1、第二章 习题课 3 数列的实际应用自主学习知识梳理1等差数列a n的通项公式 ana 1(n1) d，前 n 项和公式 Sn 或na1 an2Snna 1 d.nn 122等比数列a n的通项公式 ana 1qn1当 q1 时，前 n 项和 Snna 1；当 q1 时，前 n 项和 Sn 或 Sn .a11 qn1 q a1 anq1 q3有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息本金存期利率根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额利息全额税率(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为 A，存期为 n，每期利率为 p，税率为 q，则
2、到期时，所得利息为_，应纳税为_，实际取出金额为_(2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额 A，连存 n 次，每期利率为 p，税率为 q，则到第 n 期末时，应得到全部利息为_，应纳税为_，实际受益金额为_4分期付款问题贷款 a 元，分 m 个月将款全部付清，月利率为 r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为_自主探究在分期付款问题中，贷款 a 元，分 m 个月付清，月利率为 r，每月付 x 元，想一想，每月付款金额 x 元应如何计算，试给出推导过程对点讲练知识点一 等差数列模型的应用例 1 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房，共需 1
3、150 万元，购买当天先付 150 万元，以后每月这一天都交付 50 万元，并加付欠款利息，月利率为 1%.若交付 150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全部按期付清后，买这 40 套住房实际花了多少钱？总结 与等差数列有关的实际应用题，要抓住其反映的等差数列特征，仔细审题，用心联想，如本例中，每月比上一月都少付了 50 万元的月息，即 0.5 万元，所以每月付款成等差数列变式训练 1 从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦若这些收割机同时到达，则 24 小时可收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同的时间顺序投入工作的，如果
4、第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的 5 倍，问以这种收割方式收割机在这片麦地上工作了多长时间？知识点二 等比数列模型的应用例 2 国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩，2002 年底西部已退耕还林的土地面积为 515 万亩，以后每年退耕还林的面积按 12%递增(1)试问从 2002 年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128 2.476,1.1272.211)( 精确到年 )(2)为支持退耕还林工作，国家财政从 2003 年起补助农民当年退耕地每亩 300 斤粮食，每斤粮食按 0.7 元折算，并且补助当年退耕地每亩 20 元试问：西部完成退耕还林计划，国家
5、财政共需支付多少亿元？( 精确到亿元)总结 构建等比数列模型解决实际问题，要弄清 a1 与 n 的实际含义，分清是求通项 an还是求前 n 项和 Sn.变式训练 2 有纯酒精 a L(a1)，从中取出 1 L，再用水加满，然后再取出 1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_L.知识点三 递推数列型应用题例 3 某企业投资 1 000 万元用于一个高科技项目，每年可获利 25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金 200 万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4 倍) 的目标？(取 lg
6、20.3)总结 如果容易找到该数列任意一项 an与它的前一项 an1 (或前几项) 间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题变式训练 3 某种细胞开始时有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个按照此规律，6 小时后细胞存活数是( )A33 B64 C65 D1271在日常生活中我们经常遇到存款利息、购房贷款、资产折旧、企业股金、人口增长等方面的问题，这些问题的解决常常涉及到数列的有关知识2解数列应用题的思路和方法：具体方法步骤是：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类
7、应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求 an还是 Sn？特别要注意准确弄清项数为多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式. 课时作业一、选择题1某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的 m 倍，则该厂今年的月平均增长率应是( )A. B. C. 1 D. 1m11 m12 1m 12m2 “嫦娥奔月，举国欢庆” ，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通
8、过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )A10 秒钟 B13 秒钟 C15 秒钟 D20 秒钟3某商品的价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是( )A不增不减 B约增 1.4% C约减 9.2% D约减 7.8%4某企业在今年年初贷款 a 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A. 万元 B. 万元a1 1 5 1 a1 51 5 1C. 万元 D. 万元a1 51 4 1 a1 5题 号
9、 1 2 3 4答 案二、填空题5一个蜂巢里有一只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天，6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂6一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放 1 支，最上面一层放了 120 支，这个 V 形架上共放了_支铅笔三、解答题7某林场去年年底森林中木材存量为 3 300 万立方米，从今年起每年以 25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为 b，为了实现经过 20 年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？
10、(取 lg 20.3)8假设某市 2009 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积( 以 2009 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？(1.08 51.47)习题课 3 数列的实际应用知识梳理3(1)nAp nApq nAp(1q) A (2) n(n1) Ap n(n 1)Apq n(n1) A
11、p(1q)12 12 124.ar1 rm1 rm 1自主探究解 一方面贷款 a 元，m 个月后本息和为 a(1r) m；另一方面每月付款 x 元，从第一个月开始每次付款 x 元，m 个月后本息和见下表所示.期数 1 2 3 本息和 x(1r )m1 x(1r )m2 x(1r )m3 从而有：a(1r) mx(1r) m1 (1 r )m2 (1 r )m3 (1 r )1x .ar1 rm1 rm 1对点讲练例 1 解 因购房时先付 150 万元，则欠款 1 000 万元，依题意分 20 次付款，则每次付款数额顺次构成数列a na 1501 0001%60，a250(1 00050)1%
12、59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，a n501 00050( n1) 1%60 (n1) (1 n20，nN *)12a n是以 60 为首项，以 为公差的等差数列，12a 10609 55.5，a 206019 50.5，12 12S 20 (a1a 20)2010(6050.5) 1 105.12实际共付 1 1051501 255(万元) 所以第 10 个月应付 55.5 万元，实际共付 1 255 万元变式训练 1 解 设这 n 台收割机的工作时间依次为 a1，a 2，a n小时，依题意a1，a 2，a n组成一个等差数列，又每台
13、收割机每小时的工作效率为 ，124n则有Error! Error!由得 1，即 a1a n48.na1 an224n联立、解得 a140(小时 )所以以这种收割方式在这片麦地上工作了 40 小时例 2 解 (1)设从 2002 年底起以后每年的已退耕还林的土地依次为 (单位：万亩)a1，a 2，a 3，a n，.则 a1515(112%) ，a 2 515(112%) 2，a n515 (112%) n，Sna 1a 2a n5151 0.121 1.12n1 1.126 370515，5151.12(1.12 n1)5 8550.12，即 1.12n2.218.又因为 nN *，当 n7 时
14、， 1.1272.211，此时完不成退耕还林计划所以 n8.故到 2010 年底西部地区才能完成退耕还林计划(2)设财政补助费为 W 亿元则 W(300 0.720) (6 370515)10 4134.7(亿元) ，所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付 134.7 亿元变式训练 2 8(1 1a)(2 1a)解析 用a n表示每次取出的纯酒精，a 11，加水后浓度为 1 ，a 21 ，a 1a 1a 1a加水后浓度为 2，a 3 2，(1 1a)(a 1a ) (1 1a) (1 1a)依次类推：a 9 8 L，a 10 9 L.(1 1a) (1 1a) 8 9 8 .(1 1a)
15、(1 1a) (1 1a)(2 1a)例 3 解 设该项目逐年的项目资金数依次为 a1，a 2，a 3，a n.则由已知 an1 a n(125%) 200(nN *)即 an1 an200.54令 an1 x (anx)，54即 an1 an ，54 x4由 200，x800.x4a n1 800 (an800)( n N*)54故数列a n800是以 a1800 为首项， 为公比的等比数列54a 11 000(125%) 200 1 050.a 1800250，a n800250 n1 .(54)a n800250 n1 (nN *)(54)由题意 an4 000.800250 n1 4
16、000，即 n16.(54) (54)两边取常用对数得 nlg lg 16，54即 n(13lg 2) 4lg 2.lg 20.3，0.1n1.2， n12.即经过 12 年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标变式训练 3 C 设细胞数目按分裂顺序组成数列a n， a12，a 22a 113，一般地 an2a n1 1，a n12(a n1 1) (a 11)2 n1 2 n1 .a n2 n1 1,6 小时后细胞数目即 a72 6165.课时作业1C 设月平均增长率为 p，则(1p) 11m，p 1.1m2C 设每一秒钟通过的路程依次为 a1，a 2，a 3，a n，则数列a n是首项
17、a12，公差 d2 的等差数列，由求和公式得 na1 240 ，即 2nn( n1)240，解得nn 1d2n15.3D 设原价为 1，则现价为 (120%) 2(120%) 20.921 6，10.921 60.078 4，约减 7.8%.4B 设每年偿还 x 万元，则：xx (1)x(1 ) 2x (1 )3x(1) 4a(1 )5，x .a1 51 5 1546 656解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a16，q6，第 6 天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为 a66 646 656(只) 67 260解析 从下向上依次放了 1,2,3，120 支铅笔，共放了铅笔 1231207 26
18、0(支) 7解 设 a1，a 2，a 20 表示今年开始的各年木材存量，且 a03 300，则ana n1 (125%) b.a n an1 b，a n4b (an1 4b) ，即数列a n4b 是等比数列，公比 q .54 54 54a 204b(a 04b) 20.令 t 20，(54) (54)则 lg t20lg 20(130.3)2.54t100，于是 a204b100(a 04b)，a 20100a 0396b，由 a204a 0，得 100a0396b4a 0，b a0800.833故每年冬季木材的砍伐量不能超过 800 万立方米8解 (1)设中低价房面积构成数列 an，由题意可
19、知 an是等差数列其中a1250，d50，则 Sn250n 5025n 2225n.nn 12令 25n2225n4 750，即 n29n1900，而 n 是正整数，n10.到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米(2)设新建住房面积构成数列 bn，由题意可知 bn是等比数列其中 b1400，q1.08，则 bn4001.08 n1 .由题意可知 an0.85bn，有 250(n1)504001.08 n1 0.85.由 1.0851.47 解得满足上述不等式的最小正整数 n6，到 2014 年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.
