1、2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及含义【学习目标】1. 在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念及几何意义;2. 掌握数量积的运算式及变式;掌握并能熟练运用数量积的运算律;掌握模长公式.【学习过程】一、自主学习(一)知识链接:如右图,如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s,那么力 F所做的功,其中 是 F与 s的夹角.(二)自主探究:(预习教材 P103P105)探究:平面向量数量积的含义问题 1:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢?1、平面向量数量积的定义:已知两个_向量 ab与,我们把_叫 ab与的数量积
2、。 (或_)记作_即 _其中 是 的夹角。_叫做向量 ab与方向上的_。我们规定:零向量与任意向量的数量积为_。问题 2:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正?什么时候为负?2、 平面向量数量积的性质:设 ab与均为非空向量: ab_当 与同向时, _ 当与反向时, ab_,特别地, _或 =_。 _ cos=_. ba的几何意义:_。问题 3:运算律和运算紧密相连,引进向量数量积后,自然要看一看它满足怎么样的运算律,同学们能推导向量数量积的下列运算律 abcc吗?3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量 abc与与实数 。 ab_; a_; +_。问题 4:我们知道,对任意 ,bR,恒
3、有 22ab,2a对任意向量 ,b,是否也有下面类似的结论?2; .二、合作探究1、已知 6a, 8,且 a与 b的夹角 120,求 ab.变式 1:若 ,且 /,则 是多少?变式 2:若 , ,且 ,则 a是多少?变式 3:若 6a, 8b,且 与 b的夹角 60,求 ba32。变式 4:若 6a, 4b,且 7232ba,求 a与 b的夹角。2、在平行四边形 ABCD中, , BC, 10AD,求 BAD.变式:判断下列命题的真假,并说明理由.在 中,若 0,则 A是锐角三角形;在 中,若 ,则 是钝角三角形; ABC为直角三角形,则 BC.三、交流展示1、已知 2a, 3b, a与 的夹
4、角为 60,求: ; 2; ; ab.2、已知 5,4,且 a与 b不共线, k为何值时,向量 akb与 互相垂直?四、达标检测(A 组必做,B 组选做)A 组:1. 设 12a, 9b, 542a,则 a与 b的夹角 为()A. 45 B. 3 C.60 D.1202. 已知 C, A, C,当 时, ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形3. 已知平面内三个点 0,1,B,则向量 与 的夹角为()A.0 B.9 C.60 D.1804. 已知 3a, 5b,且 2ab,则向量 a在向量 b的方向上的投影为.5. 已知向量 满足 28,则 .6. 已知 6,4, 与 的夹角为 30,求: ; 2a; 2b.B 组:1. 已知 6,a与 b的夹角为 60,且 2372ab,则 b为()A.1 B. C.5 D. 42. 已知 ,2,且 a与 垂直,则 与 的夹角为()A. 0 B.3 C.13 D. 53. ,4ab,且 与 b的夹角为 0,则 2ab=. 4. 已知 2,53ab,则 ab=, =.5. 设 ,mn是两个单位向量,其夹角为 60,求向量 2amn与 23b的夹角.