, 两次位移 AB、 C的结果,与 A 点直接到 C 点的位移C结果相同.力也可以合成,老师引导, 让学生共同探究如下的问题:图 2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC 的方向伸长了 EO；图 2(2)表示撤去 F1 和 F2,用一个力 F 作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.图 2改变力 F1 与 F2 的大小和方向 ,重复以上的实验,你能发现 F 与 F1、F 2 之间的关系吗?力 F 对橡皮条产生的效果与力 F1 与 F2 共同作用产生的效果相同 ,物理学中把力 F 叫做F1 与 F2 的合力.合力 F 与力 F1、 F2 有怎样的
9、关系呢 ?由图 2(3)发现,力 F 在以 F1、F 2 为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们,从运算的角度看, F 可以认为是 F1 与 F2 的和,即位移、力的合成看作向量的加法.讨论结果:向量加法的定义:如图 3,已知非零向量 a、b, 在平面内任取一点 A,作 AB=a,BC=b,则向量 A叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b= AB+ C= .图 3求两个向量和的运算,叫做向量的加法.向量加法的法则:1向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要
10、以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.2向量加法的平行四边形法则图 4如图 4,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的对角线 C就是 a 与 b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？思考|a +b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？数的运算和运
11、算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?活动:观察实际例子, 教师启发学生思考,并适时点拨, 诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,bR ,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量 a,b 的加法是否也满足交换律和结合律 ?引导学生画图进行探索.讨论结果:对于零向量与任一向量,我们规定 a+0=0+a=a.两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.当 a,b 不共线时,| a+b|a|
12、+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当 a,b 共线且方向相同时,| a+b|=|a|+|b|;当 a,b 共线且方向相反时,| a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时,| a+b|=|a|-|b|;当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时,|a+b |=|b|-|a|.一般地,我们有 |a+b|a|+|b|.如图 5,作 AB=a, D=b,以 AB、AD 为邻边作 ABCD,则 BC=b, D=a.因为 C= + =a+b, C= + =b+a,所以 a+b=b+a.如图 6,因为 = + =( AB+ )+ D=(a+b)+c,AD
13、= B+ = +( + )=a+(b+c),所以(a+ b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.图 5 图 6（三）应用示例思路 1例 1 如图 7,已知向量 a、b,求作向量 a+b.活动:教师引导学生, 让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点 O 的依据它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.图 7 图 8 图 9解:作法一:在平面内任取一点 O(如图 8),作 OA=a,
14、B=b,则 =a+b.作法二:在平面内任取一点 O(如图 9),作 =a, =b.以 OA、OB 为邻边作 OACB,连接 OC,则 OC=a+b.变式训练化简:(1) B+A;(2) D+C+B;(3) A+DF+C+B+ A.活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.解:(1) + = + = .(2)DB+C+ = + D+ B=( C+ )+D=B+ =0.(3) A+ F+ + +FA= A+ + + F+ A= + + + = + + = + =0.点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.例 2 长江两岸之间没有大
15、桥的地方,常常通过轮渡进行运输 .如图 10 所示,一艘船从长江南岸A 点出发,以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时江水的速度为向东 2 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示, 精确到度).图 10 图 11活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算, 体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小 ).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上, 从而
16、与初中学过的解直角三角形建立联系.解:如图 11 所示, AD表示船速, B表示水速,以 AD、AB 为邻边作 ABCD,则 AC表示船实际航行的速度.(2)在 RtABC 中,| |=2,| C|=5,所以| AC|= 295|B22C5.4.因为 tanCAB= 9,由计算器得CAB=70.答: 船实际航行速度的大小约为 5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为 70.点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题, 解决问题.变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图 12活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,
17、问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达, 以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.证明:如图 12,设四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,AB= O+ ,DC= +OC.AC 与 BD 互相平分, AO= C, B=D, = C,因此 B D且| |=| |,即四边形 ABCD 是平行四边形.点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明 A= 或 D=B即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明 A与 C共线,且| B| C|.思路 2例 3 如图 13,O 为
18、正六边形 ABCDEF 的中心,作出下列向量 :(1)O+ C;(2)B+FE;(3)O+ .活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则( 三角形法则) 作出相应的向量. 教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.图 13解:(1)因四边形 OABC 是以 OA、OC 为邻边的平行四边形,OB 是其对角线,故 OA+ C= B.(2)因 =FE,故 + 与 方向相同,长度为 BC的长度的 2 倍,故 BC+ =AD.(3)因 O=FE,故 + = + =0.点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.例 2 在长江
19、的某渡口处, 江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度是 25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？活动:如图 14,渡船的实际速度 AC、船速 D与水速 AB应满足 B+ D= .图 14解:设 AB表示水流速度, AD表示渡船的速度, AC表示渡船实际垂直过江的速度,以 AB为一边,AC 为对角线作平行四边形, 就是船的速度.在 Rt ACD 中 ,ACD=90,| |=| B|=12.5,| D|=25,CAD=30.答: 渡船的航向为北偏西 30.点评:根据题意画出草图, 是解决问题的关键.变式训练已知 O 是四边形 ABCD 内一点, 若 OA+ + C+
20、=0,则四边形 ABCD 是怎样的四边形?点 O 是四边形的什么点 ?活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点 O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.图 15解:如图 15 所示,设点 O 是任一四边形 ABCD 内的一点, 且 OA+ B+ C+ D=0,过 A作 AE OD,连结 ED,则四边形 AEDO 为平行四边形,设 OE 与 AD 的交点为 M,过 B 作 BF OC,则四边形 BOCF 为平行四边形,设 OF 与 BC 的交点为 N,于是 M、N 分别是 AD、BC 的中点 . A+ B+ C+ D=0, A+ =
21、 + E= , B+ = + F= , OE+ F=0,即 与 的长度相等,方向相反.M 、O、N 三点共线,即点 O 在 AD 与 BC 的中点连线上.同理, 点 O 也在 AB 与 DC 的中点连线上.点 O 是四边形 ABCD 对边中点连线的交点, 且该四边形可以是任意四边形.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律, 几何作图,向量加法的实际应用.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比 ,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法
22、将把我们引向数学的王国,科学的殿堂 .（五）作业如图 16 所示,已知矩形 ABCD 中,| AD|=4 3,设 B=a, C=b, D=c,试求向量 a+b+c 的模.图 16解:过 D 作 AC 的平行线,交 BC 的延长线于 E,DE AC,ADBE.四边形 ADEC 为平行四边形. E= AC, = .于是 a+b+c= B+ + = DE+ B= = A+ D=2 ,|a+b+c|=2| AD|=8 3.点评:求若干个向量的和的模( 或最值)的问题通常按下列步骤进行:(1)寻找或构造平行四边形, 找出所求向量的关系式 ;(2)用已知长度的向量表示待求向量的模, 有时还要利用模的重要性质 .
