1、向量加法运算及其几何意义【知识梳理】1向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法2求向量和的方法(1)三角形法则：已知非零向量 a、b，在平面上任取一点 A，作 a， b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和或和向量，记作ABCab，即 ab .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则(2)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a，b，作 a， b，以 a，b 为邻边作OABOACB，则以 O 为起点的对角线 就是 a 与 b 的和，如图这种求两C个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则对于零向量与任一向量 a，规定：a00aa.3向量加法的交换律和结合律(1)向量加法的交换律：a
2、bba；(2)向量加法的结合律：(ab )ca(bc)【常考题型】题型一、求作向量的和【例 1】 如图，已知 a，b，求作向量 ab.解 法一：在平面内任取一点 O，如图所示，作 a， b，则 ab；ABO法二：在平面内任取一点 O，如图所示，作 a， b，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，连接 OC，则 ab.CAB【类题通法】应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到 n 个向量求和，作图时要求“首尾相连 ”，即 n 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两
3、个向量的起点重合(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单【对点训练】如图，已知 a、b、c，求作向量 abc.解：作法：在平面内任取一点 O，如图所示，作 a， b， c，则 abc.OABC题型二、向量加法运算【例 2】 化简或计算：(1) ；CDBA(2) .FCF解 (1) ( ) .BCDAD(2) ( )( )ABD 0.CFAF【类题通法】解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0.【对点训练】如图，在ABC 中，O 为重心
4、，D 、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：(1) ；BCEA(2) ；(3) .F解：(1) .BEA(2) ( ) .OEAOOB(3) .BDCDCC题型三、向量加法的应用【例 3】 轮船从 A 港沿东偏北 30方向行驶了 40 km 到达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶 40 km 到达 C 处，求此时轮船与 A 港的相对位置解 如图所示，设 、 分别是轮船的两次位移，则 表B AC示最终位移，且 .在 Rt ABD 中，| |20 km，D| |20 km，在 RtACD 中，| | 40 A3 |2 | |2 3km，CAD60 ，即此时轮船位于 A 港东偏
5、北 60，且距离 A 港 40 3km 处【类题通法】利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤【对点训练】雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向433解：如图，用 表示雨滴下落的速度， 表示风使雨滴水平向OAOB东的速度以 ， 为邻边作平行四边形 OACB， 就是雨滴下落BC的实际速度在 Rt OAC 中， | |4，| | ，OAC433| | ，C|2 |2 42 (433)2 833tanAOC ，| 4334 33AOC30.故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向与垂直方向成
6、30角向东833【练习反馈】1下列等式错误的是( )Aa0 aa0B 0CC 0D MNP解析：选 B 由向量加法可知 2 .ABCAC2在矩形 ABCD 中，| |4，| |2，则向量 的长度等于( )BDA2 B45 5C12 D6解析：选 B 因为 ，所以 的长度为 的模的 2 倍，ACACA故答案是 4 .53.如图，在平行四边形 ABCD 中，(1) _；D(2) _；ACO(3) _；B(4) _.解析：(1)由平行四边形法则可知为 ；AC(2) ；ACDOO(3) ；BD(4) 0.BB答案：(1) (2) (3) (4)0A4如果| | 8，| |5 ，那么| |的取值范围为_ABCB解析：根据公式|a|b|a b|a| b|直接来计算答案：3,135.如图所示，P，Q 是三角形 ABC 的边 BC 上两点，且 BPQC.求证： .ABCAQ证明： ，P ， .BC 与 大小相等，方向相反，PBQC ，0故 .AA0PQ
