1、2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义自主学习知识梳理1向量加法的定义求_的运算，叫做向量的加法两个向量的和仍然是一个向量2向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作 a， b，则向量AB BC _叫做 a 与 b 的和( 或和向量) ，记作_ ，即 ab _.AB BC 上述求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则对于零向量与任一向量 a 的和有 a0_.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作 a， b，则 O、A、B 三点不共线，OA OB 以_，_为邻边作_，则对角线上的向量_ab，这个法则叫做
2、两个向量求和的平行四边形法则(3)多边形法则已知 n 个向量，依次把这 n 个向量首尾相连，以第一个向量的_为始点，第 n 个向量的_为终点的向量叫做这 n 个向量的和向量即 n1 _.这个法则叫做向量求和的多边形法则A1A2 A2A3 AnA 3向量加法的运算律(1)交换律：ab_.(2)结合律：(a b)c_.自主探究根据向量加法的三角形法则完成下列填空当向量 a 与 b_时，总有：|ab| a|b|.当向量 a 与 b_时，总有：|ab| |a| b|.当向量 a 与 b_时，总有：|ab| | a|b|.此时，若|a| |b|，则有| ab|_；若|a |b|，则有 |ab|_.总之，
3、对于任意向量 a、b，总有：_|ab| _.对点讲练知识点一 运用向量加法法则作和向量例 1 如图所示，已知向量 a、b，求作向量 ab.回顾归纳 作两向量和，若用三角形法则，要保持两向量“首尾相接” ；若用平行四边形法则，要保持两向量的起点相同变式训练 1 如图所示，已知向量 a、b、c，试作和向量 abc.知识点二 运用向量加法法则化简和向量例 2 化简：(1) ；(2) ；BC AB DB CD BC (3) .AB DF CD BC FA 回顾归纳 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序变式训练 2 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是
4、 AC 和 BD 的交点(1) _；AB AD (2) _；AC CD DO (3) _；AB AD CD (4) _.AC BA DA 1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行. 课时作业一、选择题1如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A. ， AB CD BC AD B. AD OD DA C. AO OD AC CD D. AB BC CD DA
5、 2在四边形 ABCD 中， ，则( )AC AB AD A四边形 ABCD 一定是矩形B四边形 ABCD 一定是菱形C四边形 ABCD 一定是正方形D四边形 ABCD 一定是平行四边形3已知在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，则 的模等于( )AB BC AC A0 B5C. D213 134. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， 等于( )BC DC BA A. B.BD DB C. D.BC CB 5. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，若 AB1，则| |等于( )AB FE CD A1 B2C3 D2 3二、填空题6已知| |3，| |5，则| |的取值范围是_AB BC
6、 AC 7已知点 G 是ABC 的重心，则 _.GA GB GC 8设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1) _；DE EA (2) _；BE AB EA (3) _；DE CB EC (4) _.BA DB EC AE 三、解答题9一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船实际速度10求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形2.2 平面向量的线性运算22.1 向量加法运算及其几何意义答案知识梳理1两个向量和2(1) ab 0 a aAC AC (2)OA OB 平行四边形 OC (3)
7、始点 终点 A 1An13(1)ba (2)a(bc )自主探究不共线 共线且同向 共线且反向 |a| |b|b|a| |a|b| | a|b|对点讲练例 1 解 方法一 在平面内任取一点 O，如图 1 所示，作 a， b，OA AB 则 ab.OB 图 1 图 2方法二 在平面内任取一点 O，如图 2 所示，作 a， b，以 OA、OB 为邻边OA OB 作OACB ，连接 OC，则 ab.OC OA OB 变式训练 1 解 如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 a，接着作向量OA c，则向量 就是 ac，即 ac，然后作向量 b，则向量 abc 为所AB OB OB BC OC 求和
8、向量例 2 解 (1) .BC AB AB BC AC (2) DB CD BC BC CD DB ( ) 0.BC CD DB BD DB (3) AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AC CD DF FA AD DF FA 0.AF FA 变式训练 2 (1) (2) (3) (4)0AC AO AD 课时作业1C2D ， ，AC AB BC AB AD BC AD 即 BC 綊 AD.四边形 ABCD 是平行四边形3D | | |2| |AB BC AC AC AC AC 2 2 .AB2 BC2 134C BC DC BA BC AB BA .BC 5B | |
9、 |AB FE CD AB BC CD | |2.AD 62,8解析 | | | | |8，AC AB BC AB BC 且| | | | | |2.AC AB BC AB BC 2| |8.AC 70解析 如图所示，连接 AG 并延长交 BC 于 E 点，点 E 为 BC 的中点，延长 AE 到 D点，使 GEED ，则 ， 0，GB GC GD GD GA 0.GA GB GC 8(1) (2)0 (3) (4)DA DB DC 9解 如图所示， 表示水流速度， 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度， 表示船实OA OB OC 际航行的速度，AOC30 ，| |5 km/h.OB 四边形 OA
10、CB 为矩形，| | 5 km/h，OA |AC |tan 30 3| | 10 km/h，OC |OB |sin 30水流速度大小为 5 km/h，3船实际速度为 10 km/h.10证明 要证明三个向量首尾相连构成三角形，只要证明三个向量的和为 0 即可如图所示：设ABC 的三边对应的向量为 a ，b ，c ，那么 abc 0，BC CA AB 设 D、E、F 分别为三边 BC，CA，AB 的中点，于是中线对应的向量分别为 c a，AD AB BD 12 a b. b cBE BC CE 12 CF CA AF 12有 abc (abc)0.AD BE CF 12 0，AD BE CF 故结论得证，即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形
